課題函數的奇偶性授課時間45分鐘

學生高一授課人XX

本節內容選自人教A版普通高中教科書數學必修第一冊第322節函數的基

本性質之奇偶性。教材將奇偶性的幾何整體性質過渡到代數微觀，采用列

表畫圖的形式，引導學生探究了函數自變量和因變量的對稱性。

教

函數的奇偶性是在繼學習函數的單調性這一局部性質之后，學習函數的又

材

分一個重要的整體性質。函數的奇偶性的學習是對廣義對稱性思想和不變量

析

思想的滲透。奇偶性揭示的函數的對稱性僅僅是關于兩個坐標代換的不變

性，是后續圓錐曲線以及空間坐標中多個坐標代換不變性的特例和基礎。

。同時，函數的奇偶性體現了知道一半便能預知整體，即從局部到整體這

一處理問題的思想。

學生在學習奇偶性之前已探究過函數的單調性這一局部性質，對自變量與

因變量之間關系的探究步驟，有了一定的基礎。但對函數的整體性質還沒

有接觸，要著重滲透從局部到整體這一思想。

學

情

*學生在初中已經學過圖形的軸對稱和中心對稱的相關知識，這對課題的引

M入以及對函數圖像的特征感知奠定了知識基礎。并且，高中階段的學生，

語言組織能力有了進一步的發展，初步具備可以獨立用文字語言表述函數

圖像特征的能力，但如何將文字語言轉化為符號語言，即解析式表達的形

式，還需要進一步的指導和引領。

知識目標：理解掌握奇函數、偶函數的概念，學會用定義判斷函數的奇偶

性。

能力目標：體會從特殊到一般，從局部到整體的數學研究思想，學會將幾

教

何整體轉化為代數微觀的過程。

學

目情感目標：通過民間藝術剪紙視頻的學習，體會數學知識在民族文化中的

標

應用，感受數學來源于生活。通過用幾何畫板繪制和展示函數圖像，分組

討論總結相關結論，培養學生主動交流合作的精神，以及數學探究中的嚴

謹性。

教學重點函數奇偶性概念的得出

教學難點函數奇偶性的判斷

教學方法觀察法、討論法、啟發探究相結合

教學幾何畫板、PPT

課堂教學過程

教學流程學生活動設計意圖

第一a汾回顧舊知，直觀感受

(-)回顧舊知學生觀看生活中豐富多、回顧舊知，為學生^

在初中，已經學過有關軸對稱和中心對稱的知識。在彩的對稱圖形,回顧軸對囂黑鬻鬻儼

至舌中，民間藝術的剪紙、拱橋等都是-些常見的對震形和中心對稱圖形的做好口的知1八儲備。

,特征。

稱圖形二，一學生觀看剪紙視頻，并讓學生通過直觀感受

【觀看剪紙順】在剪紙藝術中，民間藝人T會通思考剪紙方法中蘊含的數，感知函數奇偶性從局

過對折等方式，剪掉其中一小部分，最終將紙展開,學思想。部到整體的數學特征，

也為之后引入奇偶函數

形成一個軸對稱或者中心對稱的優美的剪紙圖形。【預設回答】：

剪紙剪出的圖形是對圖像的探究做好鋪墊。

【問題一】：同學們能在剪紙中體會到什么？1.

稱的。

2.剪紙是先確定對稱軸

,通過對折，只需剪

掉局部,就可以完成

整體。

【預設回答】

【問題二】：在平面直角坐標系中，關于X=O對稱的

使學生逐步建立起關于

關于x=0對稱的兩點的橫

兩點的橫坐標如何表示？關于x=l對稱的呢？對稱這種幾何直觀的代

坐標表示為X、-X。

數表達形式。通過補充

關于X=1對稱的兩點的橫

回答,建立"和為0"

根據學生回答，補充結果，關于x=0對稱的兩點的橫

坐標表示為1-X、1+X的文字描述，建立起從

坐標還可以表示為+x=0關于x=l對稱的兩點

2o幾何直觀到代數表示之

的橫坐標還可以表示為%+不=。

2間的文字描述鋪墊。

(二)直觀感受學生動手操作，通過取特

拿出一張紙，在紙上建立一個直角坐標系，用描點法殊點、列表、描點、畫圖

以及對折，發現對折產生

列出表格，畫出函數/(x)="在第一象限的圖像，

的第二象限的圖像，與描讓學生親自動手實踐,

用光滑的曲線將點連接起來。

點畫圖產生的圖像基本重體會折紙產生的對稱,

以y軸為折痕將紙對折，并在紙的背面沿著印記畫出從而更加直觀的體會出

4口。

對折過去的圖形。函數/'(無)=/確實是

關于y軸對稱的。

再次用描點法畫出函數在第二象限內的圖像，對比用

同時也能夠明白對稱性

描點法畫出的圖像和對折產生的圖像。是函數圖像給人以審美

體驗的幾何特征,從而

X...-3-2-1123...

體現了認識的簡約特性

/(%)=X2

,即知道一半便能夠預

知整體。

第二部分觀察提升，總結過渡

（-）從特殊到一般——幾何畫板的探究

利用幾何畫板，做出函數/（%）=/的在第一象限的為了彌補手工畫圖的粗

圖像，在圖像上取一點A,做出點A關于y軸的對稱點學生觀察幾何畫板中的變糙，采用更加準確的幾

A',對兩點橫坐標馬、馬,以及解、瑞，進行制表，拖換，發現對于第一象限內何畫板形式，使學生更

動A點，觀察表內數值的變化。的一般點，在第二象限的加明確直觀的感受到，

函數圖像上，確實存在關從之前特殊點到任意點

于y軸對稱的對稱點。從的變化，都能得出函數

而體會到，函數"X）=%2圖像關于y軸對稱這一

圖像確實關于y軸對稱。性質。體現從特殊到一

般這一數學思想，使學

生的探究不止停留在局

限的特殊點，體現了數

學學科的嚴謹性。

（二）文字語言過渡——觀察總結學生通過觀察和回顧，總針對研究數學對象時，

通過對以上幾何畫板中的觀察，以及之前的折紙探究結所發現的特點，按照問容易忽略的數學語言表

,觀察函數自變量與因變量的關系，回答問題。題所給句式填空。達能力的訓練這一問題

【問題三】【預設回答】,在從幾何整體到代數

當自變量取值時，對應的因變量（即函數值當自變量取值和為2時，微觀這一過程中，設計

）的取值O對應的因變量（即函數值了一個文字語言的過渡

）的取值相等。，從而提高學生的數學

學科素養。

第三部分得出概念，強化強

(-)分組合作，歸納概念以合作的形式，逐步

根據上述文字描述和圖形觀察，小組討論，得出偶函引導學生將上述文字

數的概念如下：常生通過小組合作，用精

語言轉化為代數表達

一般地，設函數y=f的定義域是D,如果對D內的煉的數學語言總結出偶函式,從而體現"三會

"中，能用數學的語

任意一個x,都有-xeD,且/(—X)=f(x)o則稱y=數的概念和其圖像特征。

/(X)為偶函數。言表達世界這一教學

并且，如果一個函數為偶函數，其函數圖像一定關于y觀念。

軸對稱，反之，結論也成立。

【練習1】學生在紙上畫出圖形，并利用簡單的小練習，

畫出函數5。)=2-團的圖像，并嘗試用偶函數的定簡單的帶入X和-X進行驗證使學生趁樹丁鐵的熟

義將其驗證。。悉偶函數的概念，加

(二)分析概念，強化認知二生如窣一義城關干庫強其對稱性的映像。

利用幾何畫板，建立一個定義域不對稱的場景，拖動:7一二

-Ag-AA上A上A，TH…EQ"M點不對稱的情況，回答

第一象限內的點A,發現其對稱點A不再出現在函數再次利用幾何畫板，

問題

圖像上，即在定義域不對稱的情況下，該函數圖像不改變定義域，讓學生

再關于y軸對稱。【預設回答】發現偶函數概念中關

【問題四】函數是偶函數的前提是于定義域的強調問題

針對定義域關于原點不對稱的函數，它還會是偶函數定義域一定要關于原點,從而提高知識的完

嗎？麗。整度。

第四部分對比探究，補充完善

(-)對比探究

利用幾何畫板，畫出函數/(X)=:的圖像在第一象限

的部分，在圖像上取一點B,做出點B關于y軸的對稱點

B'對兩點橫坐標小、以及擊、2進行制表，拖動

B點，觀察表內數值的變化。學生再次觀察幾何畫板

通過對比探究，適當

中函數:上點的變

f(x)=簡化奇函數探究中教

師的主導部分，把探

化,回顧偶函數的變化

究過程更多的交還給

規律以及探究方法。根學生,以學生為主體

。一方面可以培養學

據表內數值的變化，完生的總結歸納探究能

反對文字語言的描述。力，另一方面，也可

以檢驗上述偶函數地

學習效果。

對比偶函數的探究步驟，觀察函數自變量與因變量的【預設回答】

關系，回答問題。

［問題五］

當自變量取值______時，對應的因變量(即函數值)當自變量取值和為0時,

的取值________。對應的因變量(即函數值

)的取值互為相反數。

(二)歸納總結，形成概念

根據以上對比探究，得出奇函數的概念。

一般地，設函數y=f(x)的定義域是D,如果對D內的

任意一個x,都有-xeD,且/'(一無)--/(x)o則稱y-

/(x)為奇函數。

學生通過小組合作，用精

【練習2】

煉的數學語言總結出奇函

畫出函數g(x)=x的圖像，并嘗試用奇函數的定義將

數的概念和其圖像特征。

其驗證。

同樣，若函數的定義域不關于原點對稱，函數也不可

能為奇函數。因此，函數是奇函數的前提是定義域一

定要關于原點對稱。

學生進行回憶對比，回

答問題。

【問題六】與函數單調頻行對

【預設回答】

對比函數的單調性，你能發現，函數的奇偶性在定義比，再次強調定義中

域上有什么不同嗎？函數的奇偶性強調任意"任意"二字，在次

,不同于函數的單調性,解決完定義中所有

容易忽略的性質。

,函數奇偶性在定義域

上是一個整體性質。

第五部分應用舉例，鞏固提高

【例】判斷下列函數的奇偶性第(1)、第(2)小題根據第(1)(2)小

(l)/(x)=X2+1采用學生上臺演示的練習題，讓學生熟悉判斷

(2)/(x)=x+i方法。函數奇偶性的解題步

(3)/(%)=x+1第(3)、第(4)小題驟，即第一步判斷定

(4)/(x)=0采用舉手搶答的練習方法義域，第二步代入X和

-x進行驗證。

總結：對于一個函數來說，關于奇偶性，它有四種可根據第(3)小題，

能，一是奇函數，二是偶函數，三是既不是奇函數也讓學生認識到，有的

不是偶函數，四是既是奇函數也是偶函數。函數，它既不是奇函

數也不是偶函數

根據第(4)小題，

讓學生體會到，一個