研究生抽象代數(shù)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.整數(shù)集$\mathbb{Z}$對于普通加法運算構(gòu)成的群是（）A.有限群B.交換群C.非交換群D.循環(huán)群2.設(shè)$G$是群，$a\inG$，則$a$的階是（）A.使得$a^n=e$的最小正整數(shù)$n$B.使得$a^n=e$的任意整數(shù)$n$C.元素$a$的次數(shù)D.以上都不對3.一個有限群$G$的階是12，它的子群的階不可能是（）A.2B.3C.4D.54.環(huán)$R$中，對于任意$a,b\inR$，以下哪個式子成立（）A.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$B.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$C.$a(b+c)=ab+ac$D.以上都不對5.整環(huán)$R$中，可逆元的個數(shù)是（）A.0個B.1個C.有限個D.不一定6.設(shè)$f:G_1\rightarrowG_2$是群同態(tài)，$Ker(f)$是（）A.$G_1$的子群B.$G_2$的子群C.$G_1$的正規(guī)子群D.$G_2$的正規(guī)子群7.域$F$上的多項式環(huán)$F[x]$是（）A.主理想整環(huán)B.歐幾里得整環(huán)C.唯一分解整環(huán)D.以上都是8.一個置換$\sigma=(123)$的逆置換是（）A.$(132)$B.$(321)$C.$(213)$D.$(123)$9.群$G$的中心$Z(G)$是（）A.所有與$G$中元素可交換的元素的集合B.$G$的任意子群C.$G$的正規(guī)子群D.以上都不對10.有限域$F_q$中元素個數(shù)是（）A.質(zhì)數(shù)$p$B.質(zhì)數(shù)冪$p^n$C.任意整數(shù)D.以上都不對答案：1.B2.A3.D4.C5.D6.C7.D8.A9.A10.B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是群的性質(zhì)（）A.封閉性B.結(jié)合律C.存在單位元D.每個元素都有逆元2.下列哪些集合對于給定運算構(gòu)成環(huán)（）A.整數(shù)集$\mathbb{Z}$對于普通加法和乘法B.偶數(shù)集對于普通加法和乘法C.所有$n$階方陣對于矩陣加法和乘法D.有理數(shù)集$\mathbb{Q}$對于普通加法和乘法3.關(guān)于環(huán)的理想，下列說法正確的是（）A.理想是子環(huán)B.兩個理想的交是理想C.理想對乘法封閉D.理想的和是理想4.設(shè)$G$是群，$H$是$G$的子群，以下哪些條件等價于$H$是$G$的正規(guī)子群（）A.對于任意$g\inG$，$gH=Hg$B.對于任意$g\inG$，$gHg^{-1}=H$C.存在$g\inG$，使得$gH=Hg$D.對于任意$h\inH$，$g\inG$，$ghg^{-1}\inH$5.整環(huán)的性質(zhì)有（）A.無零因子B.有單位元C.可交換D.是唯一分解整環(huán)6.以下哪些是域的性質(zhì)（）A.是整環(huán)B.每個非零元都有乘法逆元C.有限域元素個數(shù)是質(zhì)數(shù)D.是交換環(huán)7.群同態(tài)$f:G_1\rightarrowG_2$具有以下性質(zhì)（）A.$f(e_1)=e_2$（$e_1,e_2$分別是$G_1,G_2$的單位元）B.$f(a^{-1})=f(a)^{-1}$C.$f(ab)=f(a)f(b)$D.$f$是雙射8.置換群中的置換可以寫成（）A.不相交輪換的乘積B.對換的乘積C.循環(huán)置換的和D.以上都不對9.關(guān)于有限群的西羅定理，下列說法正確的是（）A.西羅$p$-子群存在B.西羅$p$-子群共軛C.西羅$p$-子群的個數(shù)滿足一定條件D.西羅$p$-子群是正規(guī)子群10.以下哪些是模$n$剩余類環(huán)$\mathbb{Z}_n$的性質(zhì)（）A.元素個數(shù)為$n$B.是交換環(huán)C.當$n$為質(zhì)數(shù)時是域D.一定有零因子答案：1.ABCD2.ACD3.ABD4.ABD5.ABC6.ABD7.ABC8.AB9.ABC10.ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.任意兩個群都可以作直積。（）2.環(huán)中一定有零因子。（）3.群同態(tài)一定是單射。（）4.整環(huán)一定是域。（）5.有限群的子群個數(shù)是有限的。（）6.置換的逆置換的階與原置換的階相同。（）7.環(huán)的理想一定是雙邊理想。（）8.域上的多項式環(huán)一定是主理想整環(huán)。（）9.群的中心一定是正規(guī)子群。（）10.模$n$剩余類環(huán)$\mathbb{Z}_n$一定有可逆元。（）答案：1.√2.×3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述群的定義。答案：集合$G$與一個二元運算$\cdot$，滿足封閉性、結(jié)合律，存在單位元$e$，對任意$a\inG$有逆元$a^{-1}$，則$(G,\cdot)$是群。2.什么是環(huán)的理想？答案：環(huán)$R$的非空子集$I$，對加法封閉，且對任意$r\inR$，$a\inI$有$ra\inI$（左理想）和$ar\inI$（右理想），雙邊都滿足則是雙邊理想。3.說明整環(huán)和域的關(guān)系。答案：域一定是整環(huán)，因為域滿足整環(huán)無零因子、可交換、有單位元的性質(zhì)。但整環(huán)不一定是域，整環(huán)中非零元不一定都有乘法逆元，而域中每個非零元都有逆元。4.簡述群同態(tài)基本定理。答案：設(shè)$f:G_1\rightarrowG_2$是群同態(tài)，則$G_1/Ker(f)\congIm(f)$，即群$G_1$關(guān)于同態(tài)核$Ker(f)$的商群同構(gòu)于同態(tài)像$Im(f)$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論有限群的拉格朗日定理及其應(yīng)用。答案：拉格朗日定理指出有限群$G$的子群$H$的階整除群$G$的階。應(yīng)用：可確定群可能的子群階數(shù)，判斷某些子群是否存在，分析群的結(jié)構(gòu)，例如判斷不存在階數(shù)不符合整除關(guān)系的子群等。2.探討環(huán)的分類及常見環(huán)的特點。答案：環(huán)可分為交換環(huán)、非交換環(huán)、有單位元環(huán)、無單位元環(huán)等。常見環(huán)如整數(shù)環(huán)$\mathbb{Z}$是交換整環(huán)；矩陣環(huán)是非交換環(huán)；多項式環(huán)$F[x]$是交換環(huán)且是唯一分解整環(huán)，不同環(huán)的運算性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特點各異。3.分析域擴張的概念及意義。答案：域擴張是從一個基礎(chǔ)域$F$到包含它的更大的域$E$的關(guān)系。意義在于通過擴張可解決基礎(chǔ)域中一些無