PAGEPAGE113概率1.有一個嬉戲,其規則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進,每人一個方向.事務“甲向南”與事務“乙向南”的關系為().A.互斥但非對立事務B.對立事務C.和事務是可能事務D.以上都不對解析?由于每人一個方向,故“甲向南”意味著“乙向南”是不行能的,故是互斥事務,但不是對立事務,故選A.答案?A2.將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行,則2本數學書相鄰的概率為().A.12 B.13 C.23解析?設2本不同的數學書為a1,a2,1本語文書為b,則在書架上的擺放方法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6種,其中數學書相鄰的有4種.因此2本數學書相鄰的概率P=46=23答案?C3.從一箱產品中隨機地抽取一件,設事務A為“抽到一等品”,事務B為“抽到二等品”,事務C為“抽到三等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事務“抽到的產品不是一等品”的概率為.

解析?∵事務A為“抽到一等品”,且P(A)=0.65,∴事務“抽到的產品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.答案?0.354.在區間[-2,4]上隨機地取一個數x,若x滿意|x|≤m的概率為56,則m=.解析?由|x|≤m,得-m≤x≤m.當0<m≤2時,由題意得2m6=56,解得m=2.5,當2<m<4時,由題意得m-(-2)6=5答案?3實力1?互斥、對立事務的概率【例1】一盒中裝有12個球,其中5個紅球,4個黑球,2個白球,1個綠球.從中隨機取出1個球,求:(1)取出的球是紅球或黑球的概率;(2)取出的球是紅球或黑球或白球的概率.解析?(法一:利用互斥事務求概率)記事務A1={任取1個球為紅球},事務A2={任取1個球為黑球},事務A3={任取1個球為白球},事務A4={任取1個球為綠球},則P(A1)=512,P(A2)=412=13,P(A3)=212=16,P(A由題意知,事務A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事務的概率公式,得(1)取出的球是紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=512+412=(2)取出的球是紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=512+412+212(法二:利用對立事務求概率)(1)由法一知,取出的球為紅球或黑球的對立事務為取出的球為白球或綠球,即事務A1∪A2的對立事務為A3∪A4,所以取出的球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-212-112=(2)因為事務A1∪A2∪A3的對立事務為A4,所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-112=11求概率的關鍵是分清所求事務是由哪些事務組成的,求解時通常有兩種方法:(1)將所求事務轉化成幾個彼此互斥的事務的和事務,利用概率加法公式求解概率.(2)若將一個較困難的事務轉化為幾個互斥事務的和事務時,須要分類太多,而其對立面的分類較少,可考慮利用對立事務的概率公式,即“正難則反”.它常用來求“至少”或“至多”型事務的概率.某學校在老師外出家訪了解學生家長對孩子的學習關切狀況活動中,一個月內派出的老師人數及其概率如下表所示:派出人數≤2345≥6概率0.10.460.30.10.04(1)求有4人或5人外出家訪的概率;(2)求至少有3人外出家訪的概率.解析?(1)設派出2人及以下為事務A,3人為事務B,4人為事務C,5人為事務D,6人及以上為事務E,則有4人或5人外出家訪的事務為事務C或事務D,C,D為互斥事務,依據互斥事務概率的加法公式可知,P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.(2)至少有3人外出家訪的對立事務為2人及以下外出家訪,所以由對立事務的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.實力2?古典概型的求法【例2】某市A,B兩所中學的學生組隊參與辯論賽,A中學舉薦了3名男生、2名女生,B中學舉薦了3名男生、4名女生,兩校所舉薦的學生一起參與集訓.由于集訓后隊員水平相當,從參與集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率;(2)某場競賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,求參賽女生人數不少于2人的概率.解析?(1)由題意,參與集訓的男、女生各有6名.入選代表隊的學生全從B中學抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為C33C43C63C6(2)設“參賽的4人中女生不少于2人”為事務A,記“參賽女生有2人”為事務B,“參賽女生有3人”為事務C,則P(B)=C32C32C64=35,由互斥事務的概率加法公式,得P(A)=P(B)+P(C)=35+15=故所求事務的概率為451.求較困難事務的概率問題,解題關鍵是理解題目的實際含義,把實際問題轉化為概率模型,必要時先將所求事務轉化成彼此互斥事務的和,或者先求其對立事務的概率,再用互斥事務的概率加法公式或對立事務的概率公式求解.2.留意區分排列與組合,以及計數原理的正確運用.(1)同學聚會上,某同學從《愛你一萬年》《十年》《父親》《單身情歌》四首歌中選出兩首歌進行表演,則《愛你一萬年》未被選取的概率為().A.13 B.12 C.23(2)從集合A={-2,-1,2}中隨機抽取一個數記為a,從集合B={-1,1,3}中隨機抽取一個數記為b,則直線ax-y+b=0不經過第四象限的概率為().A.29 B.13 C.49解析?(1)分別記《愛你一萬年》《十年》《父親》《單身情歌》為A1,A2,A3,A4,從這四首歌中選出兩首歌進行表演的全部可能的結果為A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,共6種,其中A1未被選取的結果有3種,所以所求概率P=36=12.(2)(a,b)全部可能的結果為(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9種.由ax-y+b=0得y=ax+b,當a≥0,b≥0時,直線ax-y+b=0不經過第四象限,符合條件的(a,b)的結果為(2,1),(2,3),共2種,故直線ax-y+b=答案?(1)B(2)A實力3?幾何概型的應用【例3】(1)如圖,已知小圓的半徑為2km,大圓的半徑為4km,假設衛星P(大小不計)在圓環內無規則地自由運動,則在運行過程中,衛星P與點O(O為圓心)的距離小于3km的概率為.

(2)在長為12cm的線段AB上任取一點C,現作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積小于32cm2的概率為.

解析?(1)依據幾何概型公式,小于3km的圓環面積為π(32-22)=5π.圓環總面積為π(42-22)=12π,所以衛星P與點O的距離小于3km的概率P=5π12π=5(2)設AC=xcm(0<x<12),則CB=(12-x)cm,故矩形的面積S=x(12-x)=12x-x2(cm2).由12x-x2<32,即(x-8)(x-4)>0,解得0<x<4或8<x<12.在數軸上表示,如圖所示.由幾何概型概率公式,得所求概率P=812=2答案?(1)512(2)1.求解與長度、角度有關的幾何概型的方法求與長度(角度)有關的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉化為長度(角度),然后求解.要特殊留意“長度型”與“角度型”的不同.解題的關鍵是構建事務的區域(長度或角度).2.與面積有關的平面圖形的幾何概型,解題的關鍵是對所求的事務A構成的平面區域形態的推斷及面積的計算,基本方法是數形結合.3.解題時可依據題意構造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到全部試驗結果構成的平面圖形,以便求解.(1)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=3,BC=1,在∠DAB內隨意作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點的概率為.

(2)設不等式組0≤x≤2,0≤y≤2表示的平面區域為DA.π4 B.C.π6 D.解析?(1)因為在∠DAB內隨意作射線AP,所以它的全部等可能事務所在的區域是∠DAB,當射線AP與線段BC有公共點時,射線AP落在∠CAB內,所以射線AP與線段BC有公共點的概率P=∠CAB∠DAB=30(2)如圖所示,正方形OABC及其內部為不等式組表示的平面區域D,且區域D的面積為4,而陰影部分表示區域D內到坐標原點的距離大于2的點.易知該陰影部分的面積為4-π.因此滿意條件的概率P=4-π答案?(1)13一、選擇題1.將一枚硬幣向上拋擲10次,則“正面對上恰有5次”是().A.必定事務 B.隨機事務C.不行能事務 D.無法確定解析?拋擲10次硬幣正面對上的次數可能為0~10,都有可能發生,正面對上5次是隨機事務,故選B.答案?B2.如圖所示,邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區域,在正方形中隨機撒一粒豆子,它落在陰影區域內的概率為23,則陰影區域的面積為()A.43 B.C.23 D.解析?在正方形中隨機撒一粒豆子,它落在陰影區域內的概率P=S陰影S正方形=23,即S陰影4=23答案?B3.已知集合A={2,3},B={1,2,3},從A,B中各隨意取一個數,則這兩數之和等于4的概率是().A.23 B.12 C.13解析?從A,B中隨意取一個數,共有C

21C·31=6種情形,兩數之和等于4的情形只有(2,2),(3,1),共2種,故所求事務的概率P=答案?C4.袋中裝有3個白球,4個黑球,從中任取3個球,則①恰有1個白球和全是白球;②至少有1個白球和全是黑球;③至少有1個白球和至少有2個白球;④至少有1個白球和至少有1個黑球.在上述事務中,是對立事務的為().A.① B.② C.③ D.④解析?至少有1個白球和全是黑球不同時發生,且肯定有一個發生,∴②中的事務是對立事務,故選B.答案?B5.從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數a,從{1,2,3}中隨機選取一個數b,則b>a的概率是().A.45 B.35 C.25解析?基本領件的個數為5×3=15,其中滿意b>a的有3種,所以b>a的概率為315=15答案?D6.某袋中有編號為1,2,3,4,5,6的6個球(小球除編號外完全相同),甲先從袋中摸出1個球,登記編號后放回,乙再從袋中摸出1個球,登記編號,則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是().A.15 B.16 C.56解析?設a、b分別為甲、乙摸出球的編號.由題意知,摸球試驗共有36種不同的結果,滿意a=b的基本領件共有6種,所以摸出編號不同的概率P=1-636=56答案?C7.一個三位自然數百位、十位、個位上的數字依次為a、b、c,當且僅當a>b,b<c時稱為“凹數”(如213,312等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,則這個三位數是“凹數”的概率是().A.16 B.524 C.13解析?選出一個三位數有A

43=24種狀況,其中是“凹數”的有C

43×2=8種狀況,所以所求概率P=答案?C8.在不等式組0≤x≤2,0≤y≤2所表示的平面區域內任取一點P,若點P的坐標(x,y)滿意y≥kx的概率為3A.4 B.2 C.23 D.解析?如圖,滿意不等式組的區域是邊長為2的正方形,其面積是4.假設滿意不等式y≥kx的區域為圖中陰影部分,其面積為4-12×2×2k,由幾何概型的概率公式得點P的坐標(x,y)滿意y≥kx的概率為4-12×2×2k4答案?D9.設m,n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數,則在先后兩次出現的點數中有5的條件下,方程x2+mx+n=0有實根的概率為().A.1136 B.736 C.711解析?先后兩次出現的點數中有5的狀況有(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11種,其中使方程x2+mx+n=0有實根的狀況有(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7種.故所求事務的概率P=711,故選C答案?C10.若函數f(x)=ex,0≤x<1,lnx+e,1≤A.1e B.1-C.e1+e D.解析?當0≤x<1時,恒有f(x)e=x<e,不滿意題意.當1≤x≤e時,f(x)=lnx+e,由lnx+e≥e,得1≤x≤e.故所求事務的概率為P=e-1e=1答案?B二、填空題11.從2,3,8,9中任取2個不同的數字,分別記為a,b,則logab為整數的概率是.

解析?從2,3,8,9中任取2個不同的數字,記為(a,b),則有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,