第29講抽屜原理（一）

一、知識要點

如果給你5盒餅干，讓你把它們放到4個抽屜里，那么可以肯定有一個抽屜里至少有2

盒餅干。如果把4封信投到3個郵箱中，那么可以肯定有一個郵箱中至少有2封信。如果把

3本聯(lián)練習(xí)冊分給兩位同學(xué)，那么可以肯定其中有一位同學(xué)至少分到2本練習(xí)冊。這些簡單

內(nèi)的例子就是數(shù)學(xué)中的“抽屜原理”。

基本的抽屜原理有兩條：（1）如果把x+k（k^l）個元素放到x個抽屜里，那么至少有

一個抽屜里含有2個或2個以上的元素。（2）如果把mXxXk（x>k^l）個元素放到x個抽

屜里，那么至少有一個抽屜里含有m+1個或更多個元素。

利用抽屜原理解題時要注意區(qū)分哪些是“抽屜”？哪些是“元素”？然后按以下步驟解

答：a、構(gòu)造抽屜，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屜。C、說明理由，得出結(jié)論。

本周我們先來學(xué)習(xí)第（1）條原理及其應(yīng)用。

二、精講精練

【例題1】某校六年級有學(xué)生367人，請問有沒有兩個學(xué)生的生日是同一天？為什么？

把一年中的天數(shù)看成是抽屜，把學(xué)生人數(shù)看成是元素。把367個元素放到366個抽屜中，

至少有一個抽屜中有2個元素，即至少有兩個學(xué)生的生日是同一天。

平年一年有365天，閏年一年有366天。把天數(shù)看做抽屜，共366個抽屜。把367個人

分別放入366個抽屜中，至少在一個抽屜里有兩個人，因此，肯定有兩個學(xué)生的生日是同一

天。

練習(xí)1：

1、某校有370名1992V出生的學(xué)生，其中至少有2個學(xué)生的生日是同一天，為什么？

2、某校有30名學(xué)生是2月份出生的，能否至少有兩個學(xué)生生日是在同一天？

3、15個小朋友中，至少有幾個小朋友在同一個月出生?

［例題2］某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書。買書的情況是；有買一本的、二本

的、也有三本的，問至少要云幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書（每種書最多

買一本）？

首先考慮買書的幾種可能性，買一本、二半、三本共有7種類型，把7種類型看成7個

抽屜，去的人數(shù)看成元素。要保證至少有一個抽屜里有2人，那么去的人數(shù)應(yīng)大于抽屜數(shù)。

所以至少要去7+1=8（個）學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書。

買書的類型有：

買一本的：有語文、數(shù)學(xué)、外語3種。

買二本的：有語文和數(shù)學(xué)、語文和外語、數(shù)學(xué)和外語3種。

買三本的：有語文、數(shù)學(xué)和外語1種。

3+3+1=7（種）把7種類型看做7個抽屜，要保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書，至少要

去8位學(xué)生。

練習(xí)2：

1、某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書、美術(shù)書、自然書。買書的情況是：有買一本

的、二本的、三本或四本的。，問至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書（每

種書最多買一本）？

2、學(xué)校圖書室有歷史、文藝、科普三種圖書。每個學(xué)生從中任意借兩本，那么至少要幾

個同學(xué)才能保證一定有兩人所借的圖書屬于同一種？

3、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的玻璃珠子，顏色有綠、紅、黃三種，問最少

要取出多少個珠子才能保證有兩個同色的？

【例題3】一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的于套，顏色有黑、紅、藍(lán)、黃四種。

問最少要摸出多少只手套才能保證有3副同色的？

把四種不同的顏色看成是4個抽屜，把手套看成是元素，要保證有1副同色的，就是1

個抽屜里至少有2只手套，根據(jù)抽屜原理，最少要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后，4

個抽屜中還剩下3只手套。再根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套乂能保證有一副手套是同

色的，以此類推。

把四種顏色看成是4個抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有一副就要摸出5只手

套。這時拿出1副同色的后，4個抽屜中還剩下3只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只

手套又能保證有一副手套是同色的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有

5+2+2=9（只）

答：最少要摸出9只手套才能保證有3副同色的。

練習(xí)3：

1、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍(lán)、黃四種。問最少

要摸出多少只手套才能保證有4副同色的？

2、布袋中有同樣規(guī)格但顏色不同的襪子若干只。顏色有白、黑、藍(lán)三種。問：最少要摸

出多少只襪子，才能保證有3雙同色的？

3、一個布袋里有紅、黃、藍(lán)色襪子各8只。每次從布袋中拿出一只襪子，最少要拿出多

少只才能保證其中至少有2雙不同襪子?

【例題4】任意5個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是4的倍數(shù)，這是為什么？

一個自然數(shù)除以4的余數(shù)只能是0,1,2,30如果有2個自然數(shù)除以4的余數(shù)相同，那

么這兩個自然數(shù)的差就是4的倍數(shù)。

一個自然數(shù)除以4的余數(shù)可能是0,1,2,3,所以，把這4種情況看做時個抽屜，把任

意5個不相同的自然數(shù)看做5個元素，再根據(jù)抽屜原理，必有一個抽屜中至少有2個數(shù)，而

這兩個數(shù)的余數(shù)是相同的，它們的差一定是4的倍數(shù)。所以，任意5個不相同的自然數(shù)，其

中至少有兩個數(shù)的差是4的倍數(shù)。

練習(xí)4：

1、任意6個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是5的倍數(shù)，這是為什么？

2、任意取兒個不相同的自然數(shù)，才能保證至少有兩個數(shù)的差是8的倍數(shù)？

3、證明在任意的（n+1）個不相同的自然數(shù)中，必有兩個數(shù)之差為n的倍數(shù)。

【例題5】能否在圖29T的5行5列方格表的每個空格中，分別填上1,2,3這三個數(shù)

中的任一個，使得每行、每列及對角線AD、BC上的各個數(shù)的和互不相同？

由圖29T可知：所有空格中只能填寫1或2或3。因此每行、每列、每條對角線上的5

個數(shù)的和最小是1X5=5,最大是3X5=15。從5到15共有11個互不相同的整數(shù)值，把這11

個值看承11個抽屜，把每行、每列及每條對角線上的各個數(shù)的和看承元素，只要考慮元素和

抽屜的個數(shù)就可得出結(jié)論是不可能的。因為每行、每列、每條對角線上的5個數(shù)的和最小是

5,最大是15,從5到15共有11個互不相同的整數(shù)值。而5行、5列及兩條對角線上的各個

數(shù)的和共有12個，所以，這12條線上的各個數(shù)的和至少有兩個是相同的。

練習(xí)5；

1、能否在6行6列方格表的每個空格中，分別填上1,2,3這三個數(shù)中的任一個，使得