2023年新高考全國Ⅰ卷模擬測試卷06一、單選題1．設集合，，則集合中元素的個數為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】用列舉法寫出集合的元素即可.【解析】因為集合，，所以集合中元素為，共4個.故選：C2．已知，i是虛數單位，復數在復平面內對應的點在第四象限，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復數代數形式的乘法運算化簡，再由實部大于0且虛部小于0聯立不等式組求解．【解析】解：復數，對應點在第四象限，則，解得：．實數的取值范圍是．故選：．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題．3．設向量，，且，則實數（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】根據平面向量垂直的坐標表示求解.【解析】因為向量，，所以，因為，所以，所以，解得，故選:B.4．24小時內降落在某面積上的雨水深度（無滲漏、蒸發、流失等，單位：mm）叫做日降雨量，等級如下劃分：降水量（mm）0.19.91024.92549.95099.9等級小雨、陣雨中雨大雨暴雨某同學用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖所示，則那天降雨屬于哪個等級（

）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】C【分析】利用圓錐內積水的高度，求出圓錐內積水部分的半徑，求出積水的體積，再求出平面上積水的深度，由此確定降雨等級.【解析】作截面圖如下，由已知，，，，設圓錐內積水部分的底面半徑為，則，故，由錐體體積公式可得積水的體積，因為收集雨水的平地面積為圓錐的底面，故其面積所以對應的平地上的積水深度為所以該天降雨的等級為大雨.故選：C.5．足球是一項大眾喜愛的運動,為了解喜愛足球是否與性別有關,隨機抽取了若干人進行調查,抽取女性人數是男性的2倍,男性喜愛足球的人數占男性人數的,女性喜愛足球的人數占女性人數的,若本次調查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關”的結論,則被調查的男性至少有（

）人a0.100.050.010.0050.0012.7063.8415.6357.87910.828A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據題意,設出男生人數,從而計算出列聯表,再算出7.879比較即可.【解析】設被調查的男性為人,則女性為人,依據題意可得列聯表如下表:男性女性合計喜愛足球不喜愛足球合計,因為本次調查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關”的結論,所以有,即,解得,又因為上述列聯表中的所有數字均為整數,故的最小值為12.故選:C.6．設、分別為雙曲線的左右焦點，O為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點E，與雙曲線右支交于點P，且為等腰三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據給定條件，確定，結合圓的切線性質及雙曲線定義列式計算作答.【解析】因為直線與圓切于點E，則，而為等腰三角形，必有，E為的中點，而O為中點，于是，有，且，令雙曲線焦距為2c，由，得，即，有，所以雙曲線的離心率.故選：A7．已知函數在區間上單調遞增，且在區間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角公式變形函數，結合函數單調區間和取得最值的情況，利用整體法即可求得參數的范圍.【解析】依題意，函數，，因為在區間上單調遞增，由，則，于是且，解得且，即，當時，，因為在區間上只取得一次最大值，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：B8．已知定義在R上的函數的導函數為，滿足，且，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，由時，可得在上單調遞增，由，可得.A選項，比較與大小即可判斷選項正誤；B選項，比較與大小即可判斷選項正誤；C選項，比較1與大小即可判斷選項正誤；D選項，比較與大小即可判斷選項正誤；【解析】因，則，則函數在上單調遞增；因，則.A選項，，故A錯誤；B選項，注意到，則，故B錯誤；C選項，，故C錯誤；D選項，，故D正確.故選：D【點睛】關鍵點睛：本題關鍵為通過題目條件構造出函數，并得到其單調性與對稱性，若難以想到，可以通過選項形式得到提示.二、多選題9．a，b為兩條直線，，為兩個平面，則以下命題不正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，，則 D．若，，則【答案】ABC【分析】對A，注意判斷的情況；對B，注意可能相交或異面；對C，討論a，b的相交情況，即可判斷；對D，根據平面平行的性質判斷即可.【解析】對A，由，，可得或，A錯誤；對B，由，，可得直線可能相交，異面或平行，B錯誤；對C，，則當相交時，；當平行時，則或相交，C錯誤；對D，由，，根據平行平面的性質可得，D正確，故選：ABC.10．有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是奇數”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是偶數”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是奇數”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則（

）A．乙發生的概率為 B．丙發生的概率為C．甲與丁相互獨立 D．丙與丁互為對立事件【答案】ACD【分析】先計算出甲乙丙丁的概率，故可判斷AC的正誤，再根據獨立事件的乘法公式可判斷C的正誤，根據對立事件的意義可判斷D的正誤.【解析】設為事件“第一次取出的球的數字是奇數”，為事件“第二次取出的球的數字是偶數”，為事件“兩次取出的球的數字之和是奇數”，為事件“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則，，故A正確.，，故B錯誤.而，故C正確.兩次取出的數字之和要么為奇數，要么為偶數，故丙與丁互為對立事件，故D正確.故選：ACD.11．設和分別為數列和的前n項和.已知，，則（

）A．是等比數列 B．是遞增數列C． D．【答案】ACD【分析】由已知結合的關系及等比數列的定義判斷數列即可確定A、C正誤，應用作差法比較的大小關系判斷B正誤，利用錯位相減法求，再由作差法判斷的大小判斷D.【解析】由，當時，，即，又，∴，即，∴是首項為，公比為的等比數列，故，A正確；由，則，即是遞減數列，B錯誤；又，則，C正確；①，②，①②得：，∴，則，∴，D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：利用及等比數列的定義求的通項公式，綜合運用作差法、錯位相減法比較大小判斷數列單調性、求前n項和，進而判斷各選項的正誤.12．已知函數（且），且，，，則下列結論正確的是（

）A．為R上的增函數 B．無極值C． D．【答案】ABC【分析】先求導，分析函數的單調性和極值，再利用指數函數和對數函數的單調性比較a，b，c的大小，利用函數的單調性比較對應函數值的大小.【解析】解：已知函數（且），則，則，所以，故在R上單調遞增，A選項正確；因為為R上的增函數，所以無極值，B選項正確；因為是增函數，所以，因為是減函數，所以，因為是減函數，所以，綜上可知，，又為增函數，則，C選項正確，D選項錯誤；故選：ABC.三、填空題13．若函數為奇函數，則___________.【答案】【分析】根據奇函數的性質，得到，求得，結合奇偶性的定義，即可求解.【解析】由函數為奇函數，可得，即，解得，當時，，此時函數為奇函數，符合題意；當時，，則，即，此時函數為奇函數，符合題意，綜上可得，實數的值為.故答案為：.14．已知表示一個三位數，如果滿足且，那么我們稱該三位數為“凹數”，則沒有重復數字的三位“凹數”共______個（用數字作答）.【答案】【分析】利用組合的意義可求沒有重復數字的三位“凹數”的個數.【解析】為取自中的不同的三個數字，最小的數字放置在中間，余下兩數可排百位或個位，故共有“凹數”的個數為，故答案為：.15．已知向量，，若非零向量與，的夾角均相等，則的坐標為___（寫出一個符合要求的答案即可）【答案】（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標相等即可.【分析】利用兩個向量夾角的余弦公式，通過兩個余弦相等，化簡即可求出結果.【解析】設，因為，，所以，，因為與，的夾角均相等，所以，所以，化簡得，所以，因為為非零向量，可取，此時.故答案為：（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標相等即可.16．如圖，在矩形中，，，分別為邊，的中點，分別為線段（不含端點）和上的動點，滿足，直線，的交點為，已知點的軌跡為雙曲線的一部分，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【分析】以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，求出直線，的方程，聯立兩方程解出點的坐標，進而可得點所在雙曲線方程，由離心率公式計算即可得答案.【解析】解：以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系：設，則，則有，，，，，，，設，所以，，又因為，所以，所以或，又因為，所以直線的方程為：，即，同理可得直線的方程為：，即，由，可得，即，因為，，，,即有，，所以點所在雙曲線方程為：，所以，所以，所以.故答案為：【點睛】思路點睛：橢圓或雙曲線中，要求離心率的值，就要求出的值(或數量關系或關于的一個二次方程).四、解答題17．已知數列滿足，，且數列是公比為2的等比數列．(1)求的通項公式；(2)令，數列是否有最大項？若有，求出最大項；若沒有，說明理由．【答案】(1)；(2)有最大項，.【分析】（1）根據給定條件，求出，再利用累加法求出的通項作答.（2）利用（1）的結論求出，再探討數列的單調性作答.【解析】（1）因為數列是公比為2的等比數列，且，則,當時，，又也滿足上式，所以的通項公式為.（2）由（1）知，，則，則有，當時,，則有，當時，，即有，數列是遞減的，所以數列有最大項，為.18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求A；(2)若D為邊BC上一點，且，試判斷的形狀.【答案】(1)；(2)直角三角形.【分析】（1）利用三角變換得到，即可求出；（2）設，利用正弦定理，化簡求出，得到，即可證明.【解析】（1）由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，因為，所以.（2）設，，則，，，在中，由正弦定理知，即，即，化簡得，所以，，所以是直角三角形.19．如圖，在三棱臺中，面，，(1)證明：；(2)若棱臺的體積為，，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量證明，則；（2）利用棱臺體積公式得到上下底面三角形的相似比，寫出相關點坐標，求出相關平面的法向量，最后利用二面角公式即可求出其余弦值.【解析】（1）在平面中過點作的垂線，在平面ABC中過點作的垂線，面面，，面，且面面，故面，面，所以，故，，三條兩兩垂直，建立以點為坐標原點，直線，，分別為，，軸的空間直角坐標系，如圖所示，則由題意得，，即，，.（2）設，，根據，則，由棱臺體積公式得，所以，則在（1）問建系基礎上，設面的法向量由，即，取，則，則，由題意得，根據，則，則，設面法向量由，即，取，則，，則，設二面角的大小為，依圖可知，所以，所以二面角的余弦值為.20．甲、乙兩名圍棋學員進行圍棋比賽，規定每局比賽勝者得1分，負者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為α，乙獲勝的概率為β，兩人平局的概率為，且每局比賽結果相互獨立．(1)若，，，求進行4局比賽后甲學員贏得比賽的概率；(2)當時，（i）若比賽最多進行5局，求比賽結束時比賽局數X的分布列及期望E（X）的最大值；（ii）若比賽不限制局數，寫出“甲學員贏得比賽”的概率（用α，β表示），無需寫出過程．【答案】(1)(2)（i）分布列見解析，期望最大值為；（ii）.【分析】（1）根據題意結合獨立事件的概率乘法公式分析運算；（2）（i）根據題意求分布列，進而可得期望；（ii）根據題意結合條件概率分析運算.【解析】（1）用事件A，B，C分別表示每局比賽“甲獲勝”“乙獲勝”或“平局”，則，，，記“進行4局比賽后甲學員贏得比賽”為事件N，則事件N包括事件ABAA，BAAA，ACCA，CACA，CCAA共5種，所以．（2）（i）因為，所以每局比賽結果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得X的所有可能取值為2，4，5，則，，．所以X的分布列為X245P所以X的期望，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以，所以，故的最大值為．（ii）記“甲學員贏得比賽”為事件M，則．由（1）得前兩局比賽結果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲學員贏得比賽”，事件BB表示“乙學員贏得比賽”，事件AB，BA表示“甲、乙兩名學員各得1分”，當甲、乙兩名學員得分總數相同時，甲學員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學員贏得比賽的概率相同．所以所以，即，因為，所以．21．已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，Р為漸近線上一點，且，.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線E實軸長為2，過點且斜率為的直線交雙曲線C的右支不同的A，B兩點，為軸上一點且滿足，試探究是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)2(2)是，2【分析】（1）判斷出為直角三角形，利用邊長關系得到，利用齊次式法求出離心率；（2）利用“設而不求法”表示出，，利用雙曲線的定義得到，進而證明出為定值.【解析】（1）由，可設，在中，因為，所以，即，所以，即為直角三角形.所以在中，，，，所以，則雙曲線的離心率為.（2）由（1）可知在雙曲線中有且實軸長為2，所以，所以雙曲線方程為.由，故設斜率為k的直線為，聯立，可得，因為直線與雙曲線右支交于不同兩點，所以，解得：.設，，則，，則，，即，的中點坐標為，因為Q為x軸上一點，滿足，故Q為AB的垂直平分線與x軸的交點，AB的垂直平分線的方程為：，令，則得，即，所以，又又因為，在雙曲線的右支上，故，，故，即，故，即為定值.22．已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)當時，函數恰有兩個零點.（i）求m的取值范圍；（ii）證明:.【答案】(1)答案見解析(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求導，再分和，根據導數的符號即可得出答案；（2）（i）求導，，利用導數判斷函數的單調性，再結合（1）分和兩種情況討論，利用零點的存在性定理即可得出答案；（ii）由（i）可得要證，即證，先證明