蘇教版高一暑假作業6：平面向量與解三角形學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.(2024·湖北省·單元測試)已知A(1,?3),B8,12,C(9,λ)，且A，B，C三點共線，則A.?1 B.0 C.1 D.22.(2024·廣東省·單元測試)已知向量a=(m?1,1)，b=(m,?2)，則“m=2”是“a⊥bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.(2024·江蘇省宿遷市·月考試卷)若△ABC的三個內角A、B、C滿足sinA:sinB:sinC=2:3:4A.29 B.78 C.154.(2024·廣東省·單元測試)已知向量a，b滿足|a|=1,|b|=2，a與b的夾角為π4，則a+A.24b B.22b5.(2024·廣東省·單元測試)如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點，DF=2FC，則AE?BF的值為(

)A.23 B.?23 C.46.(2024·江蘇省南京市·期中考試)在△ABC中，若a2b2=a2A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.(2024·江蘇省常州市·月考試卷)在平面凸四邊形ABCD中，已知BC=2，AC=1，AB⊥AC，∠ADC=150°，則AD?ABA.12?3 B.32?8.(2024·廣東省江門市·期中考試)已知O，N，P在△ABC所在平面內，滿足OA=OB=OC，NA+NB+NC=0，且PA?PBA.重心，外心，垂心 B.重心，外心，內心 C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，內心二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.(2024·福建省·月考試卷)已知在平面直角坐標系中，點P1(0,1)，P2(4,4).當P是線段P1PA.43,2 B.43,3 C.10.(2024·江蘇省南京市·單元測試)已知O為坐標原點，點A(1,0)，P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,?sinβ)，PA.OP1=OP2 B.AP1=AP2

C.P1P11.(2024·江蘇省蘇州市·月考試卷)如圖，正六邊形的邊長為2，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，，若點M在正六邊形的邊上運動，動點A，B在圓O上運動且關于圓心O對稱，則MA?MB的值可能為(

)

A.32 B.52 C.3 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(2024·重慶市·月考試卷)已知向量a=(2,1)，b=(k,?2)，若a與b的夾角為鈍角，則實數k的取值范圍是

．13.(2024·江蘇省宿遷市·單元測試)△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c若(a+b+c)(a+b?c)=3ab，且14.(2024·江蘇省蘇州市·階段測試)設經過△AOB的重心G的直線與OA，OB分別交于P，Q兩點，若OP=mOA，OQ=nOB，m，n∈R+，則四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(2023·江蘇省·單元測試)(本小題13分)

在△ABC中，設AB=c，BC=a，CA=b，且16.(2024·福建省·期中考試)(本小題15分)如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，點P為CD的中點，點Q在BC上，且BQ=2．(1)求AP?(2)若AC=λAP+μAQ17.(2024·安徽省·月考試卷)(本小題15分)

如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點M為AB中點，點N在BD上，且3BN=BD，記AB=a，AD=b(1)以a?,?b為基底表示MN(2)求證：M、?N、?C三點共線．(2024·江西省九江市·期中測試)(本小題17分)

如圖，在△ABC中，AQ為邊BC的中線，AP=25AQ，過點P作直線分別交邊AB，AC于點M，N，且AM=λAB，AN=μAC，其中λ>0，μ>0．

(1)當MN/?/BC時，用AM，AN19.(2024·河南省開封市·月考試卷)(本小題17分)

如圖，某城市有一條公路從正西方AO通過市中心O后轉向東偏北α角方向的OB.位于該市的某大學M與市中心O的距離OM=313km，且∠AOM=β.現要修筑一條鐵路L，L在OA上設一站A，在OB上設一站B，鐵路在AB部分為直線段，且經過大學M.其中tanα=2，(1)求大學M與站A的距離AM；(2)求鐵路AB段的長AB．

1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查共線向量定理及應用，向量的坐標運算，屬于基礎題．

求出

AB,AC的坐標，利用

AB//AC

【解答】解：由A(1,?3),B8,12,C(9,λ)，可得由A，B，C三點共線，則AB//AC，則7(λ+3)?8×72=0，解之得，λ=12.【答案】A

【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示求得m值，結合充分必要條件的判定方法得答案．

本題考查平面向量垂直的坐標表示，考查充分必要條件的判定方法，是基礎題．【解答】

解：∵a=(m?1,1)，b=(m,?2)，

∴a⊥b?m(m?1)?2=0．

由m(m?1)?2=0，解得m=?1或m=2．

∴“m=23.【答案】C

【解析】【分析】本題考查正弦定理、余弦定理的應用，同角三角函數的基本關系，屬于基礎題，

利用正弦定理得a，b，c的關系，然后由余弦定理結合同角三角函數基本關系式即可得出．【解答】

解：∵sinA:sinB:sinC=2:3:4，

∴由正弦定理有a：b：c=2：3：4，

不妨取a=2，b=3，c=4，

則cosA=

32+42?222×3×4=

74.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了平面向量的數量積，考查投影向量，也考查了運算求解能力，屬于基礎題．

先求出a·【解答】解：∵|a|=1,|b|=2，a與b的夾角為π4，

∴a→·b→=|a→5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查向量的數量積，向量的坐標運算，屬于基礎題.根據向量的坐標運算和向量的數量積即可求解本題．【解答】

解：以D為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系：

正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點，

∴D(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，C(2,0)，E(2,1)，

∵DF=2FC，

∴DF=23DC，∴F(43,0)，

∴6.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函數公式，屬于中檔題．

利用余弦定理表示出cosB及cosA，變形后代入已知等式的右邊，整理后利用正弦定理化簡，再利用二倍角的正弦公式化簡得到sin2A=sin2B，由A和B都為三角形的內角，得到A等于B或A與B互余，可得出三角形為等腰三角形或直角三角形．【解答】

解：∵cosB=a2+c2?b22ac，cosA=b2+c2?a22bc，

∴a2+c2?b2=2ac·cosB，

b2+c2?a2=2bc·cosA，

∴a2+7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了利用正弦定理解三角形，向量的數量積及其運算，屬于一般題．

設∠CAD=θ,θ∈0,π6，在?ACD【解答】

解：設∠CAD=θ,θ∈0,π6在?ACD中，由正弦定理得ACsin所以AD=AC在Rt?ABC中，BC=2，AC=1，則AB=所以

==3sin2=32?(因為θ∈0,π6所以sin所以AD?AB的最小值為故選：B．8.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了向量的幾何運用，涉及向量的加減運算，向量的數量積以及三角形三心的判斷，考查了分析和運用能力，屬于中檔題．

根據|OA|=|OB|=|OC|，得到點O到三角形的三個頂點的距離相等；根據NA+NB+NC=0，得NA+NB=CN，得到點N【解答】

解：因為|OA|=|OB|=|OC|，所以點O到三角形的三個頂點的距離相等，所以O為△ABC的外心；

由NA+NB+NC=0，得NA+NB=?NC=CN，由中線的性質可知點N在AB邊的中線上，

同理可得點N在其他邊的中線上，所以點N為△ABC的重心；

由PA·PB=9.【答案】AD

【解析】【分析】本題考查平面向量的基本定理及其應用，平面向量的坐標運算，屬于基礎題．

根據題意，得出P1P=2【解答】

解：由題意，設Px,y，

∵P是線段P1P2的一個三等分點，

∴P1P=2PP2或P1P=12PP2．10.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查平面向量的坐標運算，向量的模，考查三角函數的恒等變形公式，屬于基礎題．

利用向量的坐標公式，結合同角三角函數的平方關系及三角恒等變換求各選項線段對應向量的模長，判斷是否相等即可．【解答】

解：點A(1,0)，P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,?sinβ)，P3(cos(α?+?β),sin(α?+?β))，

A：OB：AP1=(cosα?1,sinα)，AP2=(cosC：P1P2=(cosβ?cosα,?sinβ?sinα)，D：P2P3=(cos?(α+β)?cos?β,sin?(α+β)+sin?β)，AP1=(cosα?1,11.【答案】BC

【解析】【分析】本題主要考查向量的線性運算以及向量的數量積，屬于中檔題．

根據已知條件以及向量的線性運算可得MA?MB=|【解答】

解：由題意MA?MB=(MO+OA)?(MO+OB)

=(MO+OA)?(MO?OA)

=|MO|12.【答案】(?∞,?4)∪(?4,1)

【解析】【分析】本題考查向量坐標運算與數量積及夾角的運算，屬于基礎題．

根據向量夾角為鈍角列不等式，再排除方向相反時k的值，即可得到答案．【解答】

解：∵cosθ=a?b|a|?|b|=2k?25·k2+4，且θ為鈍角，所以2k?2<0，解得k<1，

當13.【答案】2【解析】【分析】本題考查正弦定理、余弦定理的應用，考查學生的運算能力和轉換能力，屬于中檔題．

由已知整理可得a2+b2?c2【解答】解：由于：(a+b+c)(a+b?c)=3ab，則：(a+b)2?c2=3ab，

整理得：a2+b2?c2=ab，故：cosC=a2+b2?14.【答案】4+2【解析】【分析】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎題．

由已知結合向量基本定理可得，1m【解答】

解：OG=23OM=23×12(OA+OB)=13(OA+OB)=13(1mOP?+115.【答案】解：由BC=a，CA=b，AB=c，

可知a+b+c=0，即b=?a+c，

根據a·b=b·c，

所以a·b【解析】本題考查三角形的形狀的判斷及數量積的運算性質，屬于中檔題．

由題意得出b=?a+c，再根據向量的數量積性質得出?a+c16.【答案】解：如圖建立平面直角坐標系，由已知得A(0,0)，P(2,3)，Q(4,2)，C(4,3)．

(1)AP=(2,3),AQ=(4,2)，所以AP?AQ=(2,3)?(4,2)=2×4+3×2=14．

(2)由若AC=λAP+μAQ得：(4,3)=λ(2,3)+μ(4,2)=(2λ+4μ,3λ+2μ)，

【解析】本題考查平面向量性質和數量積的運算，同時考查坐標法在向量問題中的應用，屬于中檔題．

(1)可以A點為原點，建立如圖所示的坐標系，然后利用坐標法求解即可．

(2)根據向量共線的性質求解即可．17.【答案】(1)解：MN=MB+BN=12a+13BD

=12a+13AD?AB

=12a+13b?a

=16【解析】此題考查平面向量的加、減、數乘運算的應用，及利用向量共線證明三點共線．

(1)由平面向量的加、減、數乘運算，可得MN=16a+13b；

(2)由平面向量18.【答案】(1)解：因為AQ為邊BC的中線，所以AQ=12AB+12AC，

因為MN/?/BC，AP=25AQ，所以AM=25AB，AN=25AC，

所以AQ=12×52AM+12×52AN，

即AQ=54【解析】本題考查平面向量的線性運算，共線向量定理的應用，屬于中檔題．

(1)由AQ為邊BC的中線，得AQ=12AB+12AC，再結合MN/?/BC，即可用AM，AN線性表示AQ;

(2)由(1)可得AP19.【答案】解：(1)在△AOM中，AO=15，∠AOM=β，且cosβ=313，OM=313，

由余弦定理可得：

AM2=OA2+OM2?2OA?OM?cos∠AOM

=152+(313)2?2