高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（26）15.已知函數(shù).（1）若，求的極小值；（2）若是單調(diào)函數(shù)，求取值范圍.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)可得其單調(diào)性，即可得其極小值；（2）求出導(dǎo)數(shù)后，分是單調(diào)遞增函數(shù)與單調(diào)遞減函數(shù)討論即可得.【小問1詳解】當時，，，令，由，則，當時，，即在上單調(diào)遞減，當時，，即在上單調(diào)遞增，故的極小值為；【小問2詳解】，若在上單調(diào)遞增，則恒成立，即對恒成立，則恒成立，又，故，若在上單調(diào)遞減，則恒成立，即對恒成立，則恒成立，故，綜上所述，的取值范圍為.16.設(shè)數(shù)列的前項的和為.（1）若是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，求；（2）若，求證：.【答案】（1）或（2）證明見解答【解答】【分析】（1）由等差數(shù)列前n項和公式以及等比中項公式列出等量關(guān)系式并轉(zhuǎn)化成首項和公差來表示即可求解.（2）先由，進而由累乘法結(jié)合求出即可由得解.【小問1詳解】由題意知，故，解得，所以或.【小問2詳解】因為①，所以②，所以由②①得，，所以時，，所以由得，所以，顯然也符合上式，所以，所以.17.某廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品，已知產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布不低于85的產(chǎn)品視為合格品，且合格率為，廠家將合格品按每箱100件包裝出廠.某經(jīng)銷商購進一批該產(chǎn)品分等級銷售，質(zhì)量指標高于95的為“一等品”，其余的為“二等品”（1）從一箱產(chǎn)品中任取1件，求該產(chǎn)品是“一等品”的概率；（2）從一箱產(chǎn)品中任取3件，記“一等品”的件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解答，數(shù)學(xué)期望【解答】【分析】（1）利用正態(tài)分布、條件概率公式計算可得答案；（2）求出的所有可能取值及相應(yīng)的概率，利用期望公式可得答案.【小問1詳解】，記事件為該產(chǎn)品為合格品，事件為該產(chǎn)品是一等品，，該產(chǎn)品是一等品的概率為；【小問2詳解】的所有可能取值為，，，的分布列如下：0123的數(shù)學(xué)期望，或由的二項分布.18.如圖，在三棱錐中，底面為上一點，且平面平面，三棱錐的體積為.（1）求證：為的中點；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）過作于點，利用面面垂直的性質(zhì)定理得平面，值域線面垂直的判定定理性質(zhì)定理可得答案；（2）設(shè)，利用求出，以為原點，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，利用線面角的向量求法可得答案.小問1詳解】過作于點，由平面平面，平面平面平面，平面，又底面平面，，平面，所以底面平面，，又為的中點；【小問2詳解】設(shè)，，，如圖建系，，，設(shè)平面的一個法向量n=x,y,z，令，得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，.19.已知為等軸雙曲線上一點，且到的兩條漸近線的距離之積等于.（1）求的方程；（2）設(shè)點在第一象限，且在漸近線的上方，分別為的左?右頂點，直線分別與軸交于點.過點作的兩條切線，分別與軸交于點（在的上方），證明：.【答案】（1）（2）證明見詳解【解答】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)等軸雙曲線概念得，利用點到直線的距離公式即可求解.（2）設(shè)，再由坐標得到直線的方程，繼而可得坐標，設(shè)過且與雙曲線相切的直線為，聯(lián)立雙曲線與直線方程，由及韋達定理可得坐標，繼而可得，即，即，即可求證.【小問1詳解】設(shè)，為等軸雙曲線上一點，，雙曲線漸近線為，，，的方程為.【小問2詳解】設(shè)，直線方程為，直線的方程為，，設(shè)過且與雙曲線相切的直線為，聯(lián)立，得，，即，設(shè)直線的斜率分別為，則，方程，，同理方程，，，，，，，.【小結(jié)】關(guān)鍵點小結(jié)：本題考查雙曲線的性質(zhì)及直線與雙