2024－2025學年第二學期高一年級第三次月考數學試題試題滿分：150分考試時間：120分鐘一、單選題（8小題，每題5分，共40分）1.已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x等于()A.－2 B.－1 C.1 D.22.已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側面積為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.3.如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2.若將直角梯形繞BC邊旋轉一周，所得幾何體的體積為()A.π B. C. D.2π4.已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是()A.l∥β，l?α?α∥βB.l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC.l∥m，l?α，m?β?α∥βD.l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β5.如圖，點S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分別是SC和AB的中點，則EF的長是()A.1 B. C. D.6.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A，B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為()A.60° B.30° C.45° D.15°7.已知圓錐的側面積為，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的底面圓半徑為（）A. B. C. D.8.已知等邊三角形ABC的邊長為a，那么由斜二測畫法得到的△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2二、多選題（3小題，每題6分，共18分）9.在復平面內，下列說法正確的是（）A.復數，則在復平面內對應的點位于第一象限B.若復數，則C.若復數滿足，則D.若復數滿足，則復數對應的點所構成的圖形面積為10.下列選項中，不正確的是()A.用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺B.有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺D.棱臺的側棱延長后必交于一點11.已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則下列結論正確的有()A.a·b＝5B.a的單位向量是C.〈a，b〉＝ D.a與b平行三、填空題（3小題，每題5分，共15分）12.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中點，二面角C1-BD-C的平面角是________，其正切值為________．13.一個半徑為5cm的球，被一平面所截，球心到截面圓心的距離為4cm，則截面圓面積為________cm2.14.已知空間中角α的兩邊分別平行于角β的兩邊，若α=60°，則β=．四、解答題（15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，共77分）15.已知平面向量a＝(2,2)，b＝(x，－1)．(1)若a∥b，求實數x的值；(2)若a⊥(a－2b)，求向量a與b的夾角的余弦值．16.已知復數，．（1）若是純虛數，求的值；（2）若在復平面內對應的點在第三象限，求的取值范圍．17.如圖，已知四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，點M、N、Q分別是PA、BD、PD的中點.求證：（1）平面PCD；（2）平面MNQ∥平面PB18.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.(1)求證:BD1⊥平面B1AC;(2)求點B到平面B1AC的距離.19.如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線PA∥平面DEF；平面BDE⊥平面ABC.高一數學答案一、單選題1.已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x等于()A.－2 B.－1 C.1 D.2【答案】D【解析】因為b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.2.已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側面積為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓臺上底、下底半徑分別為，母線長為，又圓臺的側面展開圖是個扇環，則，根據題意知，所以圓臺的高，則，故選：B.3.如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2.若將直角梯形繞BC邊旋轉一周，所得幾何體的體積為()A.π B. C. D.2π【答案】B【解析】將直角梯形繞BC邊旋轉一周，所得幾何體如圖：該幾何體為組合體，上半部分為圓錐，下半部分為圓柱，圓錐與圓柱的底面半徑均為1，高均為1，則所得幾何體的體積為V＝π×12×1＋π×12×1＝.4.已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是()A.l∥β，l?α?α∥βB.l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC.l∥m，l?α，m?β?α∥βD.l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β【答案】D【解析】如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB∥CD，則直線AB∥平面DC1，直線AB?平面AC，但是平面AC與平面DC1不平行，所以選項A錯誤；取BB1的中點E，CC1的中點F，連接EF，則可證EF∥平面AC，B1C1∥平面AC，又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC與平面BC1不平行，所以選項B錯誤；直線AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，但平面AC與平面BC1不平行，所以選項C錯誤；很明顯選項D是兩個平面平行的判定定理，所以選項D正確．5.如圖，點S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分別是SC和AB的中點，則EF的長是()A.1 B. C. D.【答案】B【解析】如圖，取CB的中點D，連接ED，DF，則∠EDF(或其補角)為異面直線SB與AC所成的角，即∠EDF＝90°.在△EDF中，ED＝SB＝1，DF＝AC＝1，所以EF＝＝.6.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A，B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為()A.60° B.30° C.45° D.15°【答案】C【解析】由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°.故選C.7.已知圓錐的側面積為，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的底面圓半徑為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設圓錐底面圓半徑為，母線長為，則，解得，由圓錐的側面積為，得，即，所以.故選：A.8.已知等邊三角形ABC的邊長為a，那么由斜二測畫法得到的△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2【答案】D【解析】方法一建立如圖①所示的平面直角坐標系xOy.如圖②所示，建立平面直角坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，應有A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.過點C′作C′D′⊥O′x′于點D′，則C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面積是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.方法二S△ABC＝a2，又S△A′B′C′＝S△ABC，∴S△A′B′C′＝×a2＝a2.二、多選題9.在復平面內，下列說法正確的是（）A.復數，則在復平面內對應的點位于第一象限B.若復數，則C.若復數滿足，則D.若復數滿足，則復數對應的點所構成的圖形面積為【答案】ABD【解析】A選項，復數，則，故在復平面內對應的點為，位于第一象限，A正確；B選項，設，，，則，即，故，兩邊平方得，故，所以，即，故，其中，故，B正確；C選項，設復數，滿足，但，C錯誤；D選項，表示原點為圓心，1為半徑的圓的外部，表示原點為圓心，為半徑的圓的內部，則復數對應的點所構成的圖形為如圖所示的圓環（包括邊界），故面積為，D正確.故選：ABD.10.下列選項中，不正確的是()A.用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺B.有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺D.棱臺的側棱延長后必交于一點【答案】ABC【解析】A中的平面不一定平行于底面，故A錯；B，C可用反例去檢驗，如圖所示，側棱延長線不能相交于一點，故B，C錯；由棱臺的定義知，D正確．11.已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則下列結論正確的有()A.a·b＝5 B.a的單位向量是C.〈a，b〉＝ D.a與b平行【答案】ABC【解析】∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，∴a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，故A正確；|a|＝＝，∴a的單位向量是，即，故B正確；|b|＝＝，cos〈a，b〉＝＝＝，∵〈a，b〉∈[0，π]．∴〈a，b〉＝，故C正確；∵≠，∴a與b不平行，故D錯誤．三、填空題12.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中點，二面角C1-BD-C的平面角是________，其正切值為________．【答案】∠C1OC【解析】如圖二面角C1-BD-C的平面角是∠C1OC；其正切值為.13.一個半徑為5cm的球，被一平面所截，球心到截面圓心的距離為4cm，則截面圓面積為________cm2.【答案】9π【解析】設截面圓半徑為rcm，則r2＋42＝52，所以r＝3.所以截面圓面積為9πcm2.14.已知空間中角α的兩邊分別平行于角β的兩邊，若α=60°，則β=．【答案】60°或120°【解析】空間等角定理：空間中，如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補，因為空間中角α的兩邊分別平行于角β的兩邊，所以α與β相等或互補，因為α=60°，所以β=60°或120°．故答案為：60°或120°．四、解答題15.已知平面向量a＝(2,2)，b＝(x，－1)．(1)若a∥b，求實數x的值；(2)若a⊥(a－2b)，求向量a與b的夾角的余弦值．【答案】解(1)平面向量a＝(2,2)，b＝(x，－1)，若a∥b，則2×(－1)－2x＝0，解得x＝－1.(2)若a⊥(a－2b)，則a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，即(22＋22)－2×(2x－2)＝0，解得x＝3，∴b＝(3，－1)，∴向量a與b的夾角的余弦值為＝＝.16.已知復數，．（1）若是純虛數，求的值；（2）若在復平面內對應的點在第三象限，求的取值范圍．【答案】解：（1）根據復數的分類，純虛數的實部為0，虛部不為0，因為是純虛數，故，解得.（2）因為在復平面內對應的點在第三象限，所以，解得，故的取值范圍為．17.如圖，已知四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，點M、N、Q分別是PA、BD、PD的中點.求證：（1）平面PCD；（2）平面MNQ∥平面PB【答案】解：（1）由題知ABCD為平行四邊形，點M分別是PA的中點，所以N是AC的中點，所以MN∥又因為平面PCD，平面PCD，所以平面PCD；（2）因為ABCD為平行四邊形，所以N是BD中點，又因為Q是PD中點，所以NQ∥PB，又由(1)知MN又因為PB，PC平面PBC，NQ，MN平面NMQ，所以平面MNQ∥平面PBC18.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.(1)求證:BD1⊥平面B1AC;(2)求點B到平面B1AC的距離.【答案】(1)證明：連接BC1,AD1,B1D1.∵AB⊥B1C,BC1⊥B1C,且AB∩BC1=B,∴B1C⊥平面ABC1D1.又BD1?平面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.∵B1B⊥AC,BD⊥AC,且B1B∩BD=B,∴AC⊥平面BB1D1D.又BD1?平面BB1D1D,∴AC⊥BD1.∵AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面B1AC.(2)解:∵O∈BD,∴連接OB1交BD1于點E.又O∈AC,∴OB1?平面B1AC.∴BE⊥平面B1AC,BE即為所求距離.∵△BEO∽△BDD1,∴BEOB=BDBD1,∴19.如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線P