創(chuàng)新高級中學2025年上學期創(chuàng)高杯考試高二數(shù)學試題時量：120分鐘總分：150分第Ⅰ卷單選題：每小題5分，共40分1．已知集合，，則（

）A．B． C． D．2．設(shè)，則（

）A．B． C． D．3．下列命題正確的是（

）A．單位向量均相等 B．任一向量與它的相反向量不相等C．模為零的向量與任一向量平行 D．模相等的兩個共線向量是相同的向量4．角的終邊過點，則的值為（

）A． B． C． D．5．“”是“不等式在上恒成立”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．關(guān)于函數(shù)，下列說法不正確的是（

）A．周期為 B．在上不單調(diào)C．是它的一條對稱軸 D．有一個對稱中心7.已知實數(shù)，且滿足，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．8．定義的實數(shù)根叫函數(shù)的“躺平點”．若函數(shù)，，的“躺平點”分別為，則大小為（

）A． B． C． D．二、多選題：每小題5分，共20分9．已知一組樣本數(shù)據(jù)，則（

）A．該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1 B．該樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)相同C．該樣本數(shù)據(jù)的方差大于極差 D．該樣本數(shù)據(jù)的標準差小于眾數(shù)10．已知橢圓，則（

）A．C的長軸長為8 B．C的焦點坐標為C．C的離心率為 D．C上的點到焦點的最大距離為4+11．如圖，正方體的棱長為2，，分別是，的中點，點是底面內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的為（

）A．存在點，使得平面B．過三點的平面截正方體所得截面圖形是平行四邊形C．三棱錐的體積為定值D．三棱錐的外接球表面積為12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當時，有極大值 B．當時，C．，恒成立 D．當有且僅有兩個零點時，第Ⅱ卷三、填空題：每小題5分，共20分13．已知數(shù)列滿足，則.14．已知是分別經(jīng)過的兩條平行直線，當與之間的距離最大時，直線的方程是.15．某公園設(shè)置了一些石凳供大家休息，每張石凳是由正方體石料截去八個一樣的四面體得到的，如圖所示．如果一張石凳的體積是，那么原正方體石料的體積是．16．設(shè)A，是兩個隨機事件，且則. 解答題：6個小題，共70分17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求的值；(2)已知，求的面積.18．已知數(shù)列滿足，（），記．(1)求數(shù)列的通項；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和為.19．如圖，已知四邊形為等腰梯形，為以為直徑的半圓弧上一點，平面平面，為的中點，為的中點，，.(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.20．近年來，購買盲盒成為當下年輕人的潮流之一.2025年初，中國動畫電影《哪吒2》火爆上映，引發(fā)觀影熱潮.隨后，某手辦店乘勢推出一系列單價相同、款式各異的手辦盲盒，其中開出哪吒手辦的概率是，開出敖丙手辦的概率是.(1)若張三到該店購買3個盲盒，設(shè)其開出哪吒手辦的個數(shù)為，求的分布列和期望；(2)若該店開展活動，當顧客在購買手辦盲盒過程中，連續(xù)開出2個哪吒手辦時，可獲贈1個齊天大圣手辦.已知手辦盲盒單價為9元，那么平均花多少錢能獲得1個齊天大圣手辦?21．雙曲線的離心率為2，右頂點到一條漸近線的距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點，且為坐標原點，求證：點到直線的距離為定值．22．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；(3)已知數(shù)列滿足，，證明：．創(chuàng)新高級中學2025年上學期創(chuàng)高杯考試高二數(shù)學參考答案選擇題123456789101112BDCBADCCABDACDACDABD二、填空題13、0或914、x+2y-3=015、0.21616、三、解答題17、（1），，，，即，，，.————（4分）（2）由正弦定理得，即，，又，所以，所以，所以.————（10分）18、（1），，又，所以，又，，數(shù)列中任意一項不為0，，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，.

則.————（5分）（2）由第（1）問知，，則，設(shè)數(shù)列的前項和為，所以①，②，所以①-②可得：，所以.

————（12分）19.（1）取的中點，連接，則且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；————（5分）（2）取的中點，連接，因為四邊形為等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，過點作直線的垂線交于點，以為坐標原點，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為為直徑，所以，所以，，，在等腰梯形中，，，所以，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為. ————（12分）20、（1）可取0，1，2，3，由題可知.則，，0123P分布列：；————（6分）（2）設(shè)通過活動購買第X個盲盒時，恰好連續(xù)開出2個哪吒手辦，設(shè)其期望為E，則.解得.平均需花費元. ————（12分）21.（1）由題意，得雙曲線的漸近線方程為，右頂點為．又，且，所以，故．又，解得，所以雙曲線的方程為．————（5分）（2）設(shè)，當直線和軸線平行時，，解得，所以點到直線的距離為．當直線和軸線不平行時，設(shè)直線的方程為，由得所以．又，所以解得．又點到直線的距離為，則，故，即點到直線的距離為．綜上所述，點到直線的距離為定值．————（12分）22.（1）當時，，，所以，，所以曲線在點處的切線方程：；即；————（3分）（2）在上單調(diào)遞增，等價于恒成立，令，易知