教師版2015高中數學必修+選修知識點歸納

引言重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲

1.課程內容：線，立體幾何，導數

必修課程由5個模塊組成：難點：函數、圓錐曲線

必修1:集合、函數概念與基本初等函數（指、對、幕高考相關考點：

函數）（1）集合與簡易邏輯：集合的概念與運算、簡易邏輯、充

必修2:立體幾何初步、平面解析幾何初步。要條件

必修3:算法初步、統計、概率。（2）函數：映射與函數、函數解析式與定義域、值域與最

必修4：基本初等函數（三角函數）、平面向量、值、反函數、三大性質、函數圖象、指數與指

三角恒等變換。數函數、對數與對數函數、函數的應用

必修5:解三角形、數列、不等式。

以上是每一個高中學生所必須學習的。⑶數列：數列的有關概念、等差數列、等比數列、數列

上述內容覆蓋了高中階段傳統的數學基礎知識和基本求和、數列的應用

技能的主要部分，其中包括集合、函數、數列、不等式、⑷三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、

解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同倍、半公式、求值、化簡、證明、三南島

的是在保證打好基礎的同時，進一步強調了這些知識數的困象與性質、三角函數的應用

的發生、發展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做⑸平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數量積

過高的要求。及其應月

此外，基礎內容還增加了向量、算法、梭率、統計⑹不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、

等內容。不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用

選修課程有4個系列：⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、

系列1:由2個模塊組成。線性規劃、圓、直線與圓的位直關系

選修1一1:常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐

其應用。曲線的位置關系、枕跡問題、圓錐曲線的應用

選修1一2：統計案例、推理與證明、教系的擴充與復（9）直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、

數、框圖平面與平而、枝柱、棱錐、球、空間向量

系列2：由3個模塊組成。（10）排列、組合和概率:排列、組合應用題、二項式定理

選修2—1:常用邏輯用語、圓錐曲線與方及其應用

程、（11）概率與統計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正

空間向量與立體幾何。態分布

選修2—2:導數及其應用，推理與證明、數系的擴充（12）導數：導數的概念、求導、導數的應用

與復數（⑶復數：復數的概念與運算

選修2—3:計數原理、隨機變量及其分布列，統計案必修1數學知識點

例。第一章：集合與函數概念

系列3：由6個專題組成。

§1.1.1.集合

選修3—1：數學史選講。

1、把研究的對象統稱為元素，把一些元素組成的總體

選修3—2：信息安全與密碼。

選修3—3：球面上的幾何。叫做集合。集合三要素：確定性、互異性、無序性。

選修3—4：對稱與群。2.只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集

選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。合相等。

選修3—6：三等分角與數域擴充。3.常見集合：正整數集合：口或口，整數集合：口，有

系列4：由10個專題組成。

理數集合：U,實數集合：U.

選修4—1:幾何證明選講。

4.集合的表示方法：列舉法、描述法.

選修4—2:矩陣與變換。

§1.1.2.集合間的基本關系

選修4—3:數列與差分。

選修4—4:坐標系與參數方程。1.一般地，對于兩個集合A.B,如果集合A中任意一

選修4―5:不等式選講。個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B

選修4—6：初等數論初步。的子集。記作□.

選修4—7：優選法與試臉設計初步。2.如果集合口，但存在元素口，且口，則稱集合A是

選修4—8：統籌法與圖論初步。

集合B的其子集.記作：AQB.

2.選修4—9：風險與決能。

3.把不含任何元素的集合叫做空集.記作：□.并規定

3.進修4一10：開關電路與布爾代教。

重難點及考點：空奧合是任何集合的子集.

-0-

4.如果集合A中含有n個元素，則集合A有□個子集，(1)口..

□個真子集.(2)□.

§1.1.3.集合間的基本運算“、u-uv-uv.八\

(3)(-)=—.—3￥()).

1.一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的VV

集合，稱為集合A與B的并集.記作：□.4.復合函數求導法則

2.一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組復合函數口的導數和函數二］的導數間的關系為口，

成的集合，稱為A與B的交集.記作：□.即□對口的導數等于□對口的導數與口對□的導數的

3.全集、補集？口乘積.

解題步驟：分層一層層求導一作積還原.

§1.2.1.函數的概念

1.設A.B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關5.函數的極值

系口,使對于集合A中的任意一個數口，在集合B(1)極值定義：

中都有惟一確定的數口和它對應，則就稱□為集極值是在口附近所有的點，都有□＜匚］,則□是函數

合A到集合B的一個函數，記作：□.□的極大值；

2、一個函數的構成要素為：定義域、對應關系、值域.極值是在口附近所有的點，都有口＞□,則口

如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全是函數□的極小值.

一致，則稱這兩個函數相等.①如果在口附近的左側口＞0,右側口＜0,則□是

§1.2.2,函數的表示法極大值；

1、函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.(2)a>10<a<1

§1.3.1.單調性與最大(小)值a

1.注意函數單調性的證明方法：

別

(1)定義法：設□則

方

/(x,)-/(々)＜。=/(幻在［?以上是增函數；

法：

/(X］)-f(x2)＞0of(x)在上是減函數?

步驟：取值一作差一變形一定號一判斷

格式：解：設□且口，則:□=?-?圖

(2)導數法：設函數口在某個區間內可導，若口，則象

□為增函數；?

若口，則□為減函數.

奇偶性

§1.3.2.(1)定義域：R

1.一般地，如果對于函數□的定義域內任意一個口，性

都有口，則就稱函數□為偶函數.偶函數圖象關于質(2)值域:(0,+8)

□軸對稱.

2.一般地，如果對于函數□的定義域內任意一個口，

(3)過定點(0,1),即x=0時,y=1

都有口，則就稱函數□為奪函數.奇函數圖象關于原點

對稱.

4在R上是增函數(4)在R上是減函數

知識鏈接：函數與導數

(5)x>0,?>>1;(5)x>0,0<ci'<1；

1.函數□在點口處的導數的幾何意義：x<0,0<?,<1X<0,4、>1

函數口在點□處的導數是曲線口在口處的切線的斜率②如果在口附近的左側口＜0,右側口＞0,則□是極

□,相應的切線方程是□.小值.

2.幾種常見函數的導數

6.求函數的最值

二②(犬)'=〃￡；③

①00；1⑴求y=/(x)在(a/)內的極值(極大或者極小值)

手口的各極值點與□比較，其中最大的一個為最大

(sinx)=cosx；@(cosx)=-sinx；(2)1

值，最小的一個為極小值。

注：極值是在局部對函數值進行比較(局部性質)；最

⑤S)=axIna；⑥(/)=ex；⑦值是在卷體區間上對函數值進行比較(整體性質)。

(log”x)=J—；?(lnx),=-第二章：基本初等函數(I)

xlnax§2.1.1.指數與指數霸的運算

“導致的運算法則1.一般地，如果口，則□叫做□的□次方根。其

-1-

中□.2.對數恒等式：□.

3.基本性質：口，口.

2a>\()<?<!

4、運算性質：當口時：

性⑴log,(MN)=log.M+logaN；

質

⑵哨鼠M

=logKA/-log(,^

圖11H

⑶10g.M=nlog<;M.

象0101

5.換底公式：口

(4>0,4.1,c>0,c/1,。>0).

(1)定義域：(0,+8)

6.重要公式：口

性

(2)值域：R7、倒數關系：

質§2..2.2.對數函數及其性質

(3)過定點(1,0),即x=1時，y=01、記住圖象：□

(4)在(0,+8)上(4)在(0,+8)上

是增函數是減函數

(5)x>l,logwx>0；⑸x〉l,log“x<0；

0<x<ljogrtx<00<x<l,Iogrtx>0

2.當□為奇數時，匚§2.3.我函數

當□為偶數時，□.1、幾種寐函數的圖象:

3、我們規定：

II__

⑴。7二廂

(a>0,w,nGNjn>1)；

(2)a~n=—(?>0)；

an

4運算性質：

⑴4%=/+'(4>0,八5￡。)；

⑵(a)=a"(a>0,r,s￡Q);

第三章：函數的應用

§3.1.1.方程的根與函數的零點

⑶(〃/?)'=a'br(6/>0,/?>0,reQ).

1.方程口有實根

§2.1.2.指數函數及其性質。函數y=/(x)的圖象與x軸有交點

1、記住圖象：□

o函數y=/(x)有零點.

2.零點存在性定理：

如果函數口在區間日上的圖象是連續不斷的一條曲線,

并且有口，則函數□在區間□內有零點，即存在口，

使得口，這個口也就是方程□的根.

2.性質：§3.1.2.用二分法求方程的近似解

§2.2.1.對數與對數運算1.掌握二分法.

1.指數與對數互化式：口;§3.2.1.幾類不同增長的函數模型

-2-

§3.2.2.函數模型的應用舉例兩個角相等或互補。

1、解決問題的常規方法：先畫散點困，再用適當的函6.線線位置關系：平行、相交、異面。

數擬合，最后檢驗.7、線面位置關系：直線在平面內、直線和平面平行、

直線和平面相交。

必修2教學知識點8、面面位置關系：平行、相交。

第一章：空間幾何體9、線面平行：

1.空間幾何體的結構⑴判定：平面外一條直線與此平面內的一條直線平

（1）常見的多面體有：棱柱、棱維、棱臺；常見的旋轉體行，

有：圓柱、圓錐、圓臺、球。則該直發與此平面平行（簡稱多線舉行，則線面平

⑵棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并

行）。X：：

且拿相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些⑵性質：一條直線與一個擔取，如過這條直線的

任一平面與此平面的蟾豆*線絆行（簡稱線面

面所圍成的多面體叫做棱柱。

⑶棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面平行，則線線平行）。

與我面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。10、面面平行：

2.空間幾何體的三視圖和直觀圖⑴判定：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平

把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投行，則這兩個平面平行（簡稱線面平行，則面面平

影的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下的行）。

投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。⑵性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，

3.空間幾何體的表面積與體積則它們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行）。

11.線面垂直：

⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條

直線，則就說這條直線和這個平面垂直。

⑵判定：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂

直，則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線

（1）圓柱側面積；S側面=2乃?廠?/

面垂直）。

⑶性質：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

12.面面垂直：

⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直

二面角，就說這兩個平面互相垂直。

⑵圓鉗側面積：□⑵判定：一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這

⑶圓臺側面積：口兩個平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直）。

⑷體積公式：⑶性質：兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于交

線的直線垂直于另一個平面。（簡稱面面垂直，則

%體=5?力；VM=1S./7：

線面垂直）。

%體上+庖工+5。第三章：直線與方程

1.傾斜角與斜率：口

⑸球的表面積和體積：2.直線方程：

、4?⑴點斜式：□

S球二4斕-，匕求=§欣L

⑵斜棧式:□

第二章：點、直線、平面之間的位置關系⑶兩點式：□

1.公理1：如果一條直線上兩點在一個平面內，則這⑷截距式:□

條直線在此平面內。⑸一般式:□

2.公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平

面。3.對于直線：

3.公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，則

/):y=kx+bJ:y=kx+力2有:

它汩有且只有一條過該點的公共直線。}}22

4.公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

k、=k

5.定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，則這(1)/)///：o2

b\手打

-3-

3.兩圓位置關系：口

(2)/]和，2相交=%產；

⑴外離：口;

⑵外切：口;

⑶乙和/，重合o1k1-=k2

(3)相交：□;

Ui=b?

⑷內切：口;

(5)內含：□.

(4)/.±L<=>k,k2=-1.

I/1X3、空間中兩點間距離公式：

4對于直線：

山圖二及2f)2+(%-X)24同一Z)

/,:Ax+By+C=0,

i{1有:

l:B^y+C=0

22必修3教學知識點

第一章：算法

AB=4/

⑴/J〃2=?1、算法三種語言：

31c2工B2cl

自然語言、流程圖、程序語言；

2.流程圖中的圖框：

(2)/j和/?相交。A]B"43]：

2起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等

規范表示方法；

A[B?=A2B{

(3)/,和/,重合。《3.算法的三種基本結構：

I4BG=B2G

‘當型循環結構

順序借構、條件結構、循環結構<

(4)/)±/2<=>A,A2+B]B2=0..直到型循環結構

⑴順序結構示意圖:

5.兩點間距離公式：

山刃=一當)2+(丁2一%『

6?點到直線距離公式：

dJAxo+")b+<

JA2+B2

7、兩平行線間的距離公式：

：與：平行，則⑵條件結構示意圖：

第四章：圓與方程①IF-THEN-ELSE格式:

1.圓的方程：

⑴標準方程：口

其中恒心為口，半徑為□.

⑵一般方程：□.

其中匱心為口，半徑為□.

2.直線與圓的位置關系

直線By+C=0與圓(。一。)2+(y—力2=戶

的位置關系有三種：

J>r<=>相離<=>A<0；

d=rU>相切=△=();

d<r<=>相交<=>A>0.

弦長公式：□

=J]+&2一占)2—4大蒼

-4-

①當理（WHILE型）循環結構示意圖：①辨轉相除法一結果是以相除余數為0而得到

利用根轉相除法求最大公約數的步驟如下：

i）:用較大的數m除以較小的數n得到一個商口

和一個余數口；

II）:若口=0,則n為m,n的最大公約數；若口

*0,則用除數n除以余數口得到一個商口和一個余數

□；

iii）:若口=（）,則□為m,n的最大公約數；若□學0,

則用除數□除以余數□得到一個商□和一個余數

（圖4）□；……

依次計算直至□=（）,此時所得到的□即為所求的最大

公約數。

②史相減損術一結果是以減數與差相等而得到

利用更相減損術求最大公約數的步躲如下:

i）:任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若

是，用2約簡；若不是，執行第二步。

ii）:以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所

得的差比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直到

所得的教相等為止，則這個數（等數）就是所求的最

大公約數。

③遺位制

4基本算法語句：十進制數化為k進制數一除k取余法

①輸入語句的一般格式：INPUT"提示內容”；變量k進制教化為十進制數

②輸出語句的一般格式：PRINT"提示內容”；表達式第二章：統計

③賦值語句的一般格式：變量=表達式1、抽樣方法：

（“二”有時也用“一”）.①簡單隨機抽樣（總體個數較少）

@條件語句的一般格式有兩種：②系統抽樣（總體個數較多）

IF—THEN—ELSE語句的一般格式為：③分層出樣（總體中差異明顯）

注意：在N個個體的總體中抽取出n個個體組成樣本，

每個個體被抽到的機會（樓率）均為口。

2.總體分布的估計：

⑴一表二圖：

①頻率分布表——數據詳實

②頻率分布直方圖——分布直觀

（圖2）

③頻率分布折線圖——便于觀察總體分布趨勢

IF—THEN語句的一般格式為：注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。

⑵莖葉圖：

①莖葉圖適用于數據較少的情況，從中便于看出數據

的分布，以及中位數、眾位數等。

②個位數為葉，十位數為莖，右側數據按照從小到大

書寫，相同的數據重復寫。

⑤循環語句的一般格式是兩種：3.總體特征數的估計：

當型循環（WHILE）語句的一般格式：⑴平均數：口；

直到型循環（UNTIL）語句的一般格民：取值為□的頻率分別為口，則其平均版為□:

注意：頻率分布表計算平均數要取組中值。

⑵方差與標準差：一組樣本數據□

方差：口；

標準差：口

（圖

⑹算法案例:5）注：方差與標準差越小，說明樣本數據越穩定。

-5-

平均數反映數據總體水平；方差與標準差反映數據的穩②對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事

定水平。件。

(3)線性回歸方程必修4數學知識點

①變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；第一章：三角函數

②制作散點圖，判斷線性相關關系§1.1.1.任意角

③線性回歸方程：口(最小二乘法)1.正角、負角、零角、象限角的概,念.

2、與角□終邊相同的角的集合：

2工/一〃xy

b=0-----------------[0\P=a+2k兀,kGz}.

?、白,—2

2A—〃x§1.1.2.弧度制

/=1

1.把長度箏于半徑長的孤所對的圓心角叫做1孤度的

a=y-bx角.

注意：線性回歸直線經過定點口。2.□.

第三章：概率3.弧長公式：□.

1.隨機事件及其概率：4.扇形面積公式：口.

⑴事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母表§1.2.1.任意角的三角函數

示；1.設口是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點口，

⑵必然事件、不可能事件、隨機事件的特點：則：口

⑶隨機事件A的概率：□.2、設點□為角口終邊上任意一則：(設口)

2.古典概型：□,□,□,□

⑴基本事件：一次試臉中可能出現的每一個基本結果；3、□,□,□在四個象限的符號和三角函數線的

(2)古典概型的特點：畫法.

①所有的基本事件只有有限個；

②每個基本事件都是等可能發生。正弦線：MP;

⑶古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事余弦線：0M;

件共有n個，事件A包含了其中的m個基本事件，則事正切線：AT

件A發生的概率□.In

5.03冗

52冗3萬

3.幾何概型：特殊T

⑴幾何概型的特點：角

①所有的基本事件是無限個；0°,

②每個基本事件都是等可能發生。30°

⑵幾何概型概率計算公式：□:

其中測度根據題目確定，一般為線段、角度、面積、體45°

積等。

4、互斥事件：60°

￡

⑴不可能同時發生的兩個事件稱為互斥事件：T

T

⑵如果事件□任意兩個都是互斥事件，則稱事件□彼90°

此互斥。2—

⑶如果事件A,B互斥，則事件A+B發生的概率，180