機(jī)械能守恒定律是質(zhì)點動力學(xué)規(guī)律一一力學(xué)相對性原

理與機(jī)械能守恒定律的關(guān)系研究綜述

目錄

摘要........................................................2

關(guān)鍵詞......................................................2

一、對應(yīng)原理在坐標(biāo)變換中的要求.................................3

1.對應(yīng)原理的提出........................................3

2.對應(yīng)原理的意義........................................3

3.對應(yīng)原理對于運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)方程的要求.................4

二、正確理解彈簧振子中彈力作用點問題...........................5

三、想功能原理及其應(yīng)用..........................................5

四、勢能的零點選取問題..........................................6

五、正確理解有勢力、等時積分的概念.............................6

六、正確認(rèn)識保守力的定義.......................................8

七、區(qū)分矢量力學(xué)的勢能和分析力學(xué)中的勢能概念..................13

八、內(nèi)勢能與外勢能的關(guān)系.......................................18

1?利JIJ內(nèi)勢能1"算的局限性???????????????????????????????????????????????????]8

2.內(nèi)勢能與外勢能的轉(zhuǎn)化問題................................20

3.內(nèi)勢能與外勢能的關(guān)系....................................23

4.不同慣性系機(jī)械能守恒量之間的關(guān)系........................24

九、注意區(qū)分力學(xué)相對性原理和狹義相對論性原理....................25

十、分清主要因素與次要因素之間的關(guān)系...........................28

十一、孤立系統(tǒng)、開放系統(tǒng)和相對性原理...........................29

十二、平動與轉(zhuǎn)動的類比..........................................30

十三、重新認(rèn)識機(jī)械能守恒的條件..................................33

十四、日心說和地心說的再認(rèn)識....................................35

1.地心說與日心說的回顧..................................35

2.從兩休觀點認(rèn)識地心說與日心說..........................36

十五、經(jīng)典力學(xué)動力學(xué)規(guī)律都滿足力學(xué)相對性原理..................43

1.伽利略變換下的牛頓笫二定律............................44

2.伽利略變換下的質(zhì)點動量定理、動能定理.................45

3.伽利略變換下的功的計算公式、勢能.....................46

4.伽利略變換F的守恒定律................................46

十六、力學(xué)相對性原理的適用范圍..................................48

十七、慣性定律與慣性系剖析......................................49

十八、非慣性系中的功能關(guān)系......................................59

1.慣性力的引入

2.非慣性系中的動能定理和機(jī)械能守恒...................60

3.折合質(zhì)量（約化質(zhì)量）的引入...........................61

4.廣義相對論對于慣性力的放棄...........................62

參考文獻(xiàn)...........................................................66

摘要：分析了在研究機(jī)械能守恒定律與力學(xué)相對性原理的關(guān)系時需要準(zhǔn)確理解的十八個問題，正是這

些問題造成了長期的爭論，建議力學(xué)教材明確指明，根據(jù)勢能定理推導(dǎo)出慣性系中外勢能的一般公式，外

勢能不具有伽利略變換的不變性，最后給出?個簡要的?般性證明一一機(jī)械能守恒定律滿足力學(xué)相對件原

理，牛頓運(yùn)動定律滿足伽利略變換是機(jī)械能守恒定律滿足伽利略變換的充分條件.文章系統(tǒng)地闡明了機(jī)械

能守恒定律無條件服從力學(xué)相對性原理.

關(guān)鍵詞：機(jī)械能守恒定律：力學(xué)相對性原理：勢能公式：勢能定理；質(zhì)點動力學(xué)

中圖分類號：0313.1文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

一、對應(yīng)原理在坐標(biāo)變換中的要求

1.對應(yīng)原理的提出

1911年盧瑟福提出了原子的核式結(jié)構(gòu)理論,宣告了原子基本結(jié)構(gòu)的確立，但是盧瑟福的原

子模型有一個致命的缺陷，它是直接由經(jīng)典理論推演出來的，卻無法由經(jīng)典理論解釋原子的

穩(wěn)定性、同一性和再生性等一系列問題。Bohr在研究這一問題時意識到有核模型理論不但

在說明°粒子大角度散射之類的實驗上是有用的，而且也為建立一種有關(guān)原子的各種屬性

的系統(tǒng)理論奠定了基礎(chǔ)。以此為研究目標(biāo)，1913年Bohr分三部分在英國《哲學(xué)雜志》上發(fā)

表了劃時代的論文《論原子和分子構(gòu)造》，此文被后人稱為玻爾理論偉大的三部曲。文中把

量子化的概念引入到原子結(jié)構(gòu)之中，不僅從理論上解釋了氫原子的光譜規(guī)律，并且精確地計算

出里德伯常數(shù)。玻爾理論揭示了亞原子層次的量子特性，它和經(jīng)典理論在本質(zhì)上是有區(qū)別的。

在考察其理論與經(jīng)典理論之間的關(guān)系時，玻爾發(fā)現(xiàn)，隨著量子數(shù)的不斷增大，按照兩種理論

求得的譜線將趨干一致，在極限情況下（當(dāng)量子數(shù)〃-寸）原子的能量趨干連續(xù)，同時氫原子

光譜線的頻率等「電子繞核運(yùn)動的頻率，而這些正是經(jīng)典物理學(xué)的結(jié)論，對「這種漸近一致

性，部分學(xué)者認(rèn)為這是玻爾對應(yīng)原理的最初萌芽。從玻云1913年發(fā)表原子結(jié)構(gòu)的論文開始,

玻爾其實就是在用對應(yīng)原理指導(dǎo)他的研究，對應(yīng)原理這個思想體系的建立是一個長期研究形

成的過程，而不是哪一天的工作。直到1920年玻爾才在正式場合使用“對應(yīng)原理”一詞，

這是他對前面研究工作的一種總結(jié)，是對類比、對應(yīng)思想的一種更確切的表述方式。

2.對應(yīng)原理的意義

對?應(yīng)原理的方法論意義不限于最子理論的發(fā)展，對應(yīng)性是屬性或關(guān)系范疇，包含對立和

同一的類比性內(nèi)涵，具有整體類比的意義。因此，現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展中新舊理論之間也普遍存在這

種極限條件下的類比對應(yīng)關(guān)系。如當(dāng)物體運(yùn)動速度遠(yuǎn)小于光速時，相對論力學(xué)公式就過渡為

牛頓力學(xué)公式等。同時，這一原理也對提出新的理論和模型具有重要的啟示和選擇作用，為

科學(xué)創(chuàng)新提出了一種制約性的要求，即任何理論的發(fā)展都必須是邏輯自洽的。

對應(yīng)原理作為種富有啟發(fā)性的物理思想，對當(dāng)今物理學(xué)的發(fā)展仍然具有重耍的指導(dǎo)作

用。在對應(yīng)原理提出初期，由于歷史條件，對某些問題，如量子動力學(xué)中的初始問題未能很

好解決，使得在一個時期內(nèi)量子力學(xué)不能像經(jīng)典力學(xué)那樣按因果關(guān)系去理解自然界的事件在

空間時間中的演化過程。20世紀(jì)中期以后，經(jīng)典混沌研究獲得成功，表明這一問題是可以

得到解決的。具體表現(xiàn)為:第一，經(jīng)典力學(xué)中關(guān)于可積性的劉維爾定理，只是通過正則變換

來明白顯示系統(tǒng)哈密頓量與角變量無關(guān)的動力學(xué)對稱性，與所涉及的由泊松括號來表示的李

代數(shù)不同實現(xiàn)形式間的變換與變換后的哈密頓量具有的動力對稱性的李代數(shù)特征，都有明確

的量子經(jīng)典對應(yīng)，故這一劉維爾定理對于相應(yīng)的量子情形同樣適用。第二，通過反映系統(tǒng)哈

密頓量動力對稱性的李代數(shù)和李群，指出了哈密頓量的態(tài)空間與它的動力對稱性群的表示空

間之間的聯(lián)系，因為不論經(jīng)典情形或量子情形，都會存在這樣的聯(lián)系，所以也就指出了量子態(tài)

空間和經(jīng)典態(tài)空間之間的對應(yīng)。第三，在量子力學(xué)中，哈密頓量的基態(tài)雖與經(jīng)典力學(xué)中的靜

平衡態(tài)不同，具有零點漲落，它是具有最小不確定度的態(tài)，但是通過動力對稱性群的不同元

索的作用，可以給出與經(jīng)典相點一一對應(yīng)的具有最小不確定度的量子態(tài)，在不確定性原理的

前提下，具有明確的量子經(jīng)典對應(yīng)。近年來實驗技術(shù)的發(fā)展，使得能將微觀粒子捕入勢阱，

再進(jìn)一步將其冷卻，從實踐上提供了制備最小不確定度的可能。另外量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的

一個基本差異是線性疊加的“退相干”問題，而現(xiàn)行研究表明宏觀量子體系在環(huán)境的影響下

即退相干而顯出經(jīng)典性質(zhì)，所以在量子力學(xué)現(xiàn)有的框架內(nèi)依據(jù)對應(yīng)原理，像經(jīng)典情形那樣完

整地考慮量子動力學(xué)問題，不僅具有理論的而且還具有實踐的意義。

3.對應(yīng)原理對于運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)方程的要求

從運(yùn)動學(xué)角度來看，選取什么物體系統(tǒng)作為參照系描述質(zhì)點的運(yùn)動，僅是為了處理問題

的方便.這個看來是很簡單的問題，在物理學(xué)史上卻占有極為重要的地位。在四百多年前，

哥白尼提出用日心說代替地心說，就是變換參照系的一個極為典型的問題.這一理論的建立,

是天文學(xué)史上的一次偉大革命，是自然科學(xué)從神學(xué)中解放出來的標(biāo)志，也是科學(xué)大踏步前進(jìn)

的開始。變換參照系處理問題，既不是故弄玄虛，更不是玩弄數(shù)學(xué)游戲，從運(yùn)動學(xué)角度來看,

完仝是為了方便，描述運(yùn)動更加簡單。

對于同一物理過程，不同參照系測量的守恒值不同，不代表不滿足相對性原理。同理在

運(yùn)動學(xué)中，對于同一物理過程，不同觀察者得到的運(yùn)動方程形式上看似乎不協(xié)變，例如在靜

止系計算是自由落體運(yùn)動，在運(yùn)動系計算可能是平拋運(yùn)動；在靜止系計算是簡諧振動，在運(yùn)

動系計算可能不是簡諧振動；在靜止系計算是勻速圓周運(yùn)動，在運(yùn)動系計算既不是勻速圓周

運(yùn)動，也不是橢圓運(yùn)動，而且軌跡不封閉；……這些不能說明運(yùn)動方程不具有協(xié)變性，不滿

足相對性原理，只耍在運(yùn)動系”算的運(yùn)動方程當(dāng)v=0時回到崢止系方程即可，滿足對應(yīng)原理

的要求就是滿足相對性原理，運(yùn)動系計算的運(yùn)動方程是一般性方程，具有協(xié)變性，例如在運(yùn)

V2+y'2+^-arcsin—arcsin—1=R:

動系計算質(zhì)點的軌跡方程為R"I內(nèi),當(dāng)v=o時顯然

是勻速圓周的軌跡方程，因此方程具有協(xié)變性。伽利略運(yùn)動的相對性原理能使牛頓力學(xué)運(yùn)動

方程的形式在任意慣性系中保持不變，不會破壞運(yùn)動方程及其解的唯一性。對「運(yùn)動學(xué)的定

律，應(yīng)該區(qū)分清楚用圓、拋物線、直線描述時，其數(shù)學(xué)形式也不會完全相同才合乎邏輯規(guī)范

吧一一科學(xué)理性有邏輯理性、數(shù)學(xué)理性、實驗理性三種。

無論伽利略變換還是洛倫茲變換，在變換中存在著某些不變量和協(xié)變量，對于協(xié)變量

必須滿足對應(yīng)原理的要求，例如運(yùn)動系測量的某個物理量當(dāng)牽連速度等于0時必須等于靜

止系測量的該物理量，對于非慣性系當(dāng)牽連加速度為0時必須回到慣性系測量值。

二、正確理解彈簧振子中彈力作用點問題

力的大小、方向和作用點是力的三要素，但是必須本質(zhì)地看待力的作用點問題，根據(jù)牛

頓第二定律力必須作用在有質(zhì)量的點上，因此在研究彈簧振子和單擺問題時必須注意這個問

題⑵。我們可以把動量類比于電量，電量對于時間的變化率為電流強(qiáng)度，動量流即力是動量

對于時間的變化率，因此無質(zhì)量的彈簧就是傳遞動量流一一力。「5）

由于彈簧和質(zhì)點聯(lián)系在一起，如果等效認(rèn)為勢能屬亍彈簧，此時只需考慮彈簧一端受力

即可，勁度系數(shù)也是按照一端受力定義的，另一端為固定端。下面利川反證法說明考慮墻壁

的作用力,勁度系數(shù)依然按照k計算的錯誤一一假設(shè)墻壁的作用力單獨改變質(zhì)點的機(jī)械能.

與質(zhì)點的作用力一樣，根據(jù)對稱性原理，必然改變彈簧的形變，那么彈簧的形變就不再是伽

利略變換的不變量，以彈簧的伸長為例，如果考慮墻壁的作用，當(dāng)質(zhì)點運(yùn)動到最大位移處，

質(zhì)點對于彈簧的拉力F=-kA。對于小車系，測量的力也是F=-kA,墻壁的拉力是F產(chǎn)-kA,如果

此時勁度系數(shù)依然按照k計算，此時彈簧的形變?yōu)?A,這樣彈簧的形變就不是伽利略變換

不變量，顯然是錯誤的。

三、鷹功能原理及其應(yīng)用

文獻(xiàn)［6］詳細(xì)分析了功定義的三種表述是一致的，功不具有伽利略變換的不變性，耗散力

做功不能把物體視為質(zhì)點等問題，在此不再論述。

所謂鷹功，就是不真實的功，但是數(shù)學(xué)表達(dá)式與功的表達(dá)式相同，它等于外力與質(zhì)點組

質(zhì)心位移標(biāo)積的積分.這時外力雖然不做功，但它可以改變質(zhì)點組的總動量，使內(nèi)力通過質(zhì)

點組），內(nèi)各質(zhì)點間相對位置變化做功，把內(nèi)部其它形式的能量轉(zhuǎn)化為質(zhì)點組質(zhì)心的動能。

度功能原理：作用于物體組的所有外力的矢量和的陵功等于以物體組質(zhì)心為代表的平動動能

的增量。

例1人由一樓勻速走到五樓（請注意是對地不動的樓梯），地面對人的支持力是否做功？

是什么形式的能轉(zhuǎn)化為人的重力勢能？

分析：從做功的角度來看，人在登樓時，地面對腳底有支持力時，腳沒有發(fā)生位移，腳

膝空向上運(yùn)動時，支持力消失，故支持力不做功。人在登樓時，不能把人看作一個質(zhì)點處理,

從質(zhì)點組的動能定理（卬外+/％=EKH-EKA）角度來看，人所受外力和身體各部分之間內(nèi)

力做功之和等于人的動能增量，既內(nèi)力做功與重力之和為零（因為人是勻速走的）。這說明

人的身體各部分之間的內(nèi)力做正功，從功和能的關(guān)系角度，如果地面的支持力做功，則地面

必然給人提供能量，事實上地面不可能給人提供能量，因此地面不可能對人做功。事實上是

肌肉收縮做功，也就是人的內(nèi)力做功，從而把人體內(nèi)的化學(xué)能轉(zhuǎn)化機(jī)械能和內(nèi)能（人體五分

之四的熱能來自肌肉收縮），即人的重力勢能是通過消耗人體的生物能來轉(zhuǎn)化來的。（以上是

從內(nèi)力做功的角度來考慮）從膜功能原理的角度來講，在登樓時受到豎直向上的支持力和豎

直向下的重力，人的位移方向與支持力方向相同，故支持力做正功，重力做負(fù)功，地面提供

能量轉(zhuǎn)化為人的重力勢能，

四、勢能的零點選取問題

根據(jù)力學(xué)相對性原理.（或者說坐標(biāo)系的觀點），在計算勢能時勢能的零點應(yīng)該相對于觀

察者不變，血不是相對于力源不變，例如在一個相對十地面勻速上升的封閉的電梯內(nèi)，一個

觀察者看到一個小球從電梯的頂端落下，碰到電梯底部后發(fā)生彈性碰撞，如果不考慮空氣阻

力等因素，理想狀況下小球?qū)⒉粩噙\(yùn)動下去，觀察者看不到外面的情況，不知道小球距離地

面的高度以及電梯相對于地面的速度，勢能的零點只能相對于自己不變。只要建立了坐標(biāo)系，

勢能零點便隨之確定。湯川秀樹講：“只用物體、空間和時間這樣的概念，還很難準(zhǔn)確地描

述運(yùn)動，所以人們進(jìn)一步引進(jìn)坐標(biāo)系，特別是直角坐標(biāo)系。”

一個坐標(biāo)系一個勢能零點,不存在所謂各個坐標(biāo)系的公共勢能零

點，引力勢能選在無窮遠(yuǎn)點計算方便，其他勢能零點選在坐標(biāo)原點計

算方便。i般情況下在一個慣性系里選擇了勢能零點，在另i個慣性系里最好用它的伽

利略像點，并不是選擇其他點不行，只要相對于觀察者不變即可。當(dāng)一個輕質(zhì)彈簧豎直懸掛

一個質(zhì)點，質(zhì)點浸沒在水（充分多，忽略質(zhì)點運(yùn)動對于其能量的影響）中，在這里質(zhì)點具有

彈性勢能、重力勢能、浮力勢能⑺，在地面系看來總機(jī)械能守恒，在相對于地面勻速上升的

電梯系看來，機(jī)械能也守恒，勢能零點只能相對于觀察者不變⑻。文獻(xiàn)［9］由于用錯了勢能

零點，才導(dǎo)致了勢能顯含時間的錯誤。

五、正確理解有勢力、等時積分的概念

力是看不見也摸不到的，許多天才哲學(xué)家都承認(rèn)力是最難弄清的概念。恩格斯認(rèn)為：“力

只能被當(dāng)作未被闡明的因果關(guān)系的略語來使用倒也可通，在日常生活中作科學(xué)上的小買賣，

技術(shù)上開個處方倒也可通，超過了這一點，在理論方面亂用力字的名詞就是荒謬。形而上學(xué)

最省力氣，他們凡是碰到不能解釋的種種現(xiàn)象就貼上種種力字的標(biāo)簽作為避難所。有多少不

能解釋的現(xiàn)象，就有多少力的名詞。終極的原因和無數(shù)起作用的原因之間的對立，被相互作

用的范疇所揚(yáng)棄，因為我們不能追究到比相互作用更深的地步上去了。”(這些話引自恩格

斯《自然辯證法》

當(dāng)質(zhì)點運(yùn)動時所受力系F是位置和時間的單值連續(xù)函數(shù)，我們稱這部分空間為力場，且

可表為F=F(r,t)。若F中不顯含t,則稱為穩(wěn)定力場(三維空間里的力場)；F顯含t時稱為

瞬變力場(四維空間里的力場)。

顯含時間力場的定義：對于力F邛(r,t),如果時間t不能通過恒等變換消去，只能表

示為位置和時間的二元函數(shù)，或者說力F對于時間的偏導(dǎo)數(shù)不恒等于0,那么力F就是?個

顯含時間的力場或者說是一個不穩(wěn)定場。州

力場顯含時間是指場的坐標(biāo)含有時間參最I(lǐng),/?是指質(zhì)點的坐標(biāo)，含有時間參展i是必然

的，通過坐標(biāo)變換可以完全消去，不叫做品含時間。

對于穩(wěn)定場F=F(r)而言,假設(shè)U'(r)=F(r),F(r)dr=U(a)-U(a)=0,因此所有的穩(wěn)定

場都是保守力場，對于非穩(wěn)定場環(huán)路積分一定不等于0,可以把保守力的定義簡化為：只與

空間位置有關(guān)的力。

若質(zhì)點在空間各處所受場力F都相同，則稱為均勻力場；反之，F(xiàn)在空間各處都不相同時，

則稱為非均勻力場。例如萬有引力場和彈性力場都是穩(wěn)定場(三維空間里的力場)，在地面

附近的重力場F=mg便是均勻場，而瞬變場的例子在電磁學(xué)和量子力學(xué)中是很容易見到的。

注意顯含時間的力F=F(r,t)是位置和時間的二元函數(shù)，如果t也是位置的函數(shù)，如果此

時F可以表示為位置的一元函數(shù)，不是顯含時間的力，只能認(rèn)為是隱含時間的力皿。文獻(xiàn)

[11?12]列舉的實例也可以消去時間3不是顯含時間的力。

王振發(fā)先生在“21世紀(jì)高等院校教材”《分析力學(xué)》中給出了力學(xué)原理的分類原則一

一力學(xué)原理可分為兩大類：不變分原理和變分原理。每類又可分為兩種不同的形式：微分

形式和積分形式。不變分原理是反映力學(xué)系統(tǒng)真實運(yùn)動的普遍規(guī)律。如果原理本身只表明某

一瞬時狀態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律，稱為微分原理，如達(dá)朗伯原理就是不變分微分原理。如果原理

是說明一有限時間過程系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律，則稱為積分原理，如機(jī)械能守恒原理即不變分的枳

分原理。而變分原理則不同，它提供一種準(zhǔn)則，根據(jù)這種準(zhǔn)則，可以把力學(xué)系統(tǒng)的真實運(yùn)動

與相同條件下約束所允許的一切可能運(yùn)動區(qū)別開來，從而確定系統(tǒng)的真實運(yùn)動。如果準(zhǔn)則是

對某一瞬時狀態(tài)而言的，則該原理稱為微分變分原理.，例如虛位移原理就是微分變分原

理，……動力學(xué)普遍方程和……高斯最小拘束原理都是微分變分原理。如果準(zhǔn)則是對一有限

時間過程而言的，則該原理稱為積分變分原理，……哈密頓原理和拉格朗日最小作用量原理

即積分變分原理。⑴

當(dāng)場力F=F（r,t）時，若把時間t看作參數(shù)，而場力F的旋度尸x\7=0（40除外）得到

滿足，則勢能函數(shù)U存在，且F=—Vx川成立，即心V（r,t）,F=F（r,t）=-VV（r,r）,我

們把這樣的力場稱為有勢場，是無旋場。若場力F中顯含t時，這種有勢場是非穩(wěn)定的；若

場力F中不顯含I時，這種有勢場是穩(wěn)定的。對于非穩(wěn)定的有勢場而言，等勢面只具瞬時意

P1

義，而計算場力作功的公式W=JdW=-JdV=%-l/2不再成立，因為積分時不能將參數(shù)t

PI

dv

固定，場力的元功為flW=-VVdr=-dU+—dt.這種非穩(wěn)定的有勢場不是保守場，與它

dt

相關(guān)的勢能函數(shù)U表示為位置和時間的二元函數(shù)依W,，f）?一般說來，具有勢能函數(shù)的無

旋場不?定是保守場，它僅是有勢場。重力、彈簧彈力和萬有引力等都是穩(wěn)定場（三維空間

里的力場），不是顯含時間的力場（四維空間里的力場）。

等時積分是一個數(shù)學(xué)概念，當(dāng)力場F（r,t）是時間利空間的多元函數(shù)時，在指定時刻t

和指定路線L,對力F的空間積分叫做等時積分.只有顯含時間的力場（四維空間里的力

場）中的等時積分才不等于0,對于重力場、引力場、彈力場等穩(wěn)定場（三維空間里的

力場）的等時積分都等于0,因為在穩(wěn)定場（三維空間里的力場）中質(zhì)點在任意時刻的

位移是唯?的，文獻(xiàn)［9］作者得出等時積分不等于0,這是明顯的低級錯誤。如果按照等時

枳分計算勢能的改變量，自由落體運(yùn)動中在地面系測量質(zhì)點的重力勢能始終不變，質(zhì)點的動

能不斷變化，機(jī)械能不守恒，這是極其荒謬的。

文獻(xiàn)［9］利用等時積分計算勢能的改變量，得出功和勢能的改變量具有伽利略變換的不變

性，如果按照這個觀點在彈簧振子問題中熠壁的作用力的等時積分也始終為（），不改變彈簧

的勢能，文獻(xiàn)［9］的觀點顯然是錯誤的。隨體積分計算動能的改變量，不具有伽利略變換的

不變性。動能和勢能的改變量利用不同的積分計算，顯然二者不一致。

六、正確理解保守力的定義

在一個物理系統(tǒng)里，感受到某作用力，一個粒子從初始位置移動到終結(jié)位置，而此作用

力所做的機(jī)械功，跟移動路徑無關(guān)，則稱此力為保守力（conservativeforce）,又稱為守恒力。

等價地，假設(shè)一個粒子從某位置，移動經(jīng)過一條閉合路徑后，乂回到原本位置，則作用與這

粒子的保守力所做的機(jī)械功（保守力對于整個閉合路徑的積分）等于零。在一個物理系統(tǒng)里，

所有的作用力都是保守力，則稱此物埋系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，乂稱為守恒系統(tǒng)。對于這種系統(tǒng)，

在空間里的每一個位置，都可以給位勢設(shè)定一個唯一的數(shù)值。當(dāng)粒子從某位置移動至令一位

置時，保守力會改變粒子的勢能，前后差值與所經(jīng)過的路徑無關(guān)。

現(xiàn)在的力學(xué)教材都是利用環(huán)路積分為0定義保守力的，文獻(xiàn)［13?14甘旨出如果力的保守

性可隨參照系而變，那么在不同的慣性系中做關(guān)于某力的保守性的物理實驗，將可根據(jù)該力

在一慣性系中做功是否與路徑有關(guān)，從而判斷該慣性系相對施加該力的作為另一

慣性系的物體是否在運(yùn)動一一這是相對性原理不能允許的。力是伽利略變換的不

變量就不成立了，經(jīng)典力學(xué)理論本身就出現(xiàn)了矛盾。

文獻(xiàn)［15］證明了旋度等于0、環(huán)路積分為0和作用力F是某位勢中的梯度三者是等價的,

環(huán)路積分為0是力是保守力的充要條件。如果作用在物體的力所做之功僅與力作用點的起始

位置和終了位置有關(guān)，而與其作用點經(jīng)過的路徑無關(guān)（注意這里的路徑必須具有任意性，否

則不一定是保守力⑹。），即不僅力有勢，且在相應(yīng)的勢能表達(dá)式中不顯含時間，該力則為保

守力。勢能定理為dEp=-/環(huán)路積分必等于0。當(dāng)勢能不顯含時間時，也可以稱為位能,

勢能是位置的函數(shù)，教材中可以將勢能和位能區(qū)別開來，位能作為勢能的?種情形。由于我

們研窕問題中勢能一般不顯含時間，也可以不加區(qū)分，本文沒有區(qū)分，默認(rèn)勢能不顯含時間。

由于旋度具有伽利略變換的不變性，因此力的保守性也具有伽利略變換的不變性，文獻(xiàn)

［10］證明了力的保守力只有伽利略變換的不變性，保守力不nJ■能經(jīng)過伽利略變換變成顯含時

間的力。

引力是在三維空間里的力場，是穩(wěn)定場，不存在所謂的引力磁場的問題。電磁力是四

維時空里的力場，非穩(wěn)定場，變化的電場產(chǎn)生磁場，變化的磁場產(chǎn)生電場，是因為存在對

于時間的變化率，所以有電場和磁場的區(qū)別。

機(jī)械能守恒定律是時間均勻性的體現(xiàn)，顯含時間的力場能量不守恒。對于彈簧振子

而言彈性勢能公式Ep二，kx2是質(zhì)點的彈性勢能，而且不適用于所有的慣性系［17」，計算

2

彈簧的勢能時必須同時計算其動能。文獻(xiàn)［19］認(rèn)為機(jī)械能的哈密頓量是位置坐標(biāo)的函數(shù)，

在進(jìn)行該位置坐標(biāo)上的坐標(biāo)變換時總會攜帶時間，導(dǎo)致其哈密頓量對時間的偏導(dǎo)數(shù)不為0,

是完全錯誤的，通過上面的分析可以看出時間t完全可以消去，其哈密頓量對時間的偏導(dǎo)數(shù)

始終為0.

場的性質(zhì)是它本身的屬性，和坐標(biāo)系的引進(jìn)沒有關(guān)系。引入坐標(biāo)系是便于運(yùn)用數(shù)學(xué)研究

它的性質(zhì)。經(jīng)典力學(xué)中顯含時間的力在各慣性系都是顯含時間的力，機(jī)械能在各慣性系都不

守恒，不是保守力經(jīng)過伽利略變換得出。伽利略變換是一種觀測效應(yīng)，它的實質(zhì)通俗解釋就

是一個質(zhì)點在絕對空間里運(yùn)動，兩個慣性系里的觀察者測量其速度和位移，然后利用矢量力

學(xué)規(guī)律描述其運(yùn)動，場的坐標(biāo)不變，在伽利略、牛頓時代還沒有場的概念，認(rèn)為是超距、瞬

時作用，直到法拉第、麥克斯韋時代才提出場的概念。俁守力是有勢力的一種，力是伽利略

變換的不變量，包括力場的性質(zhì)不變，在一個慣性系中某個力不顯含時間，在另外的慣性系

中也一定不顯含時間，例婦在自由落體問題中勻速上升的電梯系中我們不能計算勢能時重力

是顯含時間的力，利用動能定理求動能時重力不是顯含時間的力，前后不自洽。用對稱性原

理表述為，由勢能對時間平移的不變性，就必有能量的守恒性（例如重力隨時間的可變性，

在重力較弱時把水提升到蓄水池中去，所做的功較少：在重力變強(qiáng)時把蓄水池中的水池放出

來，利用水力發(fā)電，釋放出較多的能量。這是典型的第一類永動機(jī)）。

對于一維運(yùn)動，凡是個胃X單信函數(shù)的力都是保守力。設(shè)力F沿X方向，H其大小星-x

的函數(shù)，即「=乩1=￡?）匕則F.dr=Fxdx=d［u（x）］,可以寫成一個函數(shù)的全微分,因此F是保

守力，例如服從胡克定律的彈性力f=f（X）=-k（X-X0）是X的單值函數(shù)，故它是保守力。對于

一維以上運(yùn)動，大小和方向都與位置無關(guān)的力，如重力G初g是保守力。若在空間中存在某

個中心0,物體（質(zhì)點）P在任何位置上所受的力f都與“向量0P”方向相同（排斥力），

或相反（吸引力），其大小是距離廠標(biāo)量0P的單值函教，則這種力叫做“有心力”，例如

萬有引力就是有心力，凡有心力都是保守力“我們可以概括為只要力與質(zhì)點的運(yùn)動狀態(tài)無

關(guān)，而且是位置的單值函數(shù)就是保守力。因此靜摩擦力是保守力，滑動摩擦力是耗散力。

大學(xué)力學(xué)里的保守力一般只提重力、彈簧彈力和萬有引力，其實有些其他的力也是保守力，

例如斜面的支持力出、擺線的拉力、勻速圓周運(yùn)動的約束反力、靜摩擦力、理想流體的壓力

I191o流體力學(xué)中推導(dǎo)伯努利方程時曾經(jīng)利用了理想流體的壓力是保守力，因此理想流體的壓

力能也可以稱為壓力勢能，其實管壁的側(cè)壓力也是一個保守力。）、彈性碰撞中的彈力、慣性

力以及浮力等，文獻(xiàn)［20］列舉了關(guān)丁浮力勢能的文章很多，本文不再論述。斜面的支持力是

一個保守力，例如把斜面固定在地面上，在地面系看來小滑塊在斜面上無論如何運(yùn)動，當(dāng)小

滑塊回到原點時支持力的功都等于0,所以支持力是保守力，又由于力是伽利略變換的不變

量，因此在小車系看來支持力也是一個保守力。只要是保守力就可以引入勢能，但是注意是

小滑塊的支持力勢能，不是斜面的支持力勢能，因為斜面不考慮形變。又因為重力也是一個

保守力，因此它們的合力也是一個保守力。由于力是一個伽利略變換的不變量，因此在小車

系看來小滑塊受到的合力也是一個保守力。

文獻(xiàn)［21］指出了約束力是保守力的問題，文獻(xiàn)［22］證明了約束力是保守力，文獻(xiàn)［15］

和［18］驗證了約束力是一個保守力，文獻(xiàn)［23］指出只要是保守力就可以引進(jìn)勢能。力學(xué)中的

力可以分為三種：保守力、耗散力和顯含時間的力。一個力可為保守力的前提條件為該力（大

小、方向）不隨時間變化。文獻(xiàn)［20］給出了勢能的一般定義由于質(zhì)點受至U有勢

力而具有的能量叫做勢能，勢能的定義式為d￡p=（-/）dr（與F哼

等價），當(dāng)有勢力不顯含時間（即為保守力）時，勢能也可以稱為位能。

勢能顯含時間的充要條件是力場顯含時間。如當(dāng)兩質(zhì)點間的相互作用力除與

距離有關(guān)外還與兩者的速度有關(guān)（如帶電質(zhì)點間的磁力）時，這兩質(zhì)點也可能存在位能，兩質(zhì)

點間的作用力不是保守力。

在分析力學(xué)中不考慮約束力對于系統(tǒng)的機(jī)械能的影響，也說明把約束力按照保守力來對

待。在完整約束下的第二類拉格朗日方程：——=如果要研究

力為aMa

的系統(tǒng)所在的內(nèi)外力場均是保守力場，或者其它作用于系統(tǒng)的力均不作虛功。如果系統(tǒng)處在

保守力場中，保守力系必有與其對應(yīng)的勢能v,此勢能是系統(tǒng)中各個質(zhì)點的位置函數(shù)，即：

V=V儲…弓…/）,且有它的三個分量表達(dá)式為：F=_曳F=-叱F=處。

"血切現(xiàn)''出

如果將方用廣義坐標(biāo)表示：弓=弓①，。則勢能也就是廣義坐標(biāo)及時間t的函數(shù)：V=V（q,

t）,由此我們很容易求得在保守力場中廣義力2,的表達(dá)式。由廣義力的定義得:

七9普2-W瓢？售新言給合勃一根據(jù)復(fù)合

函數(shù)的微分規(guī)則可知其結(jié)果為］=_空將此結(jié)果代入第二類拉格朗口方程就可將它寫成為:

ddTcTdV""/7—曠）=0?.?亞=o：.左邊的式子又可寫成為:

dicqadqadqa由的adqa

4a（7-V）—貿(mào)丁-丫）二0在這里就定義:L=7—V,L稱作為拉格朗日函數(shù)，簡稱為拉

力的a為a

氏函數(shù)，它就等于系統(tǒng)的動能與勢能之差。那么上式就可寫成為：

（1dL一匹=O（a=1,2,…s）這個方程就是完整約束保守系的拉格朗日方程。有時也叫它

話就初

為拉格朗日方程或拉氏方程。由前面的推導(dǎo)可知這個方程適用的條件是：完整約束，保守力

系或者除了保守力系之外的其它力均不作虛功，T和V即L都是相對慣性系的量。

由于質(zhì)點受到萬有引力而具有的勢能叫引力勢能，由于質(zhì)點受到重力而具有的勢能叫重

力勢能，而把彈性勢能定義為由于彈性形變具有的勢能不具有和諧性。有人說沒有形變哪來

的彈力，確實這樣，一個物體放在水平地面上受到支持力是彈力，但是我們不必考慮形變，

力學(xué)中不必考慮力的性質(zhì)的來源，重力來源于萬有引力，摩擦力還來自于電磁力呢？我們計

算摩擦力時從來不考慮電磁力的問題，研究質(zhì)點的重力時也不考慮萬有引力。趙凱華認(rèn)為：

“研究一個規(guī)律的表述所具有的對稱性，并設(shè)法消除某種不對稱因素，從而使其規(guī)律的表述

具有更多的對稱性，這無疑是有重要意義的“因為它不僅滿足人類對于美（對稱，和諧）的

心理追求，而且更重要的是使表述的規(guī)律具有更大的普遍性。

例2一個質(zhì)點靜止在水平地面上，在地面上的觀察者看來，質(zhì)點的動能和勢能都不變，

機(jī)械能守恒：在相對于地面勻速運(yùn)動的電梯里的觀察者看來,質(zhì)點的動能不變,支持力和重

力同時做功，兩個力做功之和為0,重力勢能的減少量等于支持力勢能的增加量，因此勢能

也不會發(fā)生變化，機(jī)械能也守恒，滿足力學(xué)相對性原理。如果把支持力當(dāng)做外力，在電梯系

支持力做功，機(jī)械能增加，能量來自哪里？這樣就不滿足力學(xué)相對性原理了。

例3地面上有兩堵相互平行的剛性堵沿南北方向，其間有一剛性小球沿東西方向因與墻

的碰撞來回運(yùn)動。地面上小球的機(jī)械能守恒，但在沿東西方向勻速運(yùn)動的小車上看，小球機(jī)

械能不守恒。

錯誤分析?：在小車上看，小球的速度等于地面的速度（-V）加小球相對于地面的速度（一

會兒是W與墻碰后是rv）。所以在小車上看，小球的速度是一V+W,或-V-W。顯然小球動能在

跳躍式來回變化，機(jī)械能不守恒。

止確解答：在這里由于是彈性碰撞，彈力做功沒有產(chǎn)生熱能，也應(yīng)該視為保守力。在地

面系看來是彈性碰撞，應(yīng)該理解為小球在壓縮過程和還原過程中位移大小相等，平均力的大

小不變，因此動能不變。在壓縮過程中動能轉(zhuǎn)化為勢能，在還原過程中勢能轉(zhuǎn)化為動能。如

果在地面系選擇起始時刻勢能為0的話，在地面系看來除非碰撞過程外，勢能始終為0。

在小車系看來，小球在壓縮過程和還原過程中位移大小不再相等，平均力的大小不變,

因此增加的勢能轉(zhuǎn)化為動能，或者減少的動能轉(zhuǎn)化為勢能。從上面的分析可以看出彈性碰

撞不能視為完全不能形變的質(zhì)點，否則會造成矛盾。此時可以認(rèn)為是若干個受彈力作用的

質(zhì)點，每一個質(zhì)點都受到保守力的作用，所以其機(jī)械能守恒，進(jìn)一步得出整體的機(jī)械能守

恒。東西墻各安裝一彈簧令小球在兩彈簧間運(yùn)動。假定系統(tǒng)沒有非保守力作用，機(jī)械能守

恒定律在各慣性系都成立。從上面的分析可以看出真正的彈性碰撞并不存在，實驗中是近

似彈性碰撞，此時組成物體的各個微粒能量不變，通過質(zhì)功完全轉(zhuǎn)化為物體的能量，是理

想化模型。

金屬材料在外力作用卜發(fā)生彈性變形，分析其內(nèi)任一有限部分（設(shè)其包含的區(qū)域為V,

表面為S）的功能變化關(guān)系。根據(jù)熱力學(xué)的觀點，物體受力時發(fā)生變形，外力對此金屬材料

做功，同時該物體與外界還可能有熱量交換，物體的動能與內(nèi)能也發(fā)生變化。因此，這是一

個簡單的熱力學(xué)過程，必須遵守?zé)崃W(xué)第一定律，同時必須遵守?zé)崃W(xué)第二定律。此過程按

照熱力學(xué)第一定律其微分表達(dá)式為：+其中："W表示外力對此

物體做功；"Q物體產(chǎn)生的熱量；次;動能增加；dK內(nèi)能增加（應(yīng)變能增加）。

根據(jù)產(chǎn)生能量形式的不同，彈性變形的形式和受力情?況也不同，一般可分為三種：

a當(dāng)彈性體在外力作用下發(fā)生塑性變形，彈性體在產(chǎn)生變形能（勢能）的同時也產(chǎn)生了

熱能。數(shù)學(xué)表達(dá)式為此時彈力不是保守力；

b當(dāng)彈性體在外力作用下發(fā)生振動效應(yīng)的變形，彈性體在產(chǎn)生變形能（勢能）的同時也

產(chǎn)生了動能，此過程受力為動載荷或恒力。數(shù)學(xué)表達(dá)式為，八〃=+此時彈力是保

守力；

c當(dāng)彈性體在外力作用下只發(fā)生彈性變形，此變形只產(chǎn)生變形能（勢能），此過程彈性

體受的力為彈性力。數(shù)學(xué)表達(dá)式為小^=，木，此時彈力也是保守力。

以上三種情況都滿足熱力學(xué)第一定律。

七、區(qū)分矢量力學(xué)的勢能和分析力學(xué)中的勢能概念

經(jīng)典力學(xué)理論從牛頓形式發(fā)展為拉格朗口形式，在思想觀念上的創(chuàng)新主要有二：一是在運(yùn)動

學(xué)意義上用“獨立”坐標(biāo)取代了牛頓理論中為表示一個力學(xué)體系中的每個質(zhì)點的位置所需要的坐

標(biāo)，后者的數(shù)量可能比前者少得多，這樣可使動力學(xué)方程的數(shù)目減少很多，使數(shù)學(xué)方程變得容易

求解。說得具體點，設(shè)某個力學(xué)體系由n個質(zhì)點和即個剛體組成，用牛頓力學(xué)的理論表示這個力

學(xué)體系的動力學(xué)方程時，需要3n+6m個坐標(biāo)，有3n+6m個動力學(xué)方程。但這個力學(xué)體系內(nèi)部和體

系與外界之間，往往存在許多“約束”條件，設(shè)有f個約束條件，每個約束條件可以消去一個不

獨立坐標(biāo)。因此這個力學(xué)體系實際上可自由運(yùn)動的“獨立”坐標(biāo)只有s=3n+6m-f個，s稱為這個

力學(xué)體系的“自由度”。經(jīng)典力學(xué)的拉格朗口理論就是在給出一個力學(xué)體系的動力學(xué)方程時，已

經(jīng)把全部不獨立坐標(biāo)消去，這樣就可使動力學(xué)方程的數(shù)目大大減少。二是在拉格朗日理論中，用

“動量”取代了牛頓理論中的速度。速度是坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)，只與時空性質(zhì)有關(guān)，與力學(xué)理論

并無直接關(guān)系。拉格朗日理論中的獨立坐標(biāo)被稱為廣義坐標(biāo)，對于自由度為S的力學(xué)體系有S個

廣義坐標(biāo)0?，與其相對應(yīng)的廣義動量夕O被定義為

p.=會=Pa(q@i)，a=1,2,3,..............s(1.1)

“a

上式中的T是整個力學(xué)體系的動能。(1-1)式是s個代數(shù)方程，將其聯(lián)立對s個@求

解，可得

R=4式4A?a=l,2,3,................s(1.2)

由于以上兩方面的變化，在經(jīng)典力學(xué)的拉格朗日理論中，一個力學(xué)體系狀態(tài)的表示形式和動

力學(xué)方程的形式，也要作相應(yīng)的變化。動力學(xué)方程改變?yōu)?/p>

式中的L稱為此力學(xué)體系的拉格朗日函數(shù)

L=T-V=L(q,@,t)(1?4)

上式中的T和V分別為整個體系的動能和勢能。

經(jīng)典力學(xué)的拉格朗日理論可由牛頓理論加上約束條件推理而得，這里從略。簡而言之，就是

利用(1?1)式和(1?2)式，將(1?3)式和(1?4)式中的所有廣義速度0；都用廣義動量夕.

取代。這時s個聯(lián)立的二階常微分方程(1?3)就被2s個一階方程

心=二；a=1,23............,S(1?5)

所取代，(1-4)式所表示的拉格朗日函數(shù)L被哈密頓函數(shù)H所取代，哈密頓函數(shù)與拉格朗日

函數(shù)之間的關(guān)系是

H(q,p,t)=￡<paq,a-L(q：q(L6)

上式中所有的廣義速度《在哈密頓理論中都必須用(1?2)式將其變?yōu)橛胵-p-t來表示。

根據(jù)以上所述，似乎經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論全部來自拉格朗口理論，并無實質(zhì)性的區(qū)別。但

實際上二者是有原則性的區(qū)別。拉格朗日理論的應(yīng)用僅限于力學(xué)范疇，而哈密頓理論之所以能夠

成為包括量子力學(xué)在內(nèi)的整個物理學(xué)的理論基礎(chǔ)，都源于有此區(qū)別。

設(shè)函數(shù)L/qR,t）滿足拉格朗日方程（1?3），即:鼠-=0a=123……S

成立。現(xiàn)在有另外一個函數(shù)Lj（q，4,t），它與函數(shù).滿足關(guān)系式L,（q,q：C）=l（q,4t）

+^azf（q,t）（1?7）

上式中的函數(shù)f（q,t）是一個坐標(biāo)q和時間t的任意函數(shù)。因為

軟聯(lián)）=￡.新%琮（1?8）

將（1?7）和（1?8）式代入（1?3）式，立即可以證明，滿足（1-7）式的函數(shù)G也滿

足拉格朗日方程，即2翌2——抖=0也成立。由于函數(shù)f（q,t）是任意的，因此對于一

個確定的力學(xué)體系而言，滿足其動力學(xué)方程的拉格朗日函數(shù)可以有無數(shù)多個，找到了,個滿

足拉格朗日方程的拉格朗bl函數(shù)L,利用（1?7）式，就可以找到無數(shù)多個也滿足拉格朗

日方程的函數(shù)這就是拉格朗日函數(shù)具有不確定性的意思。

說清楚「拉格朗日函數(shù)具有不確定性后，現(xiàn)在可以來說明本節(jié)所言的經(jīng)典力學(xué)哈密頓理

論的“靈魂”所在了。上節(jié)指出，從經(jīng)典力學(xué)的拉格朗日理論發(fā)展為哈密頓理論，其關(guān)節(jié)點

是用動量％=的來取代速度心==qa。由于拉格朗日函數(shù)中含有速度4r對于同一個坐

標(biāo)q,兩個不同的拉格朗日函數(shù)L,和所得到的動量是不同的。這相當(dāng)于在經(jīng)典力學(xué)的哈

密頓理論中.一對共扼的坐標(biāo)q.和動量pg之間是完全獨立的,即在同一個問題中與一個

確定的廣義坐標(biāo)q。共枕的廣義動量%有無數(shù)多個。

在經(jīng)典力學(xué)的牛頓理論和拉格朗日理論中，一個力學(xué)體系僅知道其在時刻t時的位形（坐

標(biāo)q）,它以后的運(yùn)動規(guī)律并不能確定下來，只有同時知道其速度心，這個力學(xué)體系以后的運(yùn)動

情況才能完全確定下來。但在小頓理論和拉格朗口理論中，坐標(biāo)和速度的關(guān)系是確定了的。而在

哈密頓理論中，如上所述，坐標(biāo)和動量是獨立的。這相當(dāng)于在拉格朗口理論中，一個“自由度”

為S的力學(xué)體系，到了哈密頓理論中，它的自由度翻倍變成了2s。任何事物，自由度越大，越可

有所作為。經(jīng)典力學(xué)哈密頓理論的優(yōu)越性，它能越出力學(xué)范疇?wèi)?yīng)用于其他領(lǐng)域，包括量子力學(xué)在

內(nèi)，其原因都可歸結(jié)為此。拉格朗FI函數(shù)具有不確定性，是客觀存在的。但拉格朗日理論和哈密

頓理論，對這一性質(zhì)采取了完全不同的態(tài)度。前者認(rèn)為，一個力學(xué)體系既然可以有無數(shù)多個等效

的拉格朗口函數(shù)，在力學(xué)意義上所得到的結(jié)論完全一樣，那就任意選取一個就行了。哈密頓理論

則充分利用了拉格朗日函數(shù)具有不確定性這個特性，將體系的理論上的“自由度”翻倍，打開了

物理學(xué)理論的一條新通道，使力學(xué)理論能應(yīng)用于整個物理學(xué)領(lǐng)域。

假設(shè)一個質(zhì)點受到的合力為保守力，根據(jù)牛頓第二定律可知於〃2皆，(1.9)

dt

兩邊點乘公(1.10)

引入動能和勢能的表達(dá)式dEp=-f公，則式(1.10)變?yōu)閐E\+dE薩0(1.11)

2

從上面機(jī)械能守恒定律的推導(dǎo)可以看出，機(jī)械能守恒定律中的保守力星指保守力的合力，因

為牛頓第二定律中的力也是指合外力。由于牛頓第二定律只研究質(zhì)點，因此機(jī)械能守恒定

律也是只考慮質(zhì)點，是質(zhì)點動力學(xué)規(guī)律。

考慮了勢能就不能再計算保守力的功了，嚴(yán)格講斜面和單擺問題中的機(jī)械能不是重力機(jī)

械能問題，因為此時質(zhì)點受到的合力不等于重力，不過在相對于斜面和單擺懸掛點靜止的坐

標(biāo)系里計算的結(jié)果和重力機(jī)械能計算結(jié)果相同，因為另外一個保守力不做功出25)(因此很多

人誤認(rèn)為是重力機(jī)械能問題)，但是在相對于該坐標(biāo)系勻速運(yùn)動的坐標(biāo)系里這個保守力做功，

同時改變了質(zhì)點的動能和勢能，不改變質(zhì)點的機(jī)械能，因此分析力學(xué)從能最角度研究完整、

理想、雙側(cè)束問題，計算機(jī)械能時不考慮約束反力，虛功原理在所有的慣性系里都成立。其

實在非慣性系里約束力也不能改變系統(tǒng)的機(jī)械能，只能同時改變動能和勢能，因此虛功原理

在非慣性系也成立。

設(shè)約束不可解(即雙面約束)，某力系在左個幾何約束下處于平衡狀態(tài)。對體系中任一

質(zhì)點匕，設(shè)有主動力合力蚌及約束反力合力R/乍用其上，則因處于平衡狀態(tài)，故此時必有

F.+R,.=O(z=l,2,.■.,/?)

現(xiàn)讓每一質(zhì)點自它的平衡位置發(fā)生一虛位移bq,則由上式得

Ff?Sr,+R：?=0(f=1,2,???,?)

對上式中的各式求和，得ZE?羽+￡也?物=。

r=l

若為理想約束，約束反力不改變機(jī)械能，即之也^^工二。，這正是上式左邊第二項，故若

M

力系處于平衡狀態(tài)，則其平衡條件為

虛功原理

力w這F,?陰=0

i=l

或萩=f（F,x3xi+/期+F*z）=0

i=\

反之也可證明，當(dāng)上式對任意br,都成立時，系統(tǒng)在約束所允許的位置必保持平衡。可

見此式表明，受有理想約束的力系平衡的充要條件是此力系諸主動力在任意虛位移上所做的

兀功之和為0。此即虛功原理，也稱虛位移原理，還稱為好力學(xué)的普遍方程。（虛功原理是

力學(xué)體系呈平衡狀態(tài)的一般判據(jù)，它是一個關(guān)于平衡的原理，是機(jī)械能守恒定律的一種表現(xiàn)

形式）。光滑約束中的約束反力不改變質(zhì)點的機(jī)械能，這樣就適用于所有的慣性系了2、

設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，第i個質(zhì)點的慣性力耳產(chǎn)-小珥，則

作用該質(zhì)點的主動力耳、約束力尸刖、慣性力F"勾成平衡力系。其平衡方程為

E+EM+E，=0C=1，2,…，幾）

質(zhì)點系受到理想、雙側(cè)約束時，依據(jù)虛位移原理有之（耳+尸即+五3?問=0

1=1

若質(zhì)點系受的理想約束，即支五M?四=0，則之（耳+及）?問=0或者

1=11=1

￡（耳-7麓9）?問=0稱為動力學(xué)普遍方科也稱為達(dá)朗貝爾―拉格朗日方程。它表明：具

（=1

有完整、理想、雙側(cè)束的質(zhì)點系在運(yùn)動的任一瞬時，作用在質(zhì)點系上的主動力和慣性力在

任一組虛位移中所作的元功之和為零。它建立了質(zhì)點系動力學(xué)問題的普遍規(guī)律，特別是對

于非自由質(zhì)點系來說，在求解時不必考慮未知的約束力，只需研究主動力，從而大大地簡化

了計算過程。

在彈簧振子（單擺）問題中，是一個完整、理想、雙側(cè)束的質(zhì)點，約束力不改變質(zhì)點的機(jī)

械能；考慮彈簧（擺線）質(zhì)量，是具有完整、理想、雙側(cè)束的質(zhì)點系，約束力也不改變系統(tǒng)

的機(jī)械能。

牛頓第二定律是從合力角度進(jìn)行分析，而機(jī)械能守恒定理、拉格朗口方程、哈密頓正則

方程則是從能量角度出發(fā)，哈密頓變分原理則為更為普遍的力學(xué)原理，通過對其變分可以推

導(dǎo)出拉格朗日方程、哈密頓正則方程以及運(yùn)動微分方程。矢量力學(xué)的機(jī)械能守恒定律中的勢

能對應(yīng)于所有的有勢力，包括主動力和約束反力，而分析力學(xué)中的拉格朗日函數(shù)或哈密頓函

數(shù)中的勢能只對應(yīng)于廣義力，廣義力只包含主動力，故兩種勢能不同。分析力學(xué)中的哈密頓

函數(shù)H的守恒原理，在非穩(wěn)定的約束情況下，并非機(jī)械能，成為廣義的能量,

只有在穩(wěn)定的約束情況下，是機(jī)械能。故矢量力學(xué)的機(jī)械能守恒定律要求有勢能，

而哈密頓函數(shù)的守恒原理要求11不顯含t旦為穩(wěn)定約束，它們是從不同角度討論機(jī)械能守恒

的。對「主動力是保守力的力學(xué)體系，分析力學(xué)注重的物理量是能量，從數(shù)學(xué)上講，處理對

象從矢量轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)量，處理方法也從幾何方法轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)分析的方法。在處理束縛體系時，

由于拉格朗日方程中不含約束反力，避免了約束反力引起的麻煩。所以分析力學(xué)方法在處理

力學(xué)體系運(yùn)動問題時顯示出了很大的優(yōu)越性。牛頓力學(xué)方法面對的物理量是矢量，借助幾何

圖形，解題思路明確、清晰，既nJ求出運(yùn)動規(guī)律，也能求出約束反力，但對于多約束的力學(xué)

體系，此方法會陷入困境,分析力學(xué)方法面對的物理量是標(biāo)量，采用數(shù)學(xué)分析的方法，此方

法具有更高的概括性和統(tǒng)一性，較牛頓力學(xué)方法有一定的優(yōu)越性。從理論上看，牛頓力學(xué)是

從物體受力的角度導(dǎo)出其動力學(xué)方程的，分析力學(xué)則是從能量的角度來導(dǎo)出其動力學(xué)方程

的。力僅是力學(xué)范圍內(nèi)的一個物理量，而能量則是整個物理學(xué)的一個基本物理量，這就使拉

格朗日方程成為了力學(xué)和物理學(xué)其他分支相互聯(lián)系的橋梁，所以分析力學(xué)方法具有更高的概

括性和統(tǒng)一性，它使得經(jīng)典力學(xué)的理論體系更加嚴(yán)謹(jǐn)，它代表了經(jīng)典力學(xué)的重大發(fā)展。

八、內(nèi)勢能與外勢能的關(guān)系

1.利用內(nèi)勢能計算的局限性

由于?有人懷疑引入外勢能概念的必要性，認(rèn)為勢能屬「系統(tǒng)，從兩體問題的角度分析，

導(dǎo)致了機(jī)械能守恒定律不滿足力學(xué)相對性原理的結(jié)論。如果全部按照內(nèi)勢能計算具有很大的

局限性，下面以重力勢能為例分析一下這個問題。

由于研究重力機(jī)械能守恒定律時不考慮地球的公轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)和體積大小因素的影響，為了

研究問題的方便，設(shè)地球（視為質(zhì)點，下同）質(zhì)量為M,物體的質(zhì)量為m,忽略其它力（在這

里僅從理論上推導(dǎo)機(jī)械能守恒定律，生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中還要考慮其它因素）。

下面我們先從兩體角度（內(nèi)勢能）出發(fā)分析自由落體問題，由于把自由落體問題看作兩

體問題，需要考慮地球受到物體（視為質(zhì)點）微弱的作用力，因此地球和物體都不是嚴(yán)格的

慣性系，但是系統(tǒng)的質(zhì)心確實嚴(yán)格的慣性系，因此我們設(shè)地球與物體組成系統(tǒng)的質(zhì)心為A

點。

Ani

設(shè)地球與物體之間的作用力恒為mg，距離為h,地球移動的距離為％,由于系統(tǒng)受到的

合外力為0,因此根據(jù)牛頓第?定律，初始狀態(tài)地球與物體相對于A點靜止，系統(tǒng)的勢能為

2

mgh,設(shè)到達(dá)A點物體的速度為V2.則由運(yùn)動學(xué)得v『=2gih-hi),v2=2mghI/M,地球移動距離

為hi.此時系統(tǒng)的動內(nèi)自之利為LMv/+J_mv:=lni.2g(h-hi)+.!-M.2mghi/M=mg(h-hi)+mghi=mgh<J

2222

上面的推導(dǎo)得出的結(jié)論與以地球為參照系得出的結(jié)論一致，事實上當(dāng)時是把地球質(zhì)最認(rèn)

為無窮大，以地球為參照系得出的，嚴(yán)格上講是近似規(guī)律，因為根據(jù)動量守恒定律可以得出

Mh^mCh-h,),h尸mh/(M+m),此時以地球為觀察者物體的運(yùn)動速度大小為

2

V|+v2=J2g(/lhj+M=j2gMh/(M+/〃)+y]2mgh/[M(M+/??)]

=++/[M(M+/〃)]=yf2ghy/[nj+M)/M，這一結(jié)論也

Mm

可以利用折合質(zhì)量計算得出，以地球為參照系，物體的折合質(zhì)量為蔡力，以地球為參照系

卜備h=____________

物體下落到地面的速度為V為而廊,折合質(zhì)量的計算更簡潔

一些。

與以地球為參照系得出的速度大小不相等，實際上當(dāng)M視為無窮大時上式等號成立，這

也符合唯物辯證法的量變質(zhì)變規(guī)律，也符合玻爾提出的對應(yīng)原理。

從這里可以看出自由落體運(yùn)動的計算得出的也是近似值。設(shè)f(m)二J通師工切7必，

顯然是關(guān)于m的增函數(shù)，在牛頓力學(xué)里以地球為參照系物體下落的速度確實與物體的質(zhì)量有

關(guān)，質(zhì)量越大下落越快，但并不是亞里士多德所說的下落速度與質(zhì)量成正比。這個結(jié)果可以

給出一個直覺解釋，隨著物體質(zhì)量的增加，地球的加速度也在不斷增加，時間也會逐漸縮短。

由「一般物體的質(zhì)量較小，系統(tǒng)相對誤差較小，在實驗中無法發(fā)現(xiàn)，通過上式可以把實驗結(jié)

果與計算數(shù)據(jù)進(jìn)行矯正，只要v魅值=v丹論的師工柘7而，即可以說實驗是完全成功的。

由于地球的質(zhì)量巨大，上述的分析只具有理論意義，系統(tǒng)誤差不僅遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于空氣阻力的影

響，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于重力加速度的變化產(chǎn)生的影響，甚至小于質(zhì)點由于運(yùn)動引起的狹義相對論

效應(yīng)，生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中可以不予考慮，而且由于不知道地球的具體質(zhì)量，按照內(nèi)勢

能計算復(fù)雜、誤差會更大。

突比于上面的分析平拋運(yùn)動、斜拋運(yùn)動等物體在重力場中的運(yùn)動規(guī)律也是近似規(guī)律,

但是系統(tǒng)相對誤差極小，生產(chǎn)實踐中可以不予考慮。下面推導(dǎo)其系統(tǒng)相對誤差的大小:

由上面的推導(dǎo)可知，mvi=Mv2,v2=invi/Mo在物理學(xué)中把與觀察者(或參照系)實際同一

的速度為牽連速度，此時需要考慮到牽連速度。以地球為參照系物體到達(dá)A點時系統(tǒng)的機(jī)械

能為物體的動能(vt+mvi