2024年高考考前押題密卷01【新高考九省專用】

高三數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上.

2.回答第【卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內容

5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。

1.隨著“一帶一路”經貿合作持續深化，西安某地對外貿易近幾年持續繁榮，2023年6月18日，該地很多

商場都在搞“618”促銷活動.市物價局派人對某商品同一天的銷售量及其價格進行調查，得到該商品的售

價x（單位：元）和銷售量（單位：百件）之間的一組數據（如表所示），用最小二乘法求得V關于x

的線性回歸方程是?=0.25x+G,預測當售價為45元時，銷售量件數大約為（）（單位：百件）

2025303540

y578911

A.12B.12.5C.13D.11.75

2.已知￡（-1,0）,名（1,0）是橢圓M的兩個焦點，過點入且垂直于X軸的直線交橢圓M于A8兩點，且

|人即=3,則橢圓M的離心率為（）

BC

',三-T-ID.與

3.設正項等比數列｛4｝的前〃項和為S”，q=l,且-4，的，4成等差數列，則S?。”與陶儂的關系是（）

==—=

A--^20242。2024—1B.S2a=^2024+1C.52024^^21)24D.,^2024"見必+】

4.設〃、〃是兩條不同的直線，夕、A是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若a//〃，alia,則B.若：J_），?±cz?b上。，則

C.若。，尸，。工。，則D.若a上乃,alia.則

5.第31屆世界大學生夏季運動會于2023年7月28日至8月8日在中國四川省成都市舉行，是中國西部

第一次舉辦世界性綜合運動會,該屆賽事共設籃球、排球、田徑、游泳等18個大項，269個小項，其中，

籃球項目比賽、熱身和訓練在鳳凰山體育公園等8個體育場館舉行.將5名志愿者分配到3個場館，每個

場館至少有1名志愿者，且每名志愿者只去一-個場館，則志愿者甲、乙到同一場館的概率為（）

6.已知圓*2+）*=］,。為直線”+），-4=0上的一個動點，過P作圓O的切線，切點分別為4,B,

若直線外、PB關于直線/對稱，則cosZAP8=（）

A.且B.aC.也D.也

7434

7.已知且cos（a-：）=VIcos2a,則sin（a+：）=（）

A.一巫B..也C.且D.巫

4444

8.已知雙曲線c￡-W=lS＞0.〃＞（））的右焦點為F，A是C的一條漸近線上位于第一象限內的一點，延長線

a2b-

段w與C的另一條漸近線交于點兒若。為坐標原點，|A網=2應卻=3|。4|,則C的漸近線方程

為（）

A.y=±3°xB.,=±2&xC.y-±42xD.y=±^-x

?432

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設z為復數（i為虛數單位），下列命題正確的有（）

A.若(l+i)z=-i,M|z|=l

B.對任意復數Z1,z2,有卜仔2|=團憶］

C.對任意復數4，22,有正=,2

D.在復平面內，若"={2|卜-2|工2},則集合M所構成區域的面積為6兀

10.已知函數/0）=sinMr+*）（口＞（）,|0|〈兀）滿足一/（已）=/圖=/,且/（x）在值上單調

遞減，則（）

A.①/B./（X-自為奇函數

C.的對稱軸為+MZeZD.小）在［0,可上有3個零點

ii.已知定義在R上的奇函數“力連續，函數〃力的導函數為了'(”.當1>()時，r(x)cosx>

/(x)sinx+e?/"(x),其中e為自然對數的底數，則()

A./(x)在R上為減函數B.當x>0時，/(x)<0

D.f(x)在R上有且只有1個零點

C/部信)

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(--X2］的展開式中第2項的二項式系數為6,則其展開式中的常數項為________.

1％J

13.在四棱錐P—A8CQ中，已知平面平面A8CDAB=5O=2JJ,AO=4,PA=P。，，BCD=—,

4

若二面角的正切值為亞，則四棱錐P-A8C。外接球的表面積為.

3

14.1643年法國數學家費馬曾提出了一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其到這個三角

形的三個頂點的距離之和為最小.它的答案是：當三角形的三個角均小于120。時，所求的點為三角形的

正等角中心(即該點與三角形的三個頂點的連線段兩兩成隹120°),該點稱為費馬點.已知A8C中，其

中NA=60。，BC=1,P為費馬點，則依+PC-F4的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知函數/(x)="Tnx,a￡R.

⑴若函數〃(,。-/(⑼-/有兩個極值點，求”的取值范圍；

(2)若曲線產/(“在點口jf邛處的切線與)，軸垂直，求證：/(x)<er+-.

16.(15分)近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生開放了兩個健身

中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心正行適當的體育鍛煉.

(1)該校學生甲、乙、丙三人某周均從A,4兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲、乙、丙該周選擇

A健身中心健身的概率分別為求這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率；

(2)該校學生丁每周六、日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身中心的其中一個,

其中周六選擇A健身中心的概率為;.若「周六選擇A健身口心，則周口仍選擇A健身中心的概率為1；

24

若周六選擇4健身中心，則周日選擇A健身中心的概率為?.求丁周日選擇健身中心健身的概率；

(3)現用健身指數來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規定k值低于1分的

學生為健身效果不佳的學生，經統計發現從全校學生中隨機抽取?人，其%值低于1分的概率為0.02.

現從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健身效果不佳的學生，則繼續抽取下一個，直

至抽取到一位健身效果不佳的學生為止，但抽取的總次數不超過〃.若抽取次數的期望值不超過23,求〃

的最大值.

參考數據：0.9829a0.557,0.9s30?0.545,0.9831之0.535.

17.（15分）如圖所示，三棱柱A4G所有棱長都為2,N與8O60,。為8c中點，。為4（與

交點.

（1）證明：CO〃平面八。4；

（2）證明：平面4coJ_平面八4G；

（3）若直線。々與平面人。與所成先的正弦值為名叵，求二面角A的平面角的余弦值.

13

18.（17分）已知橢圓E：*+5=1（。>2>0）的離心率為乎，A,8分別是E的左、右頂點，尸是E上

異于A,8的點，△4PB的面積的最大值為2VL

（1）求E的方程；

（2）設。為原點，點N在直線x=2上，N,P分別在x軸的兩側，且△AM與△N8P的面積相等.

（i）求證：直線ON與直線”的斜率之積為定值；

（ii）是否存在點尸使得烏△N8P,若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由.

19.（17分）定義兩個"維向量《=（/,土2,…，七.“），%=（如""，…，肛”）的數量積

-aj=x{Axji+xi2xj2+-??+xinxjn（z,；eN+）,記4★為《的第攵個分量（ZK八且keN.）.

如三維向量q=（2J5）,其中q的第2分量《2=1.若由〃維向量組成的集合A滿足以下三個條件：①

集合中含有〃個〃維向最作為元素;②集合中每個元素的所有分量取。或1;③集合中任意兩個元素q,

力，滿足（/為常數）且q.%=］則稱4為7的完美〃維向量集

（1）求2的完美3維向量集；

（2）判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；

⑶若存在A為7的完美〃維向量集，求證：A的所有元素的第2分量和y=7\

2024年高考考前押題密卷01【新高考九省專用】

數學?全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內容

5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。

1.隨著“一帶一路”經貿合作持續深化，西安某地對外貿易近幾年持續繁榮，2023年6月18日，該地很多

商場都在搞“618”促銷活動.市物價局派人對某商品同一天的銷售量及其價格進行調查，得到該商品的售價x

（單位：元）和俏售量）’（單位：百件）之間的一組數據（如表所示），用最小二乘法求得），關于x的線性

回歸方程是?=0.25x+4,預測當售價為45元時，銷售量件數大約為（）（單位：百件）

X2025303540

y578911

A.12B.12.5C.13D.11.75

【答案】D

【分析】求出X，亍，根據回歸直線方程必過樣本中心點求出心從而得到回歸直線方程，再代入x=45計

算可得.

_1_1

【詳解】因為犬=一（z20+25+3。+35+40）=3（）,^=-（5+7+8+94-11）=8,

55

所以回歸直線過點（30,8）,故8=0.25x30+6,即3=0.5,所以亍=0.25.r+0.5.

將x=45代入？=0.25x+0.5中，得亍=0.25x45+0.5=11.75.

故選：D.

2.已知片（-1，。）,工（1,0）是橢圓M的兩個焦點，過點入且垂直于x軸的直線交橢圓M于A8兩點，且

|A卻=3,則橢圓M的離心率為（）

A.1B6

2U5

【答案】A

【分析】設出橢圓方程，根據給定條件,列出方程組求出橢圓長半軸長即可得解.

【詳解】依題意，設橢圓方程為￡+￡=1（〃＞力＞（））,貝|」/一加=1,

a~b~

x=\,

x2y2，，解得IW=Z，則更=3,于是。=2,

直線AB:x=l,由，

/+L。°

所以橢圓M的離心率為，

故選：A

3.設正項等比數列｛4｝的前〃項和為S”，q=l,且一%，%,2成等差數列，則%”與內儂的關系是（）

=—

A.-^20242^2（124B.$2024=242024+1C.=442G”一3D.52024=4?2（）,4+1

【答案】A

【分析】先利用等比數列的通項公式列方程求公比，然后求出S2儂和物）24觀察它們之間的關系即可.

【詳解】設正項等比數列｛《,｝的公比為4，q＞0

因為-%，%，%成等差數列，所以2%=-%+4，

所以為=—解得〃=2,

9（P4\

0±2=22°“-］，限/產=22叱

「q

則$2024=2a2024-1.

故選：A.

4.設。、b是兩條不同的直線，a、夕是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若a//〃，alia,則。//aB.若；J_），a±a,b上。,則a_L/?

C.若a工0,則a〃aD.若a，，，alia,則a，/

【答案】B

【分析】利用空間直線與平面，平面與平面的位置關系判斷ACD,利用空間向量判斷線面位置關系，從而

判斷B,由此得解.

【詳解】對于A,若a//b,al/a,則有可能Z?u。，故A錯誤；

對于B,若〃，a,bLpy則直線。，方的方向向量a力分別為平面a,夕法向量，

又；1%，即a_L〃，所以aJ?1，故B正確；

對于C,若。工0,則有可能aua,故C錯誤；

對干D,若alia,則有可能〃u〃，故D錯誤.

故選:B.

5.第31屈世界大學生夏季運動會于2023年7月28日至8月8日在中國四川省成都市舉行，是中國西部

第一次舉辦世界性綜合運動會,該屆賽事共設籃球、排球、田徑、游泳等18個大項，269個小項，其中，籃

球項目比賽、熱身和訓練在鳳凰山體育公園等8個體育場館舉行.將5名志愿者分配到3個場餌，每個場館

至少有1名志愿者，且每名志愿者只去一個場館，則志愿者甲、乙到同一場館的概率為（）

A.-B.—C.—D.—

5102525

【答案】D

【分析】按不同的分組情形分類討論，利用排列、組合數求出所有分配方法，再利用捆綁法求出甲、乙到

同一場館的情況，代入古典概型的概率公式計算即可.

【詳解】5名志愿者分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為3,1,1或2,2,1,

當分為3,1,1時，有C；A；=60（種）分配方法，

當分為2,2,1時，有箋?A；=90（種）分配方法，即共有60+90=150（種）分配方法，

其中志愿者甲、乙到同一場館，將甲、乙看作一-個整體，情況有C；A：+C；A；=36（種）分配方法，

故志愿者甲、乙到同一場館的概率為含=晟，

故選：D

6.已知圓O：A-2+/=l,P為直線/：x+y—4=0上的一個動點，過尸作圓。的切線，切點分別為A、B,

若直線胡、關于直線/對稱，則cosNAPB=（）

A.且B.aC.也D.也

7434

【答案】B

【分析】由題意可得OQ_U,ZAPO=ABPO,求出|。修，再結合二倍角公式即可得解.

【詳解】由題知小、關于直線/：x+y-4=0對稱，知OP_L/,

則|。4==242,\OA\=1,

記乙4尸8=2a,則NA尸O=NBPO=a,

7.已知aw((后,且cos|a-不卜缶os2a,則sin(a+：J=(

)

D,巫

A.一叵B..且C,且

4444

【答案】D

【分析】利用兩角差的余弦公式和二倍角的余弦公式化簡求出cos[a+：J,然后利用同角三角函數基本關

求解即可.

【詳解】因為cos(a—：=&cos2a,所以cosacosw+sinasin[=&(cos?2-sin2a),

所以cosa+sina=2(cosa-sina)(8sa+sina),

又aw(0,],所以cosa+sina>0,所以cosa-sina=；,所以0cos(a+：)=g

故選：D

8.已知雙曲線。:鳥-1=1(">()力>())的右焦點為是C的一條漸近線上位于第一象限內的一點，延長線

ab~

段W與C的另一條漸近線交于點8.若。為坐標原點，|AW=2&|OA|,|O5|二3|ON，則C的漸近線方程為

()

A.y=±^^-xB.y-±^^xC.y=±y/2xD.y=±^-x

4-32

【答案】D

【分析】由題意，可求得O4_LA8,tanNAO8=20,進而計算tan/AOr=變，即可求得結果.

2

【詳解】^\AB\=2y/2\O^\OB\=3\O^f得|。4『二|。四）

所以OA1AFiAixnZAOB=2&?

由ZAOB=2ZAOF,得=2&,解得tanZ.AOF=—或tanZAOF=-叵（舍去）,

l-tan2ZAOF2

所以2二正，從而。的漸近線方程為），=土變x.

a22

故迄D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.設z為復數(i為虛數單位)，下列命題正確的有()

A.若(l+i)z=-i,則|z|=l

B.對任意復數Z],z2,有匕旬=|21HzJ

C.對任意復數4,z2,有H=

D.在復平面內，若"={2|卜-2|《2},則集合M所構成區域的面積為6兀

【答案】BC

【分析】借助復數的運算、共挽復數、復數的模及復數的幾何意義逐項判斷即可得.

-i-ix(l-i)-1-i

【詳解】對A：由(1+1)Z=T,故Z=「==2—,

1+1(1+1)(1-1)2

對B：設Z]=a+Ai卜/,。€R)、z2=c+di(c,^eR),

則匕zJ=|(a+Ai)(c+di)|=|ac—+(ad+)i|=J(ac-bd)~+(ad+bc)~

=\a2c2-labcd+b2d2+crd2+2abcd+b2c2=\la2c2+b2d2+a2d2+b2c2，

。?+//+*+",

|z,||z2|==Js+Bd+w=J/

故上闖=im，故B正確;

對C：設Z1=a+bi(a,Z?￡R)、z2=c+di(C^/GR),

有ij-z2=(6/+/?i)(c+)=ac-bd4-(ad+be)i,則z,芻=ac-bd-(ad+bc)i,

z(z2=(a-bi)(c-d\)=ac-bd-(ad+bc)i,故馬％=馬芻,故C正確;

對D：設z=x+yi(xywR),則有(％-2>+)?W4,

集合M所構成區域為以（2,0）為圓心，半徑為2的圓,

故S=nr2=47r，故D錯誤.

故選:BC.

10.已知函數f（x）=sin（3r+＞）（@＞（）,I夕K兀）滿足一/已=7］）=，與＞且/（“在值上單調

遞減，則（）

A.（P吟B./（工一雪）為奇函數

JI乙

C.小）的對稱軸為工=力程，ZeZD.在［0,可上有3個零點

【答案】AC

【分析】先通過條件推知是“X）的對稱中心，以及X=白是/（%）的的對稱軸，然后結合f（x）在

信方）上單調避減得出fm=1,“X）在（蕓）上單調狒減，再推知f3=sin（2x+：｝至此可直接

驗證A正確，而驗證/倨）是否為（）即可判斷B,分別解方程sin（2x+1）=l和疝（2%+舒=0即可判斷C

和D.

【詳解】由于小）在你以上單調遞減，-尼卜/圖故照（4對應的點停。）是〃H的對

即佃”

稱中心,

同樣地由于在但，如上單調遞減，故最小正周期722佟

162J\2o73

同時，由于對任意的實數〃，方程/(力=。在一個形如+的區間上至多有兩個根，且在有兩個根的情

況下，這兩個根的平均值％對應的直線x=%一定是/")的的對稱軸，而=等｝

2兀兀n712兀/兀_a7兀2兀「兀兀11fx2兀)In7.段田田3、7兀當日"、

T=2+6<2+T-2+r,從而5'7噌子今故與=5匕+旬=蒞對應的直線、=五一定是小)

的的對稱軸.

現在，由于傳，o］是/(X)的對稱中心，x=3是/(X)的的對稱軸，故工=合是/(工)的對稱軸.而/(工)在

信3上單調遞減,故/、1)=八/(X)在左,，)上單調遞減.

再由信。］是/(x)的對稱中心，就知道)=93所以T=人故"=字=2.

此時得到/(x)=sin(2x+0),代入/仔］=1得sin住+。］=1,即？+>=三+2反(&eZ).

\>^7)62

從而W=1+2反(&eZ),由|“兀知k=0,所以*=g,即/(x)=sin(2x+1).

經驗證，/(力=sin(2嗚)滿足條件.

然后逐一驗證各個選項：

我們已經推出8=］，故A正確；

由“(*)=sin卜2+以=9。：知函數小-總在D處有定義但不過原點'從而不可能是奇函數,

B錯誤;

由于|/(刈=1當且僅當sin(2x+?：=1,即2x+方=］+E(左wZ),即x=R+與僅wZ),故的對稱軸

是力=^+4(AeZ),C正確；

由于/'(刈=0當且僅當sin(2x+1］=(),即"+三二而(丘Z),即工=—?+”(雇工)，故/(“在［0,句上的

I.)362

全部零點是:，稱，只有2個，D錯誤.

36

故選：AC.

11.已知定義在R上的奇函數/(1)連續，函數/(x)的導函數為尸(x).當x>0時,

//(x)cosx>/(A：)siiw4-e/,(x),其中e為自然對數的底數,則()

A./(X)在R上為減函數B.當x>0時，/(x)<0

C.佃>/用D.〃力在R上有且只有1個零點

【答案】BCD

【分析】根據題意，令g(x)=/(/cosAe),利用導數求得g(x)在(0,同上單調遞增，結合(屈，

得到/圖>/圖，可判定C正確；再由x>0時，g(力晨0),可判定B正確；根據/(可是定義在R上

的奇函數,結合單調性和零點的定義.可判定D正確.根據/(x)的單調性無法判斷,可判定A錯誤.

【詳解】由/'(x)cos^>/(x)shu+e-r(x),可得/'(x)(cosx-e)-/(x)sinr>0.

令g(x)=/(H(cosx-e),

則當x>()時，gr(x)=/(x)(cosx-e)-/(x)siiu>0,所以g(x)在(0,田)上單調遞增，

所以g閆?丹即/挑哈力信m

可得同㈠〈稽)(Y),所以/(">/圖，所以C正確；

因為g(O)=f(O)(l-e)=。所以當x>0時，g(x)>g(O)=O,

又因為cosx—evO,所以當x>0時，/(x)<0,所以B正確：

由F")是定義在R上的奇函數，故當xvO時，/(x)=-/M>0,

又囚為了(0)=0,所以/(x)在RL有且只有1個零點，所以D正確.

因為的單調性無法判斷，所以A錯誤.

故選：BCD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(1-/J的展開式中第2項的二項式系數為6,則其展開式中的常數項為.

【答案】15

【分析】由題意先求出〃=6,再求出(:--j的展開式的通項公式，令3--6=0代入即可得出答案.

【詳解】因為fL-f丫的展開式中第2項的二項式系數為6,所以C：=6,〃=6,

的展開式的通項公式為&=c《￡|?(-1y=(T)W_6,

令"-6=0,得「=2,故展開式中的常數項為C?(-1)2=15.

故答案為：15.

3兀

13.在四棱錐P-ABCD中，已知平面P4O_L平面ABCD4B=87)=2&,AQ=4,P4=PD,Z?CD=—,

4

若二面角P-鉆-O的正切值為池，則四棱錐P-A8CQ外接球的表面積為.

3

■田064乃,64

【答案】—/—^

JJ

【分析】分別取A。、AB的中點。、R,連接PQ.PRQR,即可證明PQ工平面A8CO,從而得到PQ1A8,

再由A4_LQR,即可得到平面PQR,從而得到/心。為二面角尸-四一。的平面角，即可求出P。，

又三棱錐外接球的球心0在直線P0上，求出三棱錐尸-48。外接球的半徑，即可得到外接球的表

面積，再由A、B、C、。四點共圓，即可得到三棱錐〃-/W。的外接球即為四棱錐尸-A6s的外接球,

從而得解.

【詳解】分別取AD、A3的中點。、R,連接PQ/RQR.

因為%=。力，所以PQ_LA。，

因為平面上4。_1_平面ABC。，平面孔V)c平面A88=AO,PQu平面PAD,

所以PQ/平面A8CZ),RQu平面ABC。，ABu平面A8CO,所以PQ_LQ?,PQ上AB,

因為A8=BO=2x/2,/\D=4,

所以4長+8。=4)2,所以A^JLB。，

因為Q，R分別為4)，A8的中點，所以QR//BD,所以

又PQQR=Q,PQ,QRu平面PQR,所以A8/平面PQR,

乂PRu平面尸QR,所以

所以/PRQ為二面角P-A3—。的平面角，所以tan/PRQ=^=—,

RQ3

因為RQ=；BD=母,所以尸。二手，

所以三棱錐2-48力外接球的球心。在直線PQ上，由名叵＜2知。在線段尸。的延長線上.

3

設OQ=d,則PQ+d=J/+QD：,即苧+d=/7F,所以d二手，

所以三棱錐P-/WO外接球的半徑為PQ+d=竽，表面積為4、華)=y

因為/胡。二一，ZBCD=—f即NZMO+N4c。=兀，

44

所以A、B、C、D四點共圓，

所以三棱錐尸-ABD的外接球即為四棱錐P-ABCD的外接球，

64

故四棱錐P-A5CO外接球的表面積為了兀.

64

故答案為：yn

14.1643年法國數學家費馬曾提出了一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其到這個三角

形的三個頂點的距離之和為最小.它的答案是：當三角形的三個角均小于120。時，所求的點為三角形的正等

角中心(即該點與三角形的三個頂點的連線段兩兩成角12()。)，該點稱為費馬點.已知.ABC中，其中乙4=60。,

BC=1，P為費馬點，則P8+尸C-PA的取值范圍是.

【答案】知

./

【分析】設戶A=嘰PB=fJ,PC=t,ZPAC=a(0°<a<60°),進而得到N/WA,NPAB/PCA,然后在二PBC

中通過余弦定理得到〃，1的關系式，在△PAC和一PAB中通過正弦定理得到人〃?的關系式和網〃的關系式，

然后借助三角函數的性質和函數的性質求得答案.

【詳解】如圖，根據題意，設QA=〃?,P3=〃,QC=/,ZE4C=a(0°<a<60°),則NP8A=a,

ZPAB=ZPCA=60°-a,在aPBC中，由余弦定理有cos120。=七匕1=-_!_=>〃+,="口…①

2nt2

tm

在△抬C中,由正弦定理有益=.(6。。_0'

mn

在中，由正弦定理有益二薪不，

/nsintt

sin（600-a）

故則川=〃/，由①，〃+/=J〉+1…②,

,7/sin（60°-or）

sina

〃?sin（60°-a）+〃?sina_J病+1=1〔]_sin（6（）o_a）|sina

sina.sin（60°-a）“.0N+m2sina+sin（600-a）

設*=sin（60。-a）,則一當I.>/3,L\件W，所

cosa]sina],由題意，lanae（0,6）=>----G

sinax=---tana

sinatana2

以上?0,珂，而，|+，_=彳+1,由對勾函數的性質可知,Il+-^-e[2,+oo）=>0<m<—

Vm~Vtn~3

1在(。,當上單調遞減’于是

由②，PB+PC-PA=y/m~+1-m=「——,易知函數）'=「——

m~+14-m^trr+1+tn

PB+PC-PAGI^-,\].

故答案為：

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知函數/（x）=arTnA；a￡R.

(1)若函數/(X)=/(力-/有兩個極值點，求。的取值范圍;

⑵若曲線y=/(x)在點gjg))處的切線與丁軸垂直，求證:1

/（x）ve*+

【答案】⑴(2?+句(2)證明見解析

【分析】(1)根據條件知，/(工)有兩個正的變號零點，即方程-2/+研_1=0有兩個不相等的正實根，有

△>0及韋達定理得到不等式，解出后驗證即可：

(2)根據條件可求得〃=e,不等式轉化為ex-e'<hu+L,利用導數考察不等式左右兩邊函

IeJex

數的最值即可證明.

【詳解】(1)由題，F(A)=ar-liu-x2,

函數的定義域為(0,+/),

F'lx)=a---2x="2X+ay-1(x>0).......................................2分

XX

因為F")有兩個極值點，

所以方程-2/+,q_1=0有兩個不相等的正實根，

設為看，*2，且王<工2，得芭+七=5>。，

且八=/-8>0，得〃>2/.................................................4分

當()<x<%時，F(x)<0/(x)單調遞減；

當石<工<天時，F(<)>0/(x)單調遞增；

當1>七時，F'(x)<0,P(x)單調遞減.

所以/(x)在x=$處有極小值，在x=%?處有極大值，

因此。的取值范圍是(2&,+。)...............................................6分

(2)因為〃x)=orTiu?，則/'("=竺」(x〉0),

X

由題意知/(￡]=。(2-1)=0,得〃=6,......................................7分

故f(x)=et-lnr,WfW/(-v)<er+^-,

即ex-IFLV<e'+—,

ex

BPe.r-e'<lav+—.........................................................8分

ex

令g(x)=ex_e'(x〉0),則g<x)=e-e”,

當H>1時，g'(x)<0,g(x)單調遞減，

當Ovxvl時，g'(">O,g(x)單調遞增，

所以g(%)max=g(l)=e-e=O................................................1()分

令力(X)=bu+-!-,則"(x)=匚，

exex

當力>■!■時，/?力>0,力(“單調遞增，

e

當0cxV』時，"(x)<oj7(x)單調遞減，

C

所以"=m!+1=°..............................................12分

顯然g(x)與介(力不同時為0,

所以ex-e'<liivH---,故/(1)ve"■<.........................................13分

exex

16.(15分)近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生開放了AB兩個健身

中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當的體育鍛煉.

(1)該校學生甲、乙、丙三人某周均從A8兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲、乙、丙該周選擇A健

II?

身中心健身的概率分別為:看,；，求這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率；

(2)該校學生丁每周六、日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身中心的其中一個，其

中周六選擇A健身中心的概率為！.若丁周六選擇A健身中心，則周日仍選擇A健身中心的概率為!；若周

六選擇8健身中心，則周口選擇A健身中心的概率為|.求丁周口選擇8健身中心健身的概率；

(3)現用健身指數可攵?0,10])來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規定氏值低于1分的學生

為健身效果不佳的學生，經統計發現從全校學生中隨機抽取一人，其k值低于1分的概率為0.02.現從全校

學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健身效果不佳的學生，則繼續抽取下一個，直至抽取到一位

健身效果不佳的學生為止，但抽取的總次數不超過〃.若抽取次數的期望值不超過23,求〃的最大值.

參考數據：0.9829憶0.557,0.983°B(1545,0.98“*0.535.

713

【答案】(1)京；(2)—；(3)30.

【分析】(1)利用獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式進行計算；

(2)設出事件，利用全概率公式進行求解；

1-0.98"

(3)設抽取次數為X,求出X的分布列和數學期望,利用錯位相減法求出E(X)=,判斷其單調

0.02

性，結合特殊值，求出答案.

【詳解】(1)由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率

.............3分

(2)記事件C：丁周六選擇A健身中心，事件。：丁周日選擇9健身中心,

則p(c)=aC)=；,p(o|c)=i—(=(,p(oQ)=i—|=；.......................4分

由仝概率公式得尸(D)=P(C)P(*)+P?)尸(。0=9。聶：=3

13

故丁周日選擇8健身中心健身的概率為機....................................6分

（3）設從全校學生中隨機抽取1人，抽取到的學生是健身效果不佳的學生的概率為〃，則

〃=0.12.........................................................................................................................7分

設抽取次數為X,則X的分布列為

X123Ln-1n

PP(1-P)P(i-p)2pL(I-P)2P(1-〃尸

故E(X)=p+(l-p)〃x2+(l-〃y〃x3++(1-P)n2/?X(//-1)+(]-p)"~}Xn,

.....................................................................................................