2025年加拿大數學競賽（CMO）模擬試卷：組合數學與數論進階專題強化訓練一、填空題1.設集合A={1,2,3,4,5}，集合B={a,b,c,d}，且集合A與集合B的笛卡爾積A×B中元素個數為n，則n=______。2.在凸四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O。已知AB=4，BC=3，CD=5，DA=6，則四邊形ABCD的面積S=______。3.若一個正整數的質因數分解為\(p_1^{a_1}\timesp_2^{a_2}\times\ldots\timesp_k^{a_k}\)，其中p_i為質數，a_i為正整數，則該正數的最大值為______。4.在三角形ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=8，b=15，c=17，則角A的正弦值為______。5.若等差數列{a_n}的公差為d，首項為a_1，第n項為a_n，則該數列的前n項和S_n=______。二、選擇題1.設集合A={x|x是2的整數次冪}，集合B={x|x是3的整數次冪}，則集合A與集合B的交集A∩B=______。A.{2,4,8,16,32,...}B.{3,6,9,12,18,...}C.{2,3,4,6,8,9,12,16,...}D.空集2.若函數f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，則下列條件中正確的是______。A.a>0，b>0，c>0B.a>0，b<0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<03.在等差數列{a_n}中，若首項a_1=3，公差d=2，則第10項a_10=______。A.19B.20C.21D.224.在三角形ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=10，b=6，c=8，則角A的正切值為______。A.1B.2C.3D.45.若等比數列{a_n}的公比q=2，首項a_1=3，則第n項a_n=______。A.3\times2^{n-1}B.3\times2^{n+1}C.3\times2^{n-2}D.3\times2^{n+2}三、解答題1.已知等差數列{a_n}的首項a_1=2，公差d=3，求該數列的前10項和S_10。2.已知等比數列{a_n}的首項a_1=4，公比q=2，求該數列的前5項和S_5。3.在三角形ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=7，b=24，c=25，求三角形ABC的面積S。4.設集合A={1,2,3,4,5}，集合B={a,b,c,d}，求集合A與集合B的笛卡爾積A×B中元素個數。5.已知函數f(x)=x^2-4x+3，求該函數的圖像開口方向、對稱軸、頂點坐標。四、證明題要求：證明以下命題：對于任意正整數n，\(n^3+3n+1\)是3的倍數。五、應用題要求：一個長方體的長、寬、高分別為5cm、4cm、3cm，求該長方體的體積和表面積。六、綜合題要求：已知等差數列{a_n}的首項a_1=1，公差d=2，求該數列的第n項a_n的表達式，并計算該數列的前n項和S_n。本次試卷答案如下：一、填空題1.n=20，因為集合A有5個元素，集合B有4個元素，所以笛卡爾積A×B中元素個數為5×4=20。2.S=36，因為ABCD是凸四邊形，所以可以使用海倫公式計算面積，S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}，其中p為半周長，p=(a+b+c+d)/2，代入數據得S=\sqrt{18×(18-4)×(18-3)×(18-5)}=36。3.最大值為\(p_1^{a_1}\timesp_2^{a_2}\times\ldots\timesp_k^{a_k}\)，因為每個質因數都是正整數次冪。4.sinA=24/25，因為根據勾股定理，a^2+b^2=c^2，所以sinA=b/c=24/25。5.S_n=n/2(a_1+a_n)，因為等差數列的前n項和公式為S_n=n/2(a_1+a_n)。二、選擇題1.D，因為集合A和集合B沒有共同的元素。2.B，因為當a>0時，函數圖像開口向上，當b<0時，對稱軸在y軸左側，當c>0時，頂點在x軸上方。3.A，因為等差數列的第n項公式為a_n=a_1+(n-1)d，代入數據得a_10=3+(10-1)×2=19。4.A，因為根據勾股定理，a^2+b^2=c^2，所以tanA=b/a=6/10=3/5。5.A，因為等比數列的第n項公式為a_n=a_1q^{n-1}，代入數據得a_n=3×2^{n-1}。三、解答題1.S_10=55，因為等差數列的前n項和公式為S_n=n/2(a_1+a_n)，代入數據得S_10=10/2(2+19)=55。2.S_5=31，因為等比數列的前n項和公式為S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入數據得S_5=4(1-2^5)/(1-2)=31。3.S=84，因為根據海倫公式，S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}，其中p=(a+b+c)/2，代入數據得S=\sqrt{28×(28-7)×(28-24)×(28-25)}=84。4.元素個數為20，因為集合A有5個元素，集合B有4個元素，所以笛卡爾積A×B中元素個數為5×4=20。5.開口向上，對稱軸x=2，頂點坐標(2,-1)，因為函數f(x)=x^2-4x+3可以寫成f(x)=(x-2)^2-1。四、證明題證明：對于任意正整數n，\(n^3+3n+1\)是3的倍數。證明思路：首先，觀察\(n^3+3n+1\)的形式，可以將其分解為\(n(n^2+3)+1\)。因為n是正整數，所以n^2也是正整數，所以n^2+3也是正整數。因此，n(n^2+3)是3的倍數，因為它是兩個正整數的乘積。接下來，考慮1，1不是3的倍數，但是當n是3的倍數時，\(n^3+3n+1\)是3的倍數，因為\(n^3\)和\(3n\)都是3的倍數。當n不是3的倍數時，\(n^3\)和\(3n\)中至少有一個不是3的倍數，但是它們的和是3的倍數，因為3的倍數加上不是3的倍數仍然是3的倍數。因此，無論n是3的倍數還是不是3的倍數，\