安徽省滁州市定遠縣2017-2018學年高一下學期開學調研考試試題（數學）一、選擇題要求：從下列各題的四個選項中，選出正確的一個。1.已知函數$f(x)=\sin(x)+\cos(x)$，則函數的最小正周期為（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{\pi}{4}$2.已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_5=8$，則$a_{10}$的值為（）A.12B.14C.16D.183.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+2$，則函數的對稱中心為（）A.$(1,0)$B.$(0,1)$C.$(2,0)$D.$(0,2)$4.已知平面直角坐標系中，點$A(2,3)$，點$B(4,5)$，則線段$AB$的中點坐標為（）A.$(3,4)$B.$(2,4)$C.$(4,3)$D.$(3,3)$5.已知等比數列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_3=9$，則$a_5$的值為（）A.27B.18C.12D.66.已知函數$f(x)=\ln(x+1)$，則函數的定義域為（）A.$(-1,+\infty)$B.$(-\infty,-1)$C.$(-1,0)$D.$(0,+\infty)$二、填空題要求：把答案填在題目的橫線上。7.函數$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$的值域為______。8.已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，則$a_6$的值為______。9.函數$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{6})$的一個對稱軸方程為______。10.已知點$A(2,3)$，點$B(4,5)$，則線段$AB$的長度為______。三、解答題要求：解答下列各題。11.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$，求：（1）函數的定義域；（2）函數的值域；（3）函數的對稱軸方程。12.（本小題滿分12分）已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公差$d=3$，求：（1）數列的前$n$項和$S_n$；（2）數列的第$n$項$a_n$；（3）數列的通項公式。四、（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$，求：（1）函數的定義域；（2）函數的單調區間；（3）函數的極值。五、（本小題滿分12分）已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，公比$q=2$，求：（1）數列的前$n$項和$S_n$；（2）數列的第$n$項$a_n$；（3）數列中所有項的和。六、（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，已知點$A(1,2)$，點$B(3,4)$，直線$AB$的方程為$y=kx+b$，求：（1）直線$AB$的方程；（2）直線$AB$與$x$軸的交點坐標；（3）直線$AB$與$y$軸的交點坐標。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：B解析：正弦函數和余弦函數的最小正周期均為$2\pi$，因此函數$f(x)=\sin(x)+\cos(x)$的最小正周期為$2\pi$。2.答案：B解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項，$d$是公差。根據題意，$a_1=2$，$d=a_5-a_1=8-2=6$，所以$a_{10}=a_1+(10-1)d=2+9\cdot6=14$。3.答案：C解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+2$的對稱中心可以通過求導找到函數的極值點，然后計算極值點的平均值得到對稱中心。求導得$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$得$x=0$和$x=2$。計算$f(0)=2$和$f(2)=0$，因此對稱中心為$(1,1)$。4.答案：A解析：線段的中點坐標可以通過取兩端點坐標的平均值得到。點$A(2,3)$和點$B(4,5)$的中點坐標為$\left(\frac{2+4}{2},\frac{3+5}{2}\right)=(3,4)$。5.答案：A解析：等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_1$是首項，$q$是公比。根據題意，$a_1=3$，$q=\sqrt[3]{\frac{a_3}{a_1}}=\sqrt[3]{3}=2$，所以$a_5=a_1q^{5-1}=3\cdot2^4=48$。6.答案：A解析：對數函數的定義域要求里面的表達式大于零，即$x+1>0$，解得$x>-1$，因此函數的定義域為$(-1,+\infty)$。二、填空題7.答案：$[0,+\infty)$解析：由于分母$x-1$不能為零，所以定義域為$x\neq1$。分子$x^2-1$可以分解為$(x-1)(x+1)$，因此函數可以寫為$f(x)=x+1$，當$x\neq1$時。函數的值域為$[0,+\infty)$。8.答案：18解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項，$d$是公差。根據題意，$a_1=3$，$d=2$，所以$a_6=a_1+(6-1)d=3+5\cdot2=13$。9.答案：$x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$解析：正弦函數的對稱軸方程可以通過解方程$\sin(x+\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{2})$得到。由于$\sin(x)$的周期為$2\pi$，所以對稱軸方程為$x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$。10.答案：$\sqrt{2}$解析：線段的長度可以通過兩點之間的距離公式計算得到。點$A(2,3)$和點$B(4,5)$之間的距離為$\sqrt{(4-2)^2+(5-3)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。三、解答題11.（1）函數的定義域為$x\neq1$。（2）函數的值域為$[0,+\infty)$。（3）函數的對稱軸方程為$x=1$。12.（1）數列的前$n$項和$S_n=n(a_1+a_n)/2$，代入$a_1=2$和$a_n=2+3(n-1)$得$S_n=n(2+2+3(n-1))/2=3n^2-n$。（2）數列的第$n$項$a_n=2+3(n-1)=3n-1$。（3）數列的通項公式為$a_n=3n-1$。四、（1）函數的定義域為$x\geq-1$。（2）函數的單調遞增區間為$[-1,0]$，單調遞減區間為$[0,+\infty)$。（3）函數的極值為$f(0)=1$。五、（1）數列的前$n$項和$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，代入$a_1=1$和$q=2$得$S_n=\frac{1(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$。（2）數列的第$n$項$a_n=a_1q^{n-1}=1\cdot2^{n-1}=2^{n-1}$。（3）數列中所有項的和為$S_n=2^n-1$。六、（1）直線$AB$的方程可以通過兩點式直線方程得到。代入點$A(1,2)$和點$B(3,