安徽省合肥八中12-13學年高一上學期期中考試（數學）（掃描版）一、選擇題1.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），若$f(1)=2$，$f(2)=5$，則$f(3)$的值為：（1）8（2）7（3）6（4）52.已知函數$y=3x^2-4x+1$的圖象與$x$軸的交點坐標為$(x_1,0)$，$(x_2,0)$，則$x_1+x_2$的值為：（1）$\frac{4}{3}$（2）2（3）$\frac{8}{3}$（4）3二、填空題1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+2x$，則$f(-1)$的值為______。2.已知函數$y=2x^2+3x-1$的圖象與$x$軸的交點坐標為$(x_1,0)$，$(x_2,0)$，則$x_1x_2$的值為______。3.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象開口向上，且$f(1)=2$，$f(2)=5$，則$a$的值為______。三、解答題1.已知函數$f(x)=x^2-4x+3$，求證：$f(x)$的圖象關于直線$x=2$對稱。2.已知函數$y=3x^2-4x+1$，求$x$的取值范圍，使得$y\geq0$。3.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），若$f(1)=2$，$f(2)=5$，$f(3)=8$，求$a$，$b$，$c$的值。四、證明題1.證明：若等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，首項為$a_1$，則$a_1^3+a_2^3+\ldots+a_n^3=(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2$。2.證明：若等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$（$q\neq1$），首項為$a_1$，則$a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2=\frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q^2}$。五、計算題1.計算下列各式的值：（1）$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$（2）$(2x-3y)^2+(2x+3y)^2$（3）$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$2.解下列方程組：（1）$\begin{cases}2x+3y=8\\3x-2y=1\end{cases}$（2）$\begin{cases}x^2+y^2=10\\x-y=2\end{cases}$六、應用題1.一輛汽車從甲地出發，以每小時$60$公里的速度行駛，另一輛汽車從乙地出發，以每小時$80$公里的速度行駛，兩車同時出發相向而行。甲乙兩地相距$480$公里。求兩車相遇時各自行駛了多少公里。2.一根長$100$厘米的繩子，要用它來圍成一個矩形，使得矩形的周長最小。求這個矩形的長和寬。本次試卷答案如下：一、選擇題1.解析：根據題意，有$f(1)=a+b+c=2$，$f(2)=4a+2b+c=5$，聯立方程組解得$a=1$，$b=-2$，$c=3$，代入$f(3)$得$f(3)=9-6+3=6$，故選（3）。2.解析：根據韋達定理，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{3}=\frac{4}{3}$，故選（1）。二、填空題1.解析：代入$x=-1$得$f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)=-1-3-2=-6$，故答案為$-6$。2.解析：根據韋達定理，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}$，故答案為$-\frac{1}{2}$。3.解析：由$f(1)=2$和$f(2)=5$得$a+b+c=2$，$4a+2b+c=5$，解得$a=1$，故答案為$1$。三、解答題1.解析：因為$f(x)$的圖象關于直線$x=2$對稱，所以$f(2-x)=f(2+x)$，即$x^2-4x+3=(2-x)^2-4(2-x)+3$，化簡得$x^2-4x+3=x^2-4x+3$，等式成立，證明完成。2.解析：由$y=3x^2-4x+1\geq0$得$3x^2-4x+1=0$，解得$x=\frac{1}{3}$或$x=1$，因為$a=3>0$，所以開口向上，所以$x$的取值范圍為$x\leq\frac{1}{3}$或$x\geq1$。3.解析：由$f(1)=2$，$f(2)=5$，$f(3)=8$得$a+b+c=2$，$4a+2b+c=5$，$9a+3b+c=8$，解得$a=1$，$b=-2$，$c=3$。四、證明題1.解析：由等差數列的性質知$a_2=a_1+d$，$a_3=a_1+2d$，$\ldots$，$a_n=a_1+(n-1)d$，將$a_1^3+a_2^3+\ldots+a_n^3$按照等差數列的通項公式展開，得$a_1^3+(a_1+d)^3+\ldots+(a_1+(n-1)d)^3$，然后利用立方和公式$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$進行化簡，最終得到$(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2$。2.解析：由等比數列的性質知$a_2=a_1q$，$a_3=a_1q^2$，$\ldots$，$a_n=a_1q^{n-1}$，將$a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2$按照等比數列的通項公式展開，得$a_1^2+a_1^2q^2+\ldots+a_1^2q^{2n-2}$，然后利用等比數列求和公式$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$進行化簡，最終得到$\frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q^2}$。五、計算題1.解析：（1）$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=(3+2\sqrt{6}+2)-(3-2\sqrt{6}+2)=4\sqrt{6}$（2）$(2x-3y)^2+(2x+3y)^2=4x^2-12xy+9y^2+4x^2+12xy+9y^2=8x^2+18y^2$（3）$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$2.解析：（1）$\begin{cases}2x+3y=8\\3x-2y=1\end{cases}$將第一個方程乘以$3$，第二個方程乘以$2$，得$\begin{cases}6x+9y=24\\6x-4y=2\end{cases}$，相減得$13y=22$，解得$y=\frac{22}{13}$，代入第一個方程得$x=\frac{20}{13}$。（2）$\begin{cases}x^2+y^2=10\\x-y=2\end{cases}$將第二個方程平方得$x^2-2xy+y^2=4$，與第一個方程相減得$2xy=6$，解得$xy=3$，代入$x^2+y^2=10$得$x^2+3=10$，解得$x^2=7$，所以$x=\sqrt{7}$或$x=-\sqrt{7}$，代入$x-y=2$得$y=\sqrt{7}-2$或$y=-\sqrt{7}-2$。六、應用題1.解析：設兩車相遇時各自行駛了$t$小時，則根據題意有$60t+80t=480$，解