廣東省汕尾市2025學年上學期考研數學（二）高等數學應用題實戰解析強化卷一、一元函數微積分要求：計算下列極限，并說明理由。1.計算極限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$。2.計算極限$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{\lnx}$。3.計算極限$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{x}$。4.計算極限$\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}$。二、多元函數微積分要求：計算下列偏導數和全微分。1.設函數$f(x,y)=x^2y-y^3$，求$\frac{\partialf}{\partialx}$和$\frac{\partialf}{\partialy}$。2.設函數$f(x,y,z)=e^{x+y+z}$，求$\frac{\partialf}{\partialx}$，$\frac{\partialf}{\partialy}$和$\frac{\partialf}{\partialz}$。3.設函數$f(x,y,z)=x^2y+yz^2-xz^3$，求$\frac{\partialf}{\partialx}$，$\frac{\partialf}{\partialy}$和$\frac{\partialf}{\partialz}$。4.設函數$f(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2)$，求$\frac{\partialf}{\partialx}$，$\frac{\partialf}{\partialy}$和$\frac{\partialf}{\partialz}$。三、級數要求：判斷下列級數的斂散性。1.判斷級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$的斂散性。2.判斷級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}$的斂散性。3.判斷級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lnn}{n^2}$的斂散性。4.判斷級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sinn}{n^3}$的斂散性。四、多元函數微分法要求：求下列函數在指定點的梯度。1.設函數$f(x,y)=x^2e^y$，求$f$在點$(1,0)$的梯度。2.設函數$f(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2)$，求$f$在點$(1,1,1)$的梯度。3.設函數$f(x,y)=x^3y-y^3$，求$f$在點$(2,-1)$的梯度。4.設函數$f(x,y,z)=x^2y+yz^2-xz^3$，求$f$在點$(0,1,2)$的梯度。五、多元函數極值問題要求：求下列函數在指定區域內的最大值和最小值。1.設函數$f(x,y)=x^2+y^2-2xy+1$，求$f$在單位圓盤$x^2+y^2\leq1$上的最大值和最小值。2.設函數$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，求$f$在球體$x^2+y^2+z^2\leq4$上的最大值和最小值。3.設函數$f(x,y)=x^2y-2xy^2+1$，求$f$在平面區域$x^2+y^2\leq1$上的最大值和最小值。4.設函數$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz$，求$f$在長方體$0\leqx,y,z\leq1$上的最大值和最小值。六、線性代數要求：解下列線性方程組。1.解線性方程組$\begin{cases}x+2y-z=1\\2x-y+3z=0\\-x+y-2z=2\end{cases}$。2.解線性方程組$\begin{cases}3x+4y-5z=1\\2x+3y-z=2\\-x+2y+3z=1\end{cases}$。3.解線性方程組$\begin{cases}x-y+2z=1\\2x+y-3z=-1\\-x+3y+z=2\end{cases}$。4.解線性方程組$\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x-y+z=2\\-x+y+2z=3\end{cases}$。本次試卷答案如下：一、一元函數微積分1.解析：利用洛必達法則，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{1}=\cos0=1$。2.解析：利用洛必達法則，$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{\lnx}=\lim_{x\to1}\frac{2x}{\frac{1}{x}}=2$。3.解析：利用洛必達法則，$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{1}=1$。4.解析：利用洛必達法則，$\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sec^2x-\cosx}{3x^2}=\frac{1-1}{0}=0$。二、多元函數微積分1.解析：$\frac{\partialf}{\partialx}=2xy$，$\frac{\partialf}{\partialy}=x^2-3y^2$。2.解析：$\frac{\partialf}{\partialx}=e^{x+y+z}$，$\frac{\partialf}{\partialy}=e^{x+y+z}$，$\frac{\partialf}{\partialz}=e^{x+y+z}$。3.解析：$\frac{\partialf}{\partialx}=2xy-z^3$，$\frac{\partialf}{\partialy}=x^2+2yz-3xz^2$，$\frac{\partialf}{\partialz}=2yz-3xz^2$。4.解析：$\frac{\partialf}{\partialx}=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2}$，$\frac{\partialf}{\partialy}=\frac{2y}{x^2+y^2+z^2}$，$\frac{\partialf}{\partialz}=\frac{2z}{x^2+y^2+z^2}$。三、級數1.解析：根據p-級數收斂判別法，當$p>1$時，級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收斂。2.解析：由于$n^2>n!$，級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}$發散。3.解析：由于$\lnn$的增長速度小于$n^2$，級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lnn}{n^2}$收斂。4.解析：根據交錯級數收斂判別法，級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sinn}{n^3}$收斂。四、多元函數微分法1.解析：$\nablaf=\left(\frac{\partialf}{\partialx},\frac{\partialf}{\partialy}\right)=(e^y,x^2e^y)=(1,e)$。2.解析：$\nablaf=\left(\frac{\partialf}{\partialx},\frac{\partialf}{\partialy},\frac{\partialf}{\partialz}\right)=(e^{x+y+z},e^{x+y+z},e^{x+y+z})=(e,e,e)$。3.解析：$\nablaf=\left(\frac{\partialf}{\partialx},\frac{\partialf}{\partialy}\right)=(3xy^2-2y^3,x^3-3y^2)$。4.解析：$\nablaf=\left(\frac{\partialf}{\partialx},\frac{\partialf}{\partialy},\frac{\partialf}{\partialz}\right)=(2xy,x^2+2yz-3xz^2,yz-2xz^2)$。五、多元函數極值問題1.解析：對函數$f(x,y)$求偏導數，得到$\frac{\partialf}{\partialx}=2x-2y$，$\frac{\partialf}{\partialy}=-2x+2y$，令偏導數等于零，得到$x=y$。將$x=y$代入原函數，得到$f(1,1)=1$，這是在單位圓盤上的最大值。由于函數在單位圓盤內連續，且無邊界，所以最小值為$f(0,0)=1$。2.解析：對函數$f(x,y,z)$求偏導數，得到$\frac{\partialf}{\partialx}=2x$，$\frac{\partialf}{\partialy}=2y$，$\frac{\partialf}{\partialz}=2z$，令偏導數等于零，得到$x=y=z$。將$x=y=z$代入原函數，得到$f(1,1,1)=3$，這是在球體內的最大值。由于函數在球體內連續，且無邊界，所以最小值為$f(0,0,0)=0$。3.解析：對函數$f(x,y)$求偏導數，得到$\frac{\partialf}{\partialx}=2xy$，$\frac{\partialf}{\partialy}=x^2-4xy+2$，令偏導數等于零，得到$x=0$或$y=\frac{1}{2}$。將$x=0$代入原函數，得到$f(0,0)=1$，這是在平面區域上的最大值。由于函數在平面區域內連續，且無邊界，所以最小值為$f(0,1)=-\frac{1}{2}$。4.解析：對函數$f(x,y,z)$求偏導數，得到$\frac{\partialf}{\partialx}=2x-2y-2z$，$\frac{\partialf}{\partialy}=-2x+2y+2z$，$\frac{\partialf}{\partialz}=-2x+2y+2z$，令偏導數等于零，得到$x=y=z$。將$x=y=z$代入原函數，得到$f(1,1,1)=1$，這是在長方體內的最大值。由于函數在長方體內連續，且無邊界，所以最小值為$f(0,0,0)=0$。六、線性代數1.解析：將系數矩陣和增廣矩陣進行行變換，得到$\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-1&3&0\\0&1&-2&2\end{pmatrix}$，解得$x=1$，$y=2$，$z=3$。2.解析：將系數矩陣和增廣矩陣進行行變換，得到$\begin{pmatrix}3&4&-5&1\\0&-1&3&2\\0&2&3&1\end{pmatrix}$，解得$x=1$，$y=-3$，$z=