安徽省蚌埠一中2013屆高三上學期期中考試（數學理）缺答案一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若函數$f(x)=\ln(x+1)$的圖像上存在一點$(a,b)$，使得該點處的切線斜率為2，則$a$的值為（）A.1B.$\frac{1}{2}$C.0D.-12.已知函數$f(x)=x^3-3x+1$，則$f'(x)$的零點個數為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題要求：將正確答案填在題中的橫線上。3.若函數$f(x)=\frac{1}{x-1}$的圖像上存在一點$(a,b)$，使得該點處的切線斜率為-1，則$a+b$的值為______。4.已知函數$f(x)=x^2-2x+3$，則$f(-1)$的值為______。三、解答題要求：請寫清楚解題步驟，解答過程要完整。5.（1）已知函數$f(x)=x^3-3x+1$，求$f(x)$的單調區間；（2）若函數$g(x)=x^3-6x^2+9x$在區間$[0,3]$上單調遞減，求實數$a$的取值范圍。四、解答題要求：請寫清楚解題步驟，解答過程要完整。5.（3）若函數$h(x)=\sqrt{x^2+1}$，求$h(x)$在區間$[-1,1]$上的最大值和最小值。6.（4）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，且對于任意的$n\geq2$，都有$a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+1)$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2^n}$。7.（5）已知函數$F(x)=x^4-4x^3+6x^2$，求$F(x)$的導數$F'(x)$。8.（6）若函數$y=\ln(x-1)+\sqrt{x+2}$的定義域為$[1,3]$，求函數的值域。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：由$f(x)=\ln(x+1)$，得$f'(x)=\frac{1}{x+1}$。切線斜率為2，即$f'(a)=2$，解得$a=-1$。2.B解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$。$f'(x)$在$x=1$處變號，故$f'(x)$有兩個零點。二、填空題3.0解析：由$f(x)=\frac{1}{x-1}$，得$f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$。切線斜率為-1，即$f'(a)=-1$，解得$a=0$，$b=f(0)=1$，所以$a+b=0+1=1$。4.2解析：將$x=-1$代入$f(x)=x^2-2x+3$，得$f(-1)=(-1)^2-2(-1)+3=2$。三、解答題5.（1）單調遞增區間為$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$，單調遞減區間為$(1,+\infty)$。解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$。$f'(x)$在$x=-1$和$x=1$處變號，故$f(x)$在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上單調遞增，在$(1,+\infty)$上單調遞減。5.（2）$a$的取值范圍為$(-\infty,0]$。解析：$g'(x)=3x^2-12x+9$，令$g'(x)=0$，解得$x=1$和$x=3$。$g'(x)$在$x=1$和$x=3$處變號，故$g(x)$在$[0,1]$和$[3,+\infty)$上單調遞減，在$[1,3]$上單調遞增。由于$g(x)$在$[0,3]$上單調遞減，故$a$的取值范圍為$(-\infty,0]$。四、解答題5.（3）最大值為$\sqrt{2}$，最小值為$0$。解析：$h'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$，令$h'(x)=0$，解得$x=0$。$h'(x)$在$x=0$處變號，故$h(x)$在$[-1,0)$上單調遞減，在$(0,1]$上單調遞增。$h(-1)=\sqrt{2}$，$h(1)=0$，故$h(x)$在$[-1,1]$上的最大值為$\sqrt{2}$，最小值為$0$。5.（4）$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{3}$。解析：由$a_1=1$，得$a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+1)$。遞推得$a_n=\frac{1}{2^n}(2^n-1)$，故$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-1}{2^n}=\frac{1}{3}$。5.（5）$F'(x)=4x^3-12x^2+12x$。解析：由導數公式，得$F'(x)=4x^3-12x^2+12x$。5.（6）值域為$[0,1]$。解析：$y=\ln(x-1)+\sqrt{x+2}$的定義域為$[1,3]$，故$x-1\in[0,2]$，$\sqrt{x+2}\in[\sqrt