北京市海淀區清華附永豐學校2016-2017學年高二上學期期中考試數學試題一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數$f(x)=x^3-3x+2$，則$f'(x)$的零點個數是（）A.1B.2C.3D.02.設函數$f(x)=\ln(x+1)$，$g(x)=\sqrt{x}$，則$f(g(2))$的值為（）A.$\ln(3)$B.$\ln(2)$C.$\sqrt{3}$D.$\sqrt{2}$3.設$a>0$，$b>0$，若$a+b=1$，則$ab$的最大值為（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.24.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2^n-1$，則數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$為（）A.$2^n-n-1$B.$2^n-n$C.$2^n-1-n$D.$2^n-1+n$5.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1+a_5=10$，$a_3+a_7=20$，則$a_1$的值為（）A.2B.4C.6D.8二、填空題要求：將正確答案填入空格內。6.若函數$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，則$f'(1)$的值為______。7.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，則數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$為______。8.設函數$f(x)=\ln(x+1)$，$g(x)=\sqrt{x}$，則$f(g(2))$的值為______。三、解答題要求：解答下列各題。9.（本題滿分12分）已知函數$f(x)=x^3-3x+2$，求：（1）$f'(x)$的零點個數及對應的$x$值；（2）$f(x)$的單調遞增區間和單調遞減區間。10.（本題滿分12分）已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1+a_5=10$，$a_3+a_7=20$，求：（1）$a_1$和$d$的值；（2）數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$。四、證明題要求：證明下列各題。11.證明：對于任意實數$x$，都有$x^3+3x+1>0$。五、應用題要求：根據題意解答下列各題。12.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=\frac{3}{2}a_n-1$，求$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$。13.某商品的原價為$100$元，按如下折扣銷售：前$10$天按$9$折銷售，之后按$8$折銷售。若該商品在銷售期間共賣出$200$件，求總銷售額。六、綜合題要求：綜合運用所學知識解答下列各題。14.已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求：（1）$f(x)$的極值點；（2）$f(x)$的單調區間；（3）$f(x)$的拐點。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：A解析：$f(x)=x^3-3x+2$，求導得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$，所以$f'(x)$的零點個數為1。2.答案：A解析：$f(g(2))=f(\sqrt{2})=\ln(\sqrt{2}+1)$，由于$\sqrt{2}+1>1$，所以$\ln(\sqrt{2}+1)>0$，選項A正確。3.答案：A解析：由均值不等式，當$a>0$，$b>0$，$a+b=1$時，$ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$，等號成立當且僅當$a=b=\frac{1}{2}$。4.答案：B解析：數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n=(2^1-1)+(2^2-1)+\ldots+(2^n-1)=(2^1+2^2+\ldots+2^n)-n$。根據等比數列求和公式，$2^1+2^2+\ldots+2^n=2(2^n-1)$，所以$S_n=2(2^n-1)-n=2^{n+1}-2-n$。5.答案：B解析：由等差數列的性質，$a_1+a_5=2a_3$，所以$a_3=5$。又$a_3+a_7=2a_5$，所以$a_5=10-a_3=5$。因此$a_1=a_3-2d=5-2d$，$d=\frac{a_5-a_1}{4}=\frac{5-(5-2d)}{4}=\fracyidinpu{2}$，解得$d=1$，$a_1=4$。二、填空題6.答案：$f'(1)=4$解析：由于$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，可以使用洛必達法則求導，得到$f'(x)=\frac{2x}{x-1}$，代入$x=1$，得到$f'(1)=\frac{2\cdot1}{1-1}=4$。7.答案：$S_n=2^{n+1}-2^n-n$解析：數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n=(3^1-2^1)+(3^2-2^2)+\ldots+(3^n-2^n)=(3^1+3^2+\ldots+3^n)-(2^1+2^2+\ldots+2^n)$。根據等比數列求和公式，$3^1+3^2+\ldots+3^n=3(3^n-1)$，$2^1+2^2+\ldots+2^n=2(2^n-1)$，所以$S_n=3(3^n-1)-2(2^n-1)=3^{n+1}-3-2^{n+1}+2=3^{n+1}-2^{n+1}-1$。8.答案：$\ln(3)$解析：由$f(g(2))=f(\sqrt{2})=\ln(\sqrt{2}+1)$，由于$\sqrt{2}+1>1$，所以$\ln(\sqrt{2}+1)>0$，且$\ln(\sqrt{2}+1)<\ln(2)$，所以選項A正確。三、解答題9.（本題滿分12分）（1）$f'(x)$的零點個數為1，對應的$x$值為1。（2）$f(x)$的單調遞增區間為$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$，單調遞減區間為$(1,+\infty)$。10.（本題滿分12分）（1）$a_1=4$，$d=1$。（2）$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(2\cdot4+(n-1)\cdot1)=n^2+3n$。四、證明題11.答案：證明如下：（1）令$h(x)=x^3+3x+1$，求導得$h'(x)=3x^2+3$，由于$x^2\geq0$，所以$h'(x)>0$，即$h(x)$在實數范圍內單調遞增。（2）當$x=0$時，$h(0)=1>0$。（3）由（1）和（2）可知，$h(x)$在實數范圍內始終大于0，所以對于任意實數$x$，都有$x^3+3x+1>0$。五、應用題12.答案：$S_n=2^n+2-\frac{n}{2}$解析：數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n=2+\frac{3}{2}\cdot2+\frac{3^2}{2^2}\cdot2+\ldots+\frac{3^{n-1}}{2^{n-2}}\cdot2$。這是一個等比數列求和問題，使用等比數列求和公式，得到$S_n=2^n+2-\frac{n}{2}$。13.答案：總銷售額為$9600$元。解析：前$10$天銷售額為$100\cdot0.9\cdot10=900$元，之后每天銷售額為$100\cdot0.8=80$元，共賣出$200-10=190$