第04講導數中構造函數比大小問題題型總結-【高考備考題型講義】備戰2024年高考數學常考題型分類講義（新高考專用）一、選擇題要求：在下列各題中，每個選項都有四個答案，其中只有一個答案是正確的，請將其選出。1.已知函數f(x)=x^3-3x，則f(x)在x=1處的導數為：A.-2B.0C.2D.32.設函數f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在x=2處取得極值，則該極值為：A.-3B.1C.3D.53.已知函數f(x)=e^x-x，則f(x)的單調遞增區間為：A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(0,+∞)和(-∞,0)4.設函數f(x)=x^2+2x+1，則f(x)的對稱軸為：A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=-25.已知函數f(x)=ln(x)在x=1處的導數為：A.1B.0C.-1D.不存在二、填空題要求：請將下列各題的答案填入空白處。6.函數f(x)=x^3-3x在x=0處的導數值為______。7.設函數f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在x=2處取得極值，則該極值為______。8.函數f(x)=e^x-x的單調遞增區間為______。9.函數f(x)=x^2+2x+1的對稱軸為______。10.函數f(x)=ln(x)在x=1處的導數值為______。三、解答題要求：請將下列各題的答案詳細寫出。11.已知函數f(x)=x^3-3x，求f(x)的導函數f'(x)，并求f(x)在x=1處的導數值。12.設函數f(x)=2x^2-3x+1，求f(x)的導函數f'(x)，并判斷f(x)在x=1處的極值類型。13.已知函數f(x)=e^x-x，求f(x)的導函數f'(x)，并判斷f(x)的單調性。14.設函數f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的導函數f'(x)，并求f(x)的對稱軸。15.已知函數f(x)=ln(x)，求f(x)的導函數f'(x)，并求f(x)在x=1處的導數值。四、證明題要求：證明下列各題中的結論。16.證明：若函數f(x)在x=a處可導，則f'(a)存在。17.證明：若函數f(x)在區間(a,b)內可導，且f'(x)在(a,b)內恒大于0，則f(x)在(a,b)內單調遞增。五、計算題要求：計算下列各題中的導數。18.計算函數f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=2處的導數。19.計算函數f(x)=(x-1)^3在x=0處的導數。20.計算函數f(x)=e^(2x)在x=ln2處的導數。六、綜合題要求：結合所學知識，解決下列綜合問題。21.已知函數f(x)=x^2+3x-4，求f(x)的導函數f'(x)，并判斷f(x)在x=1處的極值類型。22.設函數f(x)=3x^2-2x+1，求f(x)的導函數f'(x)，并求f(x)在區間(-∞,+∞)上的最大值和最小值。23.已知函數f(x)=ln(x^2+1)，求f(x)的導函數f'(x)，并求f(x)在x=1處的切線方程。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.0解析：f(x)=x^3-3x的導數f'(x)=3x^2-3，將x=1代入得f'(1)=3*1^2-3=0。2.A.-3解析：f(x)=2x^2-3x+1的導數f'(x)=4x-3，將x=2代入得f'(2)=4*2-3=5。由于f'(x)在x=2處從負變正，故f(x)在x=2處取得極小值，f(2)=2*2^2-3*2+1=-3。3.B.(0,+∞)解析：f(x)=e^x-x的導數f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0得e^x=1，即x=0。當x>0時，e^x>1，f'(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上單調遞增。4.C.x=1解析：f(x)=x^2+2x+1是一個完全平方公式，其對稱軸為x=-b/2a，即x=-2/(2*1)=-1。5.A.1解析：f(x)=ln(x)的導數f'(x)=1/x，將x=1代入得f'(1)=1/1=1。二、填空題6.0解析：f(x)=x^3-3x的導數f'(x)=3x^2-3，將x=0代入得f'(0)=3*0^2-3=0。7.-3解析：與選擇題2解析相同。8.(0,+∞)解析：與選擇題3解析相同。9.x=1解析：與選擇題4解析相同。10.1解析：與選擇題5解析相同。三、解答題11.f'(x)=3x^2-3，f'(1)=0解析：f(x)=x^3-3x的導數f'(x)=3x^2-3，將x=1代入得f'(1)=3*1^2-3=0。12.f'(x)=4x-3，f(x)在x=1處取得極小值解析：f(x)=2x^2-3x+1的導數f'(x)=4x-3，令f'(x)=0得x=3/4。由于f'(x)在x=3/4處從負變正，故f(x)在x=3/4處取得極小值。13.f'(x)=e^x-1，f(x)在(0,+∞)上單調遞增解析：f(x)=e^x-x的導數f'(x)=e^x-1，由于e^x總是大于1，故f'(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調遞增。14.f'(x)=2x+2，對稱軸x=-1解析：f(x)=x^2+2x+1的導數f'(x)=2x+2，對稱軸為x=-b/2a，即x=-2/(2*1)=-1。15.f'(x)=1/x，f'(1)=1解析：f(x)=ln(x)的導數f'(x)=1/x，將x=1代入得f'(1)=1/1=1。四、證明題16.證明：若函數f(x)在x=a處可導，則f'(a)存在。解析：由導數的定義知，f'(a)=lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h，由于f(x)在x=a處可導，故存在該極限，即f'(a)存在。17.證明：若函數f(x)在區間(a,b)內可導，且f'(x)在(a,b)內恒大于0，則f(x)在(a,b)內單調遞增。解析：由導數的定義知，若f'(x)>0，則f(x)在(a,b)內單調遞增。因為f'(x)恒大于0，所以f(x)在(a,b)內單調遞增。五、計算題18.f'(2)=16-24+12-4=0解析：f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的導數f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，將x=2代入得f'(2)=4*2^3-12*2^2+12*2-4=0。19.f'(0)=(-1)^3=-1解析：f(x)=(x-1)^3的導數f'(x)=3(x-1)^2，將x=0代入得f'(0)=3*(-1)^2=-1。20.f'(ln2)=2e^(2ln2)=4解析：f(x)=e^(2x)的導數f'(x)=2e^(2x)，將x=ln2代入得f'(ln2)=2e^(2ln2)=4。六、綜合題21.f'(x)=2x+3，f(x)在x=1處取得極大值解析：f(x)=x^2+3x-4的導數f'(x)=2x+3，令f'(x)=0得x=-3/2。由于f'(x)在x=-3/2處從正變負，故f(x)在x=-3/2處取得極大值。22.f'(x)=6x-2，f(x)在x=1/3處取得最小值，f(x)在x=1/3處取得最大值解析：f(x)=3x^2-2x+1的導數f'(x)=6x-2，令f'(x)=0得x=1/3。由于f'(x)在x=1/3處從負變正，故f(x)在x=1/3處取得最小值，f(1/3)=3*(1/3)^2-2*(1/3)+1=1/3。同理，f(x)在x=1/3處取得最大值。23.f'(x)