湖南省部分學(xué)校(岳陽市湘陰縣知源高級中學(xué)等)20232024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（解析版）（考試時(shí)間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.若復(fù)數(shù)$z=i\cdot\frac{1+i}{1i}$，則$z$的模為（）A.$\sqrt{2}$B.$1$C.$2$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$2.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=2$，$f(1)=6$，則$f(x)$的圖像可能是（）A.拋物線開口向上，頂點(diǎn)在$x$軸上方B.拋物線開口向下，頂點(diǎn)在$x$軸上方C.拋物線開口向上，頂點(diǎn)在$x$軸下方D.拋物線開口向下，頂點(diǎn)在$x$軸下方3.不等式$\log_2(x1)+\log_2(x+3)>2$的解集為（）A.$(3,1)\cup(5,+\infty)$B.$(1,5)$C.$(\infty,3)\cup(1,+\infty)$D.$(3,5)$4.在$\triangleABC$中，若$a=4$，$b=5$，$C=120^\circ$，則$c$的長度為（）A.$3$B.$\sqrt{37}$C.$7$D.$9$5.若函數(shù)$y=\ln(x^21)$的定義域?yàn)?D$，則$D$的補(bǔ)集為（）A.$(\infty,1]\cup[1,+\infty)$B.$[1,1]$C.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$D.$(\infty,0]\cup[0,+\infty)$二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.已知函數(shù)$f(x)=2x^23x+2$，則$f(x)$的最小值為________。2.若$\sin\alpha+\cos\alpha=a$，則$\sin\alpha\cos\alpha$的值為________。3.不等式$\frac{1}{x2}>\frac{2}{x+1}$的解集為________。4.在$\triangleABC$中，若$a=3$，$b=4$，$C=60^\circ$，則$\sinB$的值為________。5.若函數(shù)$y=\sqrt{x^22x3}$的值域?yàn)?[2,+\infty)$，則實(shí)數(shù)$x$的取值范圍是________。三、解答題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知函數(shù)$f(x)=\ln(x^21)2\ln(x1)$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。2.在$\triangleABC$中，若$a=2$，$b=3$，$C=120^\circ$，求$\triangleABC$的面積。四、證明題（共1小題，滿分10分）證明：對于任意正整數(shù)$n$，都有$(1+\frac{1}{n})^n<3$。五、探究題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$，$b$，$c$為常數(shù)，且$f(1)=3$，$f(2)=7$，$f(3)=13$。求$f(x)$的解析式。2.設(shè)集合$A=\{x|2x+1>5\}$，$B=\{x|x^23x+2<0\}$，求集合$A$與$B$的交集。六、計(jì)算題（共3小題，每小題5分，滿分15分）1.計(jì)算極限limxrightarrowinftyfracx2+2x+1x23x。2.計(jì)算定積分int_0^1(x^2+2x)dx。3.計(jì)算二重積分int_0^1int_0^y(x^2+y^2)dxdy。七、應(yīng)用題（共2小題，每小題5分，滿分10分）1.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為200元，售價(jià)為300元。如果生產(chǎn)x件產(chǎn)品，總成本為C(x)元，總收入為R(x)元。求利潤函數(shù)P(x)。2.某商場銷售一種商品，每天的銷售量x與價(jià)格p的關(guān)系為x=100p。如果每天的總成本為C元，求總利潤最大時(shí)的售價(jià)p。八、討論題（共1小題，滿分10分）討論函數(shù)f(x)=x^33x在區(qū)間(2,2)上的單調(diào)性和極值。九、綜合題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。2.在triangleABC中，已知a=4，b=6，C=120°，求sinA和sinB的值。十、推理題（共1小題，滿分10分）推理：若a，b，c為三角形的三邊長，且a^2+b^2>c^2，則角C為銳角。十一、分析題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.分析函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1在區(qū)間(2,2)上的圖像特征。2.分析方程x^33x^2+2x+1=0的根的情況。十二、判斷題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間(a,b)上必有最大值和最小值。（）2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)。（）3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，則f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)。（）4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)。（）5.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，則f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)。（）十三、選擇題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.若函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.不確定2.若函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，則f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.不確定3.若函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，則f(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.不確定4.若函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，則f(x)的圖像在x軸上方的部分對應(yīng)的x的取值范圍為（）A.(infty,1)cup(2,infty)B.(1,2)C.(infty,0)cup(1,infty)D.(0,1)cup(2,infty)5.若函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，則f(x)的圖像在x軸下方的部分對應(yīng)的x的取值范圍為（）A.(infty,1)cup(2,infty)B.(1,2)C.(infty,0)cup(1,infty)D.(0,1)cup(2,infty)十四、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.若函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，則f(x)的極小值為。2.若函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，則f(x)的極大值為。3.若函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，則f(x)的拐點(diǎn)坐標(biāo)為。4.若函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，則f(x)的圖像在x軸上方的部分對應(yīng)的x的取值范圍為。5.若函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，則f(x)的圖像在x軸下方的部分對應(yīng)的x的取值范圍為。十五、解答題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的極值點(diǎn)。2.已知函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的拐點(diǎn)坐標(biāo)。一、選擇題答案：1.A2.B3.C4.D5.A二、填空題答案：1.22.23.(1,2)4.(infty,1)cup(2,infty)5.(1,2)三、解答題答案：1.f'(x)=3x^26x2.面積為sqrt(3)四、證明題答案：證明：對于任意正整數(shù)n，都有(1+frac1n)^n<3。五、探究題答案：1.f(x)=x^2+2x+12.A與B的交集為空集六、計(jì)算題答案：1.極限為02.定積分為frac133.二重積分為0七、應(yīng)用題答案：1.利潤函數(shù)P(x)=R(x)C(x)=100x200x=100x2.總利潤最大時(shí)的售價(jià)p=50八、討論題答案：函數(shù)f(x)x33x在區(qū)間(2,2)上的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)，極小值為f(1)=2，極大值為f(1)=2。九、綜合題答案：1.零點(diǎn)個(gè)數(shù)為12.sinA=frac12，sinB=frac23十、推理題答案：推理：若a，b，c為三角形的三邊長，且a^2+b^2>c^2，則角C為銳角。十一、分析題答案：1.函數(shù)f(x)x33x22x1在區(qū)間(2,2)上的圖像特征為：單調(diào)遞增區(qū)間為(2,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)，極小值為f(1)=2，極大值為f(1)=2，拐點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)。2.函數(shù)f(x)x33x22x1的圖像在x軸上方的部分對應(yīng)的x的取值范圍為(infty,1)cup(2,infty)，在x軸下方的部分對應(yīng)的x的取值范圍為(1,2)。十二、選擇題答案：1.A2.B3.C4.D5.A十三、填空題答案：1.22.23.(1,2)4.(infty,1)cup(2,infty)5.(1,2)十四、解答題答案：1.極值點(diǎn)為x=12.拐點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2