IB課程HL數學AI2024-2025模擬試卷（數據分析與建模）——歷年真題匯編一、數據分析要求：運用所學的數據分析方法，對給定的數據集進行描述性統計分析，并解釋結果。1.某班級學生身高（單位：cm）數據如下：160,165,170,175,180,185,190,195,200,205,210,215,220,225,230。（1）計算該班級學生身高的平均數、中位數、眾數。（2）繪制該班級學生身高的直方圖，并說明其分布特征。（3）計算該班級學生身高的標準差和方差，并解釋其意義。2.某公司員工月工資（單位：元）數據如下：3000,3200,3500,3600,3700,3800,3900,4000,4100,4200,4300,4400,4500,4600,4700。（1）計算該公司員工月工資的平均數、中位數、眾數。（2）繪制該公司員工月工資的直方圖，并說明其分布特征。（3）計算該公司員工月工資的標準差和方差，并解釋其意義。二、概率論與統計推斷要求：運用所學的概率論與統計推斷方法，對給定的數據集進行分析，并得出結論。1.某城市居民家庭年收入（單位：萬元）數據如下：20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90。（1）假設該城市居民家庭年收入服從正態分布，求其均值和標準差。（2）計算該城市居民家庭年收入在50萬元以下的概率。（3）根據該數據集，判斷該城市居民家庭年收入是否服從正態分布。2.某班級學生成績（單位：分）數據如下：70,75,80,85,90,95,100,105,110,115,120,125,130,135,140。（1）假設該班級學生成績服從正態分布，求其均值和標準差。（2）計算該班級學生成績在90分以上的概率。（3）根據該數據集，判斷該班級學生成績是否服從正態分布。三、線性回歸分析要求：運用所學的線性回歸分析方法，對給定的數據集進行分析，并得出結論。1.某地區房價（單位：萬元）與面積（單位：平方米）數據如下：80,90,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190,200,210,220。（1）建立房價與面積之間的線性回歸模型。（2）計算模型的回歸系數和截距。（3）根據模型，預測當面積為150平方米時的房價。2.某地區人口（單位：萬人）與GDP（單位：億元）數據如下：10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80。（1）建立人口與GDP之間的線性回歸模型。（2）計算模型的回歸系數和截距。（3）根據模型，預測當人口為60萬人時的GDP。四、假設檢驗要求：運用所學的假設檢驗方法，對給定的數據集進行分析，并判斷原假設是否成立。1.某工廠生產的電子元件壽命（單位：小時）數據如下：500,502,498,504,501,503,499,506,507,505。（1）假設該電子元件壽命服從正態分布，求其均值和標準差。（2）進行t檢驗，判斷該電子元件壽命的均值是否顯著大于500小時。2.某項新產品在市場上的銷量（單位：件）數據如下：120,125,130,135,140,145,150,155,160,165。（1）假設該新產品的銷量服從正態分布，求其均值和標準差。（2）進行χ2檢驗，判斷該新產品的銷量是否符合二項分布。五、時間序列分析要求：運用所學的時序分析方法，對給定的時間序列數據進行預測，并評估預測結果的準確性。1.某地區過去五年的年降水量數據如下：800,850,860,830,870。（1）建立簡單的指數平滑模型，預測下一年該地區的年降水量。（2）使用殘差分析評估預測結果的準確性。2.某城市過去十年的月平均氣溫數據如下：15.2,15.5,15.8,16.0,16.3,16.5,16.7,16.9,17.0,17.2,17.5,17.7,17.9,18.0,18.2。（1）建立ARIMA模型，預測下一個月該城市的平均氣溫。（2）使用預測誤差評估模型預測結果的準確性。六、決策樹與隨機森林要求：運用所學的決策樹和隨機森林方法，對給定的數據集進行分類，并比較兩種方法的性能。1.某銀行對客戶信用評分的數據如下：年齡，收入，信用評分（好/壞）。（1）使用決策樹算法對客戶信用評分進行分類。（2）使用隨機森林算法對客戶信用評分進行分類，并比較兩種方法的分類準確率。2.某電商平臺的用戶購買行為數據如下：性別，購買歷史，購買偏好（高/中/低）。（1）使用決策樹算法對用戶購買偏好進行分類。（2）使用隨機森林算法對用戶購買偏好進行分類，并比較兩種方法的分類準確率。本次試卷答案如下：一、數據分析1.（1）平均數：(160+165+170+175+180+185+190+195+200+205+210+215+220+225+230)/15=182.67cm中位數：排序后第8個數，即190cm眾數：沒有明顯的眾數，數據較為均勻分布（2）直方圖繪制：根據數據范圍，可以分成5組，每組的頻數為3,4,3,4,1。（3）標準差：使用標準差公式計算，得到約18.32cm；方差：標準差的平方，約335.18。2.（1）平均數：(3000+3200+3500+3600+3700+3800+3900+4000+4100+4200+4300+4400+4500+4600+4700)/15=4033.33元中位數：排序后第8個數，即4100元眾數：沒有明顯的眾數，數據較為均勻分布（2）直方圖繪制：根據數據范圍，可以分成5組，每組的頻數為1,2,3,4,5。（3）標準差：使用標準差公式計算，得到約566.47元；方差：標準差的平方，約319737.68。二、概率論與統計推斷1.（1）均值：計算所有數據之和除以數據個數，即(20+25+30+35+40+45+50+55+60+65+70+75+80+85+90)/15=50萬元標準差：使用標準差公式計算，得到約7.75萬元（2）概率：使用正態分布的累積分布函數（CDF）計算，得到約0.3935（3）判斷：可以通過繪制概率密度函數（PDF）或使用卡方檢驗來判斷，這里假設服從正態分布。2.（1）均值：計算所有數據之和除以數據個數，即(70+75+80+85+90+95+100+105+110+115+120+125+130+135+140)/15=100分標準差：使用標準差公式計算，得到約10.95分（2）概率：使用正態分布的累積分布函數（CDF）計算，得到約0.8413（3）判斷：可以通過繪制概率密度函數（PDF）或使用卡方檢驗來判斷，這里假設服從正態分布。三、線性回歸分析1.（1）線性回歸模型：y=bx+a，其中b為斜率，a為截距。（2）回歸系數和截距：通過最小二乘法計算得到，斜率b約為0.5455，截距a約為6603.33。（3）預測：將面積150平方米代入模型，得到預測房價約為8250萬元。2.（1）線性回歸模型：y=bx+a，其中b為斜率，a為截距。（2）回歸系數和截距：通過最小二乘法計算得到，斜率b約為0.4，截距a約為7.5。（3）預測：將人口60萬人代入模型，得到預測GDP約為240億元。四、假設檢驗1.（1）均值：計算所有數據之和除以數據個數，即(500+502+498+504+501+503+499+506+507+505)/10=501.5小時標準差：使用標準差公式計算，得到約2.82小時（2）t檢驗：使用t檢驗公式計算，得到t值約為0.87，由于p值大于0.05，不能拒絕原假設，即電子元件壽命的均值不顯著大于500小時。2.（1）均值：計算所有數據之和除以數據個數，即(120+125+130+135+140+145+150+155+160+165)/10=140.5件標準差：使用標準差公式計算，得到約6.12件（2）χ2檢驗：使用χ2檢驗公式計算，得到χ2值約為3.2，由于p值大于0.05，不能拒絕原假設，即新產品的銷量符合二項分布。五、時間序列分析1.（1）指數平滑模型：使用簡單指數平滑法，計算得到預測值為880.2噸。（2）殘差分析：計算實際值與預測值之間的差異，并分析其趨勢和穩定性。2.（1）ARIMA模型：根據數據特點，選擇ARIMA(1,1,1)模型，計算得到預測值為18.2℃。（2）預測誤差評估：計算實際值與預測值之間