A-Level計算機科學2024-202年模擬試卷：樹形結構與C++編程挑戰一、樹形結構概念理解與應用要求：請根據以下定義，解釋樹形結構的基本概念，并舉例說明其在實際應用中的兩個場景。1.1定義：樹形結構是一種非線性數據結構，由節點組成，每個節點有零個或多個子節點，但沒有父節點。1.2問題：（1）請解釋什么是樹的深度和寬度。（2）請解釋什么是樹的路徑和路徑長度。二、C++編程基礎要求：請根據以下要求，用C++編寫代碼實現相應的功能。2.1問題：（1）編寫一個C++函數，用于計算一個整數數組中的最大值和最小值，并返回一個包含這兩個值的pair。（2）編寫一個C++函數，用于判斷一個整數是否為素數。三、樹形結構在C++中的應用要求：請根據以下要求，用C++實現一個二叉樹，并完成相應的操作。3.1問題：（1）編寫一個C++類，表示二叉樹的節點，包含以下成員變量：數據（int類型）、左子節點指針（指向當前節點的左子節點）、右子節點指針（指向當前節點的右子節點）。（2）編寫一個C++函數，用于創建一個二叉樹，并返回根節點指針。（3）編寫一個C++函數，用于遍歷二叉樹并打印所有節點的數據。四、樹形結構的遍歷算法要求：請選擇以下樹形結構的遍歷算法，并分別用偽代碼和C++代碼實現。4.1問題：（1）中序遍歷（2）后序遍歷（3）前序遍歷五、C++中的遞歸函數要求：請使用遞歸函數實現以下功能，并解釋遞歸的基本原理。5.1問題：（1）計算一個整數的階乘（2）判斷一個字符串是否為回文六、樹形結構的平衡操作要求：請解釋平衡二叉樹的概念，并實現以下操作。6.1問題：（1）定義平衡二叉樹的條件（2）實現一個函數，用于判斷一個二叉樹是否為平衡二叉樹（3）實現一個函數，用于將一個非平衡二叉樹轉換為平衡二叉樹本次試卷答案如下：一、樹形結構概念理解與應用1.1定義：樹的深度是指從根節點到最遠葉子節點的最長路徑上的節點數。樹的寬度是指樹中具有最大寬度的層級，即該層級的節點數。1.2問題：（1）樹的深度和寬度是樹形結構的基本概念，深度描述了樹的高度，寬度描述了樹的寬度。（2）樹的路徑是指從根節點到某個節點的路徑，路徑長度是指路徑上節點的數量。二、C++編程基礎2.1問題：（1）```cpp#include<iostream>#include<utility>std::pair<int,int>findMinMax(constintarr[],intsize){intmin=arr[0];intmax=arr[0];for(inti=1;i<size;++i){if(arr[i]<min){min=arr[i];}if(arr[i]>max){max=arr[i];}}returnstd::make_pair(min,max);}```（2）```cpp#include<iostream>boolisPrime(intnum){if(num<=1){returnfalse;}for(inti=2;i*i<=num;++i){if(num%i==0){returnfalse;}}returntrue;}```三、樹形結構在C++中的應用3.1問題：（1）```cppstructTreeNode{intdata;TreeNode*left;TreeNode*right;TreeNode(intval):data(val),left(nullptr),right(nullptr){}};```（2）```cppTreeNode*createBinaryTree(intarr[],intsize){if(size==0){returnnullptr;}TreeNode*root=newTreeNode(arr[0]);intleftSize=size/2;intrightSize=size-leftSize-1;root->left=createBinaryTree(arr+1,leftSize);root->right=createBinaryTree(arr+1+leftSize,rightSize);returnroot;}```（3）```cppvoidprintBinaryTree(TreeNode*root){if(root==nullptr){return;}printBinaryTree(root->left);std::cout<<root->data<<"";printBinaryTree(root->right);}```四、樹形結構的遍歷算法4.1問題：（1）中序遍歷：```cppvoidinorderTraversal(TreeNode*root){if(root==nullptr){return;}inorderTraversal(root->left);std::cout<<root->data<<"";inorderTraversal(root->right);}```（2）后序遍歷：```cppvoidpostorderTraversal(TreeNode*root){if(root==nullptr){return;}postorderTraversal(root->left);postorderTraversal(root->right);std::cout<<root->data<<"";}```（3）前序遍歷：```cppvoidpreorderTraversal(TreeNode*root){if(root==nullptr){return;}std::cout<<root->data<<"";preorderTraversal(root->left);preorderTraversal(root->right);}```五、C++中的遞歸函數5.1問題：（1）```cppintfactorial(intn){if(n<=1){return1;}returnn*factorial(n-1);}```（2）```cppboolisPalindrome(conststd::string&str){intleft=0;intright=str.length()-1;while(left<right){if(str[left]!=str[right]){returnfalse;}left++;right--;}returntrue;}```六、樹形結構的平衡操作6.1問題：（1）平衡二叉樹的條件是，對于樹中的任何節點，其左子樹和右子樹的高度差不超過1。（2）```cppboolisBalanced(TreeNode*root){if(root==nullptr){returntrue;}intleftHeight=height(root->left);intrightHeight=height(root->right);returnabs(leftHeight-rightHeight)<=1&&isBalanced(root->left)&&isBalanced(root->right);}intheight(TreeNode*root){if(root==nullptr){return0;}return1+std::max(height(root->left),height(root->right));}```（3）```cppTreeNode*balanceBinaryTree(TreeNode*root){if(root==nullptr){returnnullptr;}intleftHeight=height(root->left);intrightHeight=height(root->right);if(leftHeight>rightHeight){if(height(root->left->left)>=height(root->left->right)){root=rotateRight(root);}else{root->left=rotateLeft(root->left);root=rotateRight(root);}}else{if(height(root->right->right)>=height(root->right->left)){root=rotateLeft(root);}else{root->right=rotateRight(root->right);root=rotateLeft(root);}}returnroot;}TreeNode*rotateRight(TreeNode*root){TreeNode*newRoot=root->l