1.2直角三角形的性質和判定（Ⅱ）第1章直角三角形第3課時湘教版八年級下學期課件1.掌握勾股定理的逆定理及勾股數.（重點）2.能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是直角三角形.（難點）3.能夠運用勾股定理的逆定理解決問題．（難點）B

C

A

問題1

勾股定理的內容是什么?如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.bca問題2

求以線段a、b為直角邊的直角三角形的斜邊c的長：①

a＝3，b＝4；②

a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.c=5c=6.5c=8.5復習引入思考

以前我們已經學過了通過角的關系來確定直角三角形，可不可以通過邊來確定直角三角形呢？

同學們你們知道古埃及人用什么方法得到直角的嗎?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）打13個等距的結,把一根繩子分成等長的12段,然后以3段，4段，5段的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中最大的角便是直角.情景引入思考：從前面我們知道古埃及人認為一個三角形三邊長分別為3,4,5,那么這個三角形為直角三角形.按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎?大禹治水相傳，我國古代的大禹在治水時也用了類似的方法確定直角.2.一個三角形滿足什么條件是直角三角形？①有一個內角是90°，那么這個三角形就是直角三角形;②如果一個三角形中，有兩個角的和是90°，那么這個三角形就是直角三角形.

我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關系，來判斷是否為直角三角形呢？1.直角三角形有哪些性質？(1)有一個角是直角；(2)兩銳角互余；(3)勾股定理；(4)直角三角形30°角的性質.問題引入

據說，古埃及人曾用下面的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結間距，4個結間距、5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角．你認為結論正確嗎？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）相傳，大禹治水時也用這類似的方法確定直角.合作探究活動：探究勾股定理的逆定理的證明及應用

如果三角形的三邊分別為3，4，5，這些數滿足關系：32+42=52，圍成的三角形是直角三角形．具體做法：把一根繩子打上等距離的13個結，然后把第1個結和第13個結用木樁釘在一起，再分別用木樁把第４個結和第8個結釘牢（拉直繩子），這時構成了一個三角形，其中有一個角是直角.實驗操作：

下列各組數中的兩數平方和等于第三數的平方，分別以這些數為邊長畫出三角形（單位：cm），它們是直角三角形嗎？

①

2.5，6，6.5；

②4，7.5，8.5．

動手畫一畫

（1）這二組數都滿足嗎？（2）它們都是直角三角形嗎？

（3）提出你的猜想：

命題2如果三角形的三邊長a、b、c滿足

a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形.命題2與上節命題1的題設和結論有何關系?由上面的幾個例子你有什么發現？命題1：直角三角形a2+b2=c2命題2：直角三角形a2+b2=c2題設結論

題設和結論正好相反的兩個命題，叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題.勾股定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足

a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形.

如果直角三角形的兩直角邊分別為a、b

，斜邊為c滿足a2+b2=c2.勾股定理的逆命題互逆命題△ABC≌△

△A′B′C′

？證明結論∠C是直角

△ABC是直角三角形

A

B

C

abc已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)∴∠C=∠C′=900△ABC是直角三角形.則ACaBbcACBabca2+b2=c2直角三角形特別說明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角，最長邊所對角為直角.例1下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個角是直角？(1)a=25b=20c=15;(2)a=13b=14c=15;(4)a:b:c=3:4:5;(3)a=1b=2c=;分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方.例1下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個角是直角？(1)a=25b=20c=15;解：（1）因為152+202=625，252=625，所以152+202=252，根據勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，且∠A是直角.(2)a=13b=14c=15;解：（2）因為132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以這個三角形不是直角三角形.(4)a:b:c=3:4:5;解：（4）設a=3k,b=4k,c=5k,因為（3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根據勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，∠C是直角.解：例1下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個角是直角？(3)a=1b=2c=;奇數類：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等偶數類：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；等等解題小結：勾股數：像15，20，25這樣，能成為直角三角形三條邊長的正整數，稱為勾股數.常見勾股數：勾股數拓展性質：

一組勾股數，都擴大相同倍數k，得到一組新數，這組數同樣是勾股數.勾股定理的逆定理一下面有三組數分別是一個三角形的三邊長a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題

分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是下面有三組數分別是一個三角形的三邊長a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題2這三組數在數量關系上有什么相同點？①5,12,13滿足52+122=132,②7,24,25滿足72+242=252,③8,15,17滿足82+152=172.問題3古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個等式嗎？因為32+42=52，所以滿足.a2+b2=c2我覺得這個猜想不準確，因為測量結果可能有誤差.我也覺得猜想不嚴謹，前面我們只取了幾組數據，不能由部分代表整體.問題3據此你有什么猜想呢?由上面幾個例子，我們猜想：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′證一證:證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°

，

即△ABC是直角三角形.則ACaBbc勾股定理的逆定理:

如果三角形的三邊長a、b、c滿足

a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長邊所對的角為直角.特別說明：歸納總結

例1下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一個角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根據勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.

(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個三角形不是直角三角形.

根據勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.歸納【變式題1】若△ABC的三邊a,b,c滿足

a:b:c=3:4:5，試判斷△ABC的形狀.解：設a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),因為(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,所以△ABC是直角三角形，且∠C是直角.

已知三角形三邊的比例關系判斷三角形形狀：先設出參數，表示出三條邊的長，再用勾股定理的逆定理判斷其是否是直角三角形.如果三角形的三邊比中有兩個相同的數，那么該三角形還是等腰三角形.歸納【變式題2】(1)若△ABC的三邊a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，試說明△ABC是直角三角形.解：因為a+b=4,ab=1,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又因為c2=14,所以a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.(2)若△ABC的三邊a,b,c

滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.試判斷△ABC的形狀.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0.∴a=3,b=4,c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.例2如圖，在正方形ABCD中，F是CD的中點，E為BC上一點，且CE＝CB，試判斷AF與EF的位置關系，并說明理由．解：AF⊥EF.理由如下：設正方形的邊長為4a,則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.練一練1.下列各組線段中，能構成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C2.一個三角形的三邊長分別是3，4，5，則這個三角形最長邊上的高是（）A．4B．3C．2.5D．2.4D3.若△ABC的三邊a、b、c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0，則△ABC是________________________.等腰三角形或直角三角形如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.勾股數二概念學習常見勾股數：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數拓展性質：

一組勾股數，都擴大相同倍數k(k為正整數)，得到一組新數，這組數同樣是勾股數.

下列各組數是勾股數的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法點撥：根據勾股數的定義，勾股數必須為正整數，先排除小數，再計算最長邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.練一練12勾股定理的逆定理的應用三例3

如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠航”號每小時航行16海里,“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后分別位于點Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？NEP

QR問題1

認真審題，弄清已知是什么？要解決的問題是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“遠航”號的航向、兩艘船一個半小時后的航程及距離已知，如圖.問題2

由于我們現在所能得到的都是線段長，要求角，由此你聯想到了什么？實質是要求出兩艘船的航向所成角.勾股定理逆定理解：根據題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.因為242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°.

由“遠航”號沿東北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”號沿西北方向航行.

NEP

QR12

解決實際問題的步驟：

構建幾何模型(從整體到局部)；

標注有用信息,明確已知和所求；

應用數學知識求解.歸納【變式題】

如圖，南北方向PQ以東為我國領海，以西為公海，晚上10時28分，我邊防反偷渡巡邏101號艇在A處發現其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷懔⒓赐ㄖ赑Q上B處巡邏的103號艇注意其動向，經檢測，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只的速度為12.8海里/時，則可疑船只最早何時進入我領海？東北PABCQD

分析：根據勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.設PQ與AC相交于點D，根據三角形面積公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵該船只的速度為12.8海里/時，6.4÷12.8=0.5（小時）=30（分鐘），∴需要30分鐘進入我領海，即最早晚上10時58分進入我領海.東北PABCQD例4如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積.解析：連接AC，把四邊形分成兩個三角形.先用勾股定理求出AC的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.ADBC341312解：連接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.所以S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.

四邊形問題中，對角線是常用的輔助線，它把四邊形問題轉化成兩個三角形的問題.在使用勾股定理的逆定理解決問題時，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經常配套使用.歸納【變式題1】

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積.解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－

AB?AD=(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD【變式題2】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA例5如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面積．（1）證明：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：設腰長AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程的思想

1.A、B、C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．練一練2.如圖，是一農民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發現AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運用所學知識幫他檢驗一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農民挖的不合格．1.下列各組數是勾股數的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，5將直角三角形的三邊長擴大同樣的倍數,則得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形D.不可能是直角三角形BA3.已知a、b、c是△ABC三邊的長，且滿足關系式，則△ABC的形狀是

________________．等腰直角三角形4.一個三角形的三邊長分別為15cm、20cm、25cm，則這個三角形最長邊上的高是_______cm;125.已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n為大于1的正整數).試問△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對的角是直角？請說明理由.解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=AC2，∴△ABC是直角三角形，邊AC所對的角是直角.6.一個零件的形狀如圖

所示,按規定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角,工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖

所示,這個零件符合要求嗎?DABC4351312DABC圖

圖

在△BCD中，

所以△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.因此，這個零件符合要求.解：在△ABD中，

所以△ABD

是直角三角形，∠A是直角.DABC4351312圖

7.在尋找某墜毀飛機的過程中，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/時的速度離開港口O（如圖），沿北偏東40°的方向向目標A前進，同時，另一艘搜救艇也從港口O出發，以12海里/時的速度向著目標B出發，1.5小時后，他們同時分別到達目標A、B．此時，他們相距30海里，請問第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？解：根據題意得OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里)，∵OB2+OA2=182+242=900，AB2=302=900，∴OB2+OA2=AB2，∴∠AOB=90°.∵第一艘搜救艇沿北偏東40°的方向向目標A前進，∴∠BOD=50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50°．判斷a,b,c能否構成直角三角形，必須判斷兩較小邊的平方和是否等于最長邊的平方和.不能簡單地看某兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，否則容易作出誤判.勾股定理逆定理使用“誤區”勾股定理及其逆定理使用方法解題時，注意勾股定理及其逆定理運用的區別.勾股定理是在直角三角形中運用的，而勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是否是直角三角形的.知識要點

例1已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求