專題3運用化歸與轉化思想解題考向考向一特殊與一般的轉化【方法儲備】1.特殊與一般之間的轉化法是在解題的過程中將某些一般問題進行特殊化處理或是將某些特殊問題進行一般化處理的方法．常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．2.對于選擇題，當題設在普通條件下都成立時，用特殊值進行探求，可快捷地得到答案．3.對于填空題，當填空題的結論唯一或題設條件提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案．【典例精講】例1.(2023·福建省模擬)過拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上的定點M(m,0)(m>0)，作直線AB與拋物線相交于A,B(1)證明：A,B兩點的縱坐標之積為定值；(2)若點N是定直線l:x=?m上的任一點，設直線AN,MN,BN的斜率分別為k1,k解：證明：(1)設A(x1,因為直線AB與拋物線相交于A,B兩點，所以直線AB的斜率不為0.可設直線AB的方程為：x=ty+m．把AB的方程x=ty+m與y2=2px聯立得y2=2pxx=ty+m由韋達定理得y1?y探索：當直線AB⊥x軸時，則A(m,2pm),B(m,?2pm此時k1=2pm?nm+m=2pm?n2m猜想一般情況下，有k1設點N(?m,n)，則直線AN的斜率為k1=y1?n所以k=2p(y又因為直線MN的斜率為k2所以k1【變式訓練】練11(2023·江蘇省月考)若正整數數列{an}，{bn}滿足，對任意n≥2，n∈N?(1)已知{an}，{bn}的通項公式分別為an=2n?1(2)已知{an}，{bn}為“友好數列”，且解：(1)由于an=2n?1,bn=2n?1，

則設Sn=a1Sn=?1×20?2×21+22+···+2n?1+2n?1×2n

=2n?3×2n+3=an?1bn+1+3．

因此an,bn為友好數列

(2)已知an,bn為友好數列，即對任意n?2，n∈N?，都有

a1b1+a2b2+···+anbn=an?1bn+1+3，

a1b1+a2b2+···+anbn+an+1bn+1練12(2023·浙江省月考)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知過點M(0,?1)的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，試判斷以線段AB為直徑的圓是否恒過定點，并說明理由．解：(1)由題意ca=22，故a=2c，

又橢圓上動點P到一個焦點的距離的最小值為3(2?1)，

所以a?c=32?3，解得c=3，a=32，所以b2=a2?c2=9，

所以橢圓C的標準方程為x218+y29=1．

(2)當直線l的斜率為0時，令y=?1，則x=±4，此時以AB為直徑的圓的方程為設過點M(0,?1)的直線l的方程為y=kx?1，與橢圓C交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則y=kx?1,x2+2y2=18,,

整理得(1+2k2)x2考向考向二函數、方程、不等式之間的轉化【方法儲備】1．函數與方程、不等式聯系密切，解決方程、不等式的問題需要函數幫助．2．解決函數的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數與方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等式關系轉化為最值(值域)問題，將方程的求解問題轉化為函數的零點問題、兩個函數圖象的交點問題．【典例精講】例2.(2023·江蘇省聯考)設函數f(x)=ax2+ax?ln?(x+1)，若f(x0)<A.(ln36,ln22) 解：∵f(x)<0，即ax2+ax?ln?(x+1)?<0，整理得ln?(x+1)?>ax(x+1)．

又∵x+1>0，∴ln?(x+1)x+1?>ax，

令?(x)=ln(x+1)x+1，g(x)=ax(x?>?1)，

∴?'(x)=1?ln?(x+1)(x+1)2，令?'(x)=0得x=e?1，

∴當x∈(?1,e?1)時，?'(x)>0，函數?(x)單調遞增；當x∈(e?1,+∞)時，?'(x)<0，函數?(x)單調遞減，

且?(0)=0，且x→+∞時，?(x)→【變式訓練】練21(2023·河北省模擬)設函數f(x)=(x?1)(ex?e)，g(x)=ln?x?ax(a∈R).若對任意的正實數x1，x2，不等式f(A.0 B.1 C.1e D.解：函數f(x)=(x?1)(ex?e)，x>0，

則f'x=ex?e+x?1ex=xex?e，

令?x=xex?e,x>0，

則?'x=x+1ex>0，

所以?x在0,+∞上單調遞增，又?1=0，

所以當0<x<1時，?x<0,f'x<0，函數f(x)單調遞減，

當x>1時，?x>0,f'x>0，函數f(x)單調遞增，

所以fxmin=f1=0，

若對任意的正實數x1，x2，不等式f(練22(2023·安徽省模擬)已知函數f(1)討論函數fx(2)若fx有兩個極值點x1,x2解：(1)f令Δ=1+4(b+1)=4b+5．(i)若b≤?54，此時Δ≤0，

f′(x)≥0，所以f(x)在R上單調遞增．

(ii)若b>?54，此時Δ>0.由f′(x)=0得，x1當x>x1或x<x2時，當x2<x<x1時，綜上所述：當b≤?54時，函數f(x)在當b>?54時，函數f(x)在(?∞,?1?4b+5(2)由(1)知，x1+xf(x令x2?x1=t(t<0)，由x由f(x2)令g(t)=2?tt+2e因為g′(t)=?t2(t+2)2故不等式(※)的解集為{t?2<t≤?1由?(b+1)=x1x2=?t2即b的取值范圍為[?1,?1考向考向三正難則反的轉化之間的轉化【方法儲備】1.否定性命題，常要利用正反的相互轉化，先從正面求解，再取正面答案的補集即可.2.一般地，題目若出現多種成立的情形，則不成立的情形相對較少，從反面考慮較簡單.因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中.3.若問題直接求解困難時，可考慮運用反證法或補集法間接地解決問題．【典例精講】例3.(2023·廣東省月考)若“?x∈[4,6],x2?ax?1>0”為假命題，則實數a的取值范圍為

解：命題：“?x∈[4,6]，x2?ax?1>0”是假命題，

則：“?x∈[4,6]，x2?ax?1≤0”為真命題，

即不等式x2?ax?1≤0在4,6恒成立，可化為a≥x?1x在4,6恒成立，

所以a≥x?1xmax且x∈4,6，設f(x)=x?1x，x∈[4,6]，易得f(x)是區間[4,6]上的單調增函數，

所以f(x)的最大值為【變式訓練】練31(2023·江西省模擬)若三個關于x的方程x2?2ax?3+a2=0，x2?(a+2)x+解：設已知三個方程都有實根，此時a的取值范圍為集合D．

則△1=4a2?4(?3+a2)≥0△2=(a+2)練32(2023·北京市月考)函數f(x)=2x2?4x+1，g(x)=2x+a，若存在x1，x2∈12,1解：因為f(x)=2x2?4x+1，

所以當x1∈12,1時，fx1∈?1,?12，

因為g(x)=2x+a，

所以當x2∈12,1時，g(x2)∈[a+1,a+2]，

由題意可知?1,?12∩a+1,a+2≠?練33(2023·湖南省聯考)從A盒子中摸出一個黑球的概率是14，從B盒子摸出一個黑球的概率是13，從兩個盒子中各摸出一個球，則下列說法中錯誤的是(

)A.2個球都不是黑球的概率為12 B.2個球中恰有1個是黑球的概率為512

C.2個球中至少有1個黑球的概率為34 D.2個球中至多有解：設從A盒子摸出一個黑球“為事件A1”，從B盒中摸出一個黑球“為事件A2”，則P(A1)=14，P(A2)=13，且A1，A2相互獨立，

在A選項中2個都不是黑球，則P(A1A2)=P(A1)?P(A2)=(1?14)×(1?13)=12，A正確;

考向考向四數與形的轉化的轉化【方法儲備】大量數式問題潛在著圖形背景,借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法。有時畫一個圖形給問題的幾何直觀描述,從數式形的結合中易于找出問題的邏輯關系.【典例精講】例4.(2023·福建省模擬)已知橢圓C：x2a2+y2=1(a>0)的右頂點為點A，直線l交C于M，N(1)求C的方程；(2)若∠MAN=90°；是否存在直線l，使得A，M，O，N四點共圓？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．解：(1)因為四邊形AMON為菱形，所以MN垂直平分OA，

不妨設M為x軸上方的點，則點M的橫坐標為a2，

代入橢圓方程，得M的縱坐標為32，所以M(a2,32)，

菱形AMON的面積為12a×3=152，解得a=5，

則C的方程為x25+y2=1．

(2)設直線l:x=my+t，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯立方程x=my+tx2+5y2?5=0，得(m2+5)y2+2mty+t2?5=0，

Δ=4m2t2?4(m2+5)(t2?5)=4(5m2?5t2+25)=20(m2?t2+5)，

y1+y2=?2mt【變式訓練】練41(2023·福建省模擬)若實數a，b，c，d滿足(b?a2+lna)2解：實數a，b，c，d滿足(b?a2+lna)2+(c?d?2)2=0，

∴b=a2?lna，d=c?2，

令f(x)=x2?lnx，g(x)=x?2，

所以(a?c)

?2+(b?d)

?2的最小值就是曲線y=x2?lnx與直線y=x?2之間的最小距離的平方值，

設直線y=x+m與曲線f(x)=x2?lnx相切于點P(x0,y0)，

由f(x)=x2?lnx，得f'(x)=2x?1x，練42(2023·湖南省聯考)長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=2，M為側面CCA.223 B.233 C.解：取CD的中點O，以點O為坐標原點，

DA、DC、DD1的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，

設點M(0,y,z)，其中?1≤y≤1，0≤z≤1，則D(0,?1,0)、C(0,1,