專題27垂美四邊形一、填空題1．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點．若，則．二、解答題2．概念理解：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形（1）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，直接寫出AB2、CD2、AD2、BC2的數(shù)量關(guān)系：．（2）解決問題：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的長（可直接利用（1）中性質(zhì)）3．若一個四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為垂美四邊形．（1）概念理解：如圖1，在四邊形中，，，判斷四邊形是否為垂美四邊形，并說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖2，試在垂美四邊形中探究、、、之間的數(shù)量關(guān)系；（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE、CE交BG于點N，交AB于點M．若AB=3，AC=2，求線段GE的長．4．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB2，CD2與BC2，AD2之間的數(shù)量關(guān)系．（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長．5．若一個四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為垂美四邊形．（1）概念理解：如圖1，在四邊形ABCD中，，判斷四邊形ABCD是否為垂美四邊形，并說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖2，試在垂美四邊形ABCD中探究、、、之間的數(shù)量關(guān)系；（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFD和正方形ABGE，連接BD、CE、DE，CE分別交AB、BD于點M、N，若AB＝2，AC＝，求線段DE的長．6．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：在下列四邊形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四邊形．是垂美四邊形的是：（填寫序號）；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，試猜想：兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE長．7．（1）【知識感知】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______（只填序號）（2）【概念理解】如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（3）【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形ABCD的兩對角線交于點O，試探究AB，CD，BC，AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想__________________；（4）【性質(zhì)應用】如圖3，分別以的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE長．8．閱讀理解：如圖1，若一個四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，試在垂美四邊形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之間的關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE、BG、GE、CE交BG于點N，交AB于點M．已知AC＝，AB＝2，求GE的長．三、證明題9．如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）性質(zhì)探究：試探究垂美四邊形兩組對邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系，寫出證明過程（先畫出圖形）（3）問題解決：如圖，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，已知，，求的長．10．連接四邊形不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線，如圖1，四邊形ABCD中線段AC、線段BD就是四邊形ABCD的對角線.把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD的平方和與BC，AD的平方和之間的數(shù)量關(guān)系．猜想結(jié)論：（要求用文字語言敘述）寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）．（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長．11．小新學習了特殊的四邊形一平行四邊形后，對特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是______．(2)性質(zhì)探究：通過探究，直接寫出垂美四邊形的面積S與兩對角線，之間的數(shù)量關(guān)系：______．(3)問題解決：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接已知，．①求證：四邊形為垂美四邊形；②直接寫出四邊形的面積．12．問題情景：如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”，按照此定義，我們學過的平行四邊形中的菱形、正方形等都是“垂美四邊形”，“菱形”也是“垂美四邊形”．概念理解：（1）如圖2，已知等腰梯形是“垂美四邊形”，，，求的長．性質(zhì)探究：（2）如圖3，已知四邊形是“垂美四邊形”，試探究其兩組對邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．問題解決：（3）如圖4，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形與正方形，連接，，，與交于點，已知，，求的中線的長．13．如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（如圖1）（1）概念理解：在平行四邊形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四邊形的是；（2）性質(zhì)證明：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，直接寫出其兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系_________________________；（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．14．我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.(1)【概念理解】在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是.(2)【性質(zhì)探究】如圖2，試探索垂美四邊形ABCD的兩組對邊AB,CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出證明過程．(3)【問題解決】如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE,BG,GE,已知AC=,BC=1求GE的長.15．閱讀理解：如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．垂美四邊形有如下性質(zhì)：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對角線AC、BD相交于點E．求證：AD2+BC2=AB2+CD2證明：∵四邊形ABCD是垂美四邊形∴AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．拓展探究：（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）如圖3，在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；問題解決：如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE長．16．定義，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．概念理解：如圖②，在四邊形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．性質(zhì)探究：如圖①，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明．問題解決：如圖③，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，則①求證：△AGB≌△ACE；②GE=．17．我們定義：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于O．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)BE，CG，GE．①求證：四邊形BCGE是垂美四邊形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的長．18．我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．如圖1，四邊形中對角線于點．所以四邊形是垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形中，若，，試判斷四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質(zhì)探究：在圖1中，我們發(fā)現(xiàn)垂美四邊形的兩組對邊滿足：；請你證明這個結(jié)論．（3）性質(zhì)應用：如圖3，請你用“（2）性質(zhì)探究”中的結(jié)論解決下面問題：分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié)、、．若，，求的長．四、作圖題19．定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形為垂等四邊形．（1）寫出一個已學的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是．（2）如圖1，在3×3方格紙中，A，B，C在格點上，請畫出兩個符合條件的不全等的垂等四邊形，使AC，BD是對角線，點D在格點上．（3）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求證：四邊形DEFG是垂等四邊形．（4）如圖3，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，A