課后作業(十六)函數模型的應用說明：單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分，本試卷共65分一、單項選擇題1．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據，現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A．y＝2x－2 B．y＝12(x2C．y＝log2x D．y＝log2．(2024·湖南長沙三模)地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數值，里氏震級最早是由查爾斯·里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為M＝lgA－lgA0，其中M表示某地地震的里氏震級，A表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，A0表示這次地震中的標準地震振幅．假設在一次地震中，某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標準地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級約為()(參考數據：lg2≈0.3)A．6.3級 B．6.4級C．7.4級 D．7.6級3．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規定：100mL血液中酒精含量達到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時20%的速度減少，那他至少經過幾小時后才能駕駛汽車？(參考數據：lg2≈0.301)()A．5B．6C．7D．84．(2024·廣東茂名一模)Gompertz曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝預測，腫瘤生長預測，有限區域內生物種群數量預測，工業產品的市場預測等，其公式為：f(x)＝kab?x(其中k>0，b>0，a為參數)．某研究員打算利用該函數模型預測公司新產品未來的銷售量增長情況，發現a＝e.若x＝1表示該新產品今年的年銷售量，估計明年(xA．5?12 C．5－1 D．5＋15.“空氣質量指數(AQI)”是定量描述空氣質量狀況的無量綱指數．當AQI大于200時，表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動．某地某天0～24時的空氣質量指數y隨時間t變化的趨勢由函數y＝?10t+290，A．5小時 B．6小時C．7小時 D．8小時6．食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來了一定的危害．為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投入資金200萬元，搭建甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入資金40萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜．根據以往的種菜經驗，發現種西紅柿的年收入P(單位：萬元)、種黃瓜的年收入Q(單位：萬元)與各自的投入資金a1，a2(單位：萬元)滿足P＝80＋42a1，Q＝14a2＋120.設甲大棚的投入資金為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收入為f(x)(單位：萬元)，則總收入fA．282萬元 B．228萬元C．283萬元 D．229萬元二、多項選擇題7．預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn為預測期人口數，P0為初期人口數，k為預測期內人口年增長率，n為預測期間隔年數，則()A．當k∈(－1，0)，則這期間人口數呈下降趨勢B．當k∈(－1，0)，則這期間人口數呈擺動變化C．當k＝13，Pn≥2P0時，nD．當k＝－13，Pn≤12P0時，8．(2023·新高考Ⅰ卷)噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgpp0，其中常數p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2三、填空題9．為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民實行“階梯水價”，計費方法如表所示．每戶每月用水量水價不超過12m3的部分3元/m3超過12m3但不超過18m3的部分6元/m3超過18m3的部分9元/m3若某戶居民本月繳納的水費為54元，則此戶居民的用水量為________m3.10．當生物死亡后，其體內原有的碳14的含量大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．當死亡生物體內的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了．若某死亡生物體內的碳14用一般的放射性探測器探測不到，則它至少要經過________個“半衰期”．四、解答題11．某科研小組研制鈦合金產品時添加了一種新材料，該產品的性能指標值y是這種新材料的含量x(單位：克)的函數．研究過程中的部分數據如表所示．x02610…y－4881…已知當x≥7時，y＝13x?m，其中m為常數．當0≤x<7時，y和x的關系為以下三種函數模型中的一個：①y＝ax2＋bx＋c；②y＝k·ax(a>0且a≠1)；③y＝klogax(a>0且a≠1)，其中k，a，b，(1)選擇一個恰當的函數模型來描述x，y之間的關系，并求出其解析式；(2)求該新材料的含量x為多少克時，產品的性能達到最大．課后作業(十六)1．B[由題表可知函數單調遞增，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合．故選B.]2．B[由題意，某地地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標準地震振幅為0.002，可得M＝lg5000－lg0.002＝lg100002－lg21000＝4－lg2－(lg2－3)＝7－2lg2≈6.4.3．D[設該駕駛員x小時后100mL血液中酒精含量為ymg，則y＝100(1－20%)x＝100×0.8x，當y＝20時，100×0.8x＝20，即0.8x＝0.2，∴x＝log0.80.2＝lg0.2lg0.8＝lg2?1lg故選D.]4．A[由a＝e，得到f(x)＝ke∴當x＝1時，f(1)＝ke當x＝2時，f(2)＝ke依題意，明年(x＝2)的銷售量將是今年的e倍，得：keb?2ke∴1b2?1b＝1，即b2＋b－1＝0∵b>0，∴b＝5?12.5.C[由題知，當AQI大于200時，表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動，即當AQI小于等于200時，適宜開展戶外活動，即y≤200，因為y＝?10t+290，0≤t≤12，只需－10t＋290≤200，解得9≤t≤12；當12＜t≤24時，只需56t－24≤200，解得12<t≤16，綜上：適宜開展戶外活動的時間段為9≤t≤16，共計7個小時．故選C.]6．A[由題意可知甲大棚的投入資金為x(單位：萬元)，乙大棚的投入資金為200－x(單位：萬元)，所以f(x)＝80＋42x+14(200－x)＋120＝－14x＋4由x≥40，200?x≥40，令t＝x，則t∈[210，410]，g(t)＝－14t2＋42t＋250＝－14(t－82)2＋所以當t＝82，即x＝128時總收入最大，最大收入為282萬元．故選A.]7．AC[當k∈(－1，0)時，P0>0，0<1＋k<1，由指數函數的性質可知，Pn＝P0(1＋k)n(－1＜k＜0)是關于n的減函數，即人口數呈下降趨勢，故A正確，B不正確；當k＝13時，Pn＝P043n≥2P0，所以43log432∈(2，3)，所以n的最小值為3當k＝－13時，Pn＝P023n≤12Plog2312＝log322∈(1，2)，所以8．ACD[因為Lp＝20×lgpp0隨著p的增大而增大，且Lp1∈60，90，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正確；由Lp＝20×lgpp0，得p＝p010Lp20，因為Lp3＝40，所以p3＝p0104020＝100p0，故C正確；假設p2＞10p3，則p0109．15[設此戶居民本月用水量為xm3，繳納的水費為y元，則當x∈[0，12]時，y＝3x≤36元，不符合題意；當x∈(12，18]時，y＝12×3＋(x－12)×6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合題意；當x∈(18，＋∞)時，y＝12×3＋6×6＋(x－18)×9＝9x－90>72，不符合題意．綜上所述，此戶居民本月用水量為15m3.]10．10[設該死亡生物體內原有的碳14的含量為1，則經過n個“半衰期”后的含量為12由12n＜11000，得所以若某死亡生物體內的碳14用一般的放射性探測器探測不到，則它至少需要經過10個“半衰期”．]11．[解](1)由表格知當x＝0時，y＝－4，若選①y＝ax2＋bx＋c，則c＝－4；若選②y＝k·ax(a>0且a≠1)，則k＝－4，此時y＝－4ax(a>0且a≠1)不滿足x＝2時，y＝8，故不選；若選③y＝klogax(a>0且a≠1)，x＝0時無意義，故不選．所以選①的函數模型來描述x，y之間的關系，由題意有當0≤x<7時，由y＝ax2＋bx＋c，且x＝0，y＝－4時，得c＝－4；當x＝2，y＝8時，得4a＋2b＝12；當x＝6，y＝8時，得36a＋6b＝12；聯立4a+2b=12，36a+6b=12，解得a＝－1，b所以當0≤x<7時