PAGEPAGE8課下實力提升(十二)[學業水平達標練]題組1直線與平面垂直的定義及判定定理1．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC2．一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不確定3．(2024·大連高一檢測)直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不行能()A．平行B．相交C．異面D．垂直4．若兩直線l1與l2異面，則過l1且與l2垂直的平面()A．有且只有一個B．可能存在，也可能不存在C．有多數多個D．肯定不存在5．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形是菱形嗎？6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F分別是AD，PC的中點．證明：PC⊥平面BEF.題組2直線與平面所成的角7．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°8．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，則PD與平面ABCD所成的角為圖中的()A．∠PADB．∠PDAC．∠PDBD．∠PDC9．直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角等于()A．20°B．70°C．90°D．110°10．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AA1，A1D1的中點，求：(1)D1B與平面ABCD所成角的余弦值；(2)EF與平面A1B1C1D1所成的角．[實力提升綜合練]1．(2024·濟南高一檢測)直線l與平面α內的多數條直線垂直，則直線l與平面α的關系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α內D．不能確定2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，并且總保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是()A．線段B1CB．線段BC1C．BB1中點與CC1中點連成的線段D．BC中點與B1C1中點連成的線段3．(2024·滁州高一評估檢測)已知兩條直線m、n，兩個平面α、β，給出下列四個命題：①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③m∥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.其中正確命題的序號是()A．①③B．②④C．①④D．②③4．設l，m，n為三條不同的直線，α為一個平面，給出下列命題：①若l⊥α，則l與α相交；②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n.其中正確命題的序號為________．5．長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝eq\r(2)，BC＝AA1＝1，則BD1與平面A1B1C1D1所成的角的大小為________．6．(2024·臨沂高一檢測)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝eq\r(2).(1)求證：PA⊥平面ABCD；(2)求四棱錐P-ABCD的體積．7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M為PD的中點．(1)證明：PB∥平面ACM；(2)證明：AD⊥平面PAC；(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．答案[學業水平達標練]題組1直線與平面垂直的定義及判定定理1．解析：選C由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.2．解析：選B一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則其垂直于三角形所在平面，從而垂直第三邊．3．解析：選A∵直線l⊥平面α，∴l與α相交，又∵m?α，∴l與m相交或異面，由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l與m不行能平行．4．解析：選B當l1⊥l2時，過l1且與l2垂直的平面有一個，當l1與l2不垂直時，過l1且與l2垂直的平面不存在．5．解：連接AC、BD，設AC與BD交于點O.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又∵PC⊥BD，PA∩PC＝P，PA?平面PAC，PC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴BD⊥AC，又ABCD為平行四邊形，∴ABCD為菱形．6．證明：如圖，連接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD,AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中點，∴EF⊥PC.又BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝2eq\r(2)＝BC，F是PC的中點，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.題組2直線與平面所成的角7．解析：選A∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°.8．解析：選B∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影，故∠PDA是PD與平面ABCD所成的角．9．解析：選B∵l∥m，∴直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角，又直線l與平面α所成的角為70°，∴m與α所成的角為70°.10．解：(1)如圖所示，連接DB，∵D1D⊥平面ABCD，∴DB是D1B在平面ABCD內的射影．則∠D1BD即為D1B與平面ABCD所成的角．∵DB＝eq\r(2)AB，D1B＝eq\r(3)AB，∴cos∠D1BD＝eq\f(DB,D1B)＝eq\f(\r(6),3)，即D1B與平面ABCD所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3).(2)∵E是A1A的中點，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴∠EFA1是EF與平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△EA1F中，∵F是A1D1的中點，∴∠EFA1為45°.[實力提升綜合練]1．解析：選D如圖所示，直線l和平面α相互平行，或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內都有可能．2．解析：選A如圖，由于BD1⊥平面AB1C，故點P肯定位于B1C上．3．解析：選C①正確；對于②，分別位于兩個平行平面內的兩條直線必沒有公共點，但它們不肯定平行，因此②是錯誤的；對于③，直線n也可能位于平面α內，因此③是錯誤的；對于④，由m⊥α且α∥β，得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正確的．4．解析：①明顯正確；對②，只有當m，n相交時，才有l⊥α，故②錯誤；對③，由l∥m，m∥n?l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正確；對④，由l∥m，m⊥α?l⊥α，再由n⊥α?l∥n，故④正確．答案：①③④5．解析：如圖所示，連接B1D1.則B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，則∠BD1B1是BD1與平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝eq\f(BB1,B1D1)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，則∠BD1B1＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)6．解：(1)證明：因為四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA＝1，PD＝eq\r(2)，所以PD2＝PA2＋AD2，所以PA⊥AD，又PA⊥CD，AD∩CD＝D，所以PA⊥平面ABCD.(2)四棱錐P-ABCD的底面積為1，因為PA⊥平面ABCD，所以四棱錐P-ABCD的高為PA＝1，所以四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(1,3).7．解：(1)證明：如圖，連接BD，MO.在平行四邊形ABCD中，∵O為AC的中點，∴O為BD的中點，又M為PD的中點，∴PB∥MO.∵PB?平面ACM，MO?平面ACM，∴PB∥平面ACM.(2)證明：∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O，∴AD⊥平面PAC.(3)取DO的中點N，連接MN，AN.∵M為PD的中點，∴MN∥PO，且MN＝eq\f(1,2)PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．在