§1-2二維傅里葉變換2-DFourierTransform傅里葉變換和傅里葉逆變換

{g(x-a,y-b)}=

G(fx,fy)exp[-j2p(fxa+fyb)]

設g(x,y)G(fx,fy),F.T.重要性質：{g(x,y)exp[j2p(fax+fby)]}=G(fx-

fa,fy-fb){exp[j2p(fax+fby)]}=d(fx-

fa,fy-fb)§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理4.帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓,則∫|g(x)|2dx

代表信號的總能量(或總功率)

|G(f)|2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率)

設g(x,y)G(fx,fy),F.T.Parseval定理說明,信號的能量由|G(f)|2曲線下面積給出.或者說等于各頻率分量的能量之和—能量守恒§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理--Parseval定理的證明交換積分順序,先對x求積分:利用復指函數的F.T.利用d函數的篩選性質思考題:§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理5.卷積定理空域中兩個函數的卷積,其F.T.是各自F.T.的乘積.{g(x,y)*

h(x,y)}=

G(fx,fy).

H(fx,fy)

設g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.{g(x,y).

h(x,y)}=

G(fx,fy)*

H(fx,fy)空域中兩個函數的乘積,其F.T.是各自F.T.的卷積.將時、空域的卷積運算，化為頻域的乘積運算，特別有用.亦可用于求復雜函數的F.T.和復雜函數的卷積§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

卷積定理的證明交換積分順序:應用位移定理應用F.T.定義§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

利用卷積定理的例子2.{tri(x)}={rect(x)*rect(x)}={rect(x)}?{rect(x)}=sinc(f)?sinc(f)=sinc2(f)rect(x)x01/2-1/21rect(x)x01/2-1/21*tri(x)x01-11fsinc(f)01-11fsinc(f)01-11

xsinc2(x)01-11F.T.F.T.F.T.{tri(x)}=sinc2(f)§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理6.相關定理自相關與功率譜的關系:作為練習自己證明。提示:利用卷積定理、相關定義和共軛函數的F.T.

設g(x,y)G(fx,fy),F.T.反過來有:{g(x,y)☆

g(x,y)}=|G(fx,fy)|2{|g(x,y)|2}=

G(fx,fy)☆G(fx,fy)§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理7.F.T.積分定理在函數g的各連續點上,留作習題自證.-1{g(x,y)}=-1

{g(x,y)}=g(x,y){g(x,y)}=-1

-1{g(x,y)}=g(-x,-y)§1-2二維傅里葉變換

FourierTransform

五、可分離變量函數的變換通常g(x,y)是可分離變量的函數,即兩個獨立一元函數的乘積:g(x,y)=g1(x)g2(y)=G1(fx)

G2(fy)

按二維F.T.的定義:其傅里葉變換也是可分離變量的函數

將二維函數的F.T.化為二個獨立坐標上的一維函數的F.T.的乘積。物理上的大多數函數可以這樣處理。注意:不可與兩個函數乘積的F.T.相混淆!§1-2傅里葉變換2-DFourierTransform

傅里葉變換的計算方法1.用定義直接計算:rect(x),circ(r),...2.用廣義傅里葉變換的定義計算并求極限:1...3.用傅里葉變換的性質間接導出:F.T.的積分定理

F.T.的卷積定理§1-2傅里葉變換FourierTransform

常用傅里葉變換對1.{1}=d(fx,fy); {d(fx,fy)}=1 1與d函數互為F.T.4.{Gaus(x)}=Gaus(f)高斯函數的F.T.仍為高斯函數3.{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}=rect(f) rect與sinc

函數互為F.T.2.梳狀函數的F.T.仍為梳狀函數(閱讀P9–10)2§1-2傅里葉變換FourierTransform

常用傅里葉變換對5.{d(x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}=d(fx-fa)7.{tri(x)}=sinc2(f)6.利用歐拉公式和5的結果8.作業

0-16:已知復函數g(x,y)的傅里葉變換式為G(fx,fy),證明：0-17:若F{g(x,y)}=G(fx,fy)，F{h(x,y)}=H(fx,fy),求證

(1)

F{g*(x,y)h(x,y)}=

G(fx,fy)★H(fx,fy)

（2）F{g(x,y)★h(x,y)}=

G*(fx,fy)

H(fx,fy)0-18：求下列函數的傅里葉變換(1)F

-1F

{g(x,y)}=g(x,y)(2)F

F

{g(x,y)}=g(-x,-y)(3)F{g*(x,y)}=

G*(-fx,-fy)

第一章二維線性系統分析

Analysisof2-DimensionalLinearSystems

§1-1線性系統1、線性系統的定義用算符表示系統定義:g(x,y)={f(x,y)}{

}輸入f(x,y)輸出g(x,y){a1f1

(x,y)+a2f2

(x,y)}={a1f1

(x,y)}+{a2f2

(x,y)}=a1

{f1

(x,y)}+a2{f2

(x,y)}=a1

g1

(x,y)+a2g2

(x,y)如果g1(x,y)={f1(x,y)}，g2(x,y)={f2(x,y)}若對任意復常數a1，a2有：則稱該系統為線性系統。§1-1線性系統

線性系統具有疊加性質

線性系統對幾個激勵的線性組合的整體響應等于單個激勵所產生的響應的線性組合。{}

輸入f1(x,y)輸出g1(x,y){}

輸入f2(x,y)輸出g2(x,y){}

輸入輸出§1-1線性系統

線性系統具有疊加性質

利用線性系統的疊加性質，可以把復雜的輸入函數分解為簡單的“基元”函數的線性組合，則輸出就是這些“基元”函數響應的線性組合。光學系統可看成二維線性系統常用“基元”函數有d函數、復指數函數等等。系統對某個輸入的響應不會因為其它輸入的存在而改變系統的響應性質不會因為輸入幅度的增大而改變線性系統對各個輸入的響應是互相獨立的?！?-1線性系統

2、脈沖響應和疊加積分系統對處于原點的脈沖函數的響應：h(x,y)={d(x,y)}系統對輸入平面上坐標為(x,h)處的脈沖函數的響應：h(x,y;

x,h)={d(x-x,y-h)}在線性系統中引入脈沖響應的意義:1.任意復雜的輸入函數可以分解為脈沖函數的線性組合2.若已知線性系統的脈沖響應函數,則系統的輸出為脈沖響應函數的線性組合§1-1線性系統

任意復雜的輸入函數可以分解為脈沖函數的線性組合根據d函數的卷積性質或d函數的篩選性質:此式的物理意義:脈沖分解函數f(x,y)可以看成輸入(x,y)平面上不同位置處的許多d函數的線性組合.每個位于(x,h)的d函數的權重因子是f(x,h).§1-1線性系統

線性系統的輸出為脈沖響應函數的線性組合對于線性系統:g(x,y)={f(x,y)}疊加積分只要知道各個脈沖響應函數,系統的輸出即為脈沖響應函數的線性組合.問題是如何求對任意點的脈沖d(x-x,y-h)的響應h(x,y;

x,h)對一般系統而言,脈沖響應函數的形式可能是點點不同的只有對一類特殊的系統—線性不變系統,

h(x,y;

x,h)=h(x-x,y-h)

成立,分析可以得到簡化.則h(x;1)

h(x-1)=1例如,設

{d(x)}=h(x)=1而{d(x-1)}=h(x;1)=exp(-j2px)§1-1線性系統

脈沖響應函數h(x,y;

x,h)的求法:§1-3二維線性不變系統

2-DLinearShift-InvariantSystem

一、定義設系統在t=0時刻對脈沖的響應為h(t),即:{d(t)}=h(t)若輸入脈沖延遲時間t,其響應只有相應的時間延遲t,而函數形式不變,即{d(t-t

)}=h(t-t

)則此線性系統稱為時不變系統.系統的性質不隨所考察的時間而變,