第七章粘性流體動力學

7-1油在水平圓管內做定常層流運動，已知d=75(mm),Q=7(litres/s),p=800

(kg/m3),壁面上/)=48(N/m2),求油的粘性系數i，。

答：根據圓管內定常層流流動的速度分布可得出卬二,2人“：：

8

其中：4是阻力系數，并且九二6里4:

Re

7x10"

%是平均速度，品=1.585(m/s)o

0.25x3.14x0.0752

—7td

4

由于阻力系數之二色因此Re=W=生空1_=空么；

叫九8。%

即：-8%、

vro

48

所以油的粘性系數為》=區-='"您=3.55X10一4(m2/s)。

3pi%8x800x1.585

7-2Prandtl混合長度理論的基本思路是什么？

答：把湍流中流體微閉的脈動與氣體分了?的運動相比擬。

7?3無限大傾斜平板上有厚度為h的一層粘性流體，在重力g的作用下做定常層流運動，自

由液面上的壓力為大氣壓Pa,且剪切應力為0,流體密度為夕，運動粘性系數為平板

傾斜角為6。試求垂直于x軸的截面上的速度分布和壓力分布。

答：首先建立如圖所示坐標系。

二維定常N-S方程為：

22y

dudur1dp(dudu

dxdypdxdy2

2

dvcvr1dp(dv鏘］

u—+v—=f---------+v—r+--

dxdyvpdy(*/J

對于如圖所示的流動，易知〃=〃()，)，〃=〃(y),v=(),fx=gsinO,4,二一geos。；

即X方向速度U和壓力〃僅是y的函數，y方向速度分量v=0o

因此上式可改寫為:

duq

02+然,

Idp

由不可壓縮流體的連續方程”十合dv啜=0：

=0可知，由于y=0,—=0,

dxdy

則上式可進一步簡化為:

￡+佇=。

(1)

rdy2

/一?

(2)

Poy

對于(1)式，將＜=gsin。代入，則有:

於41.q

=一一gsinO

dy~v

兩端同時積分，得到:

Wdus1w.△c廠

由于當y時，r=/7—=0,即'■=(),代入上式有:

dydy

G=—^sinOh

v

因此：

—=—gsin%一與sinOy

dyvv

兩端再次同時積分，得到：

〃(),)=-gsinOiiy----gsin劣/+G

”v2v

由于y=0時，“(0)=0,代入上式，知。2=。；則有:

二:gsin彳/少一3/

若將u=K代入，則上式成為：

P

該式即為流動的速度分布。

對于(2)式，將｛=-gcos。代入，有：

dpQ

-=-pgcosO

oy

兩端同時積分得到：

p(y)=-/?gcos4，+C

由于當y=/z時，〃(")二〃“，代入上式有：

C=pa+pgcosOh

因此：

〃()')=Pa+P8cosOh—pgcosOy=pa+pgcos0\h-y)

該式即為流動的壓力分布。

7-4兩塊無限長二維平行平板如圖所示，其間充滿兩種粘性系數分別為從和〃2,密度分別

為8和0的液體，厚度分別為九和生。已知上板以等速％相對于下板向右作平行運動，

整個流場應力相同(不計重力)，流動是層流，求流場中速度和切應力的分布。

答：首先建立如圖所示的坐標系。

當不計及質量力時,平面定常層流流動的N-S方程為:

dudu1加++

u—+v—=-----辦)

dxdypdx2

dvdv1(如+/會+駕！

u----1-v—=------

dxdyp力dy)

du1dp「

—=--------y+C.0<y<h](3)

dydx'

也=_L型尹叢儲

-h2<y<0(4)

dy〃2dx42

分別對（3）和（4）兩式兩端同時積分得到:

1dp

+C1y+G0<y<//,

24dx

生2

y+—C)y+C4-/t,<y<0

2例8〃2

由于當y=0時，兩種流體界面上的速度相同，得G=g，則:

〃=49，+Gy+G0<y<h(5)

24ex]

一和+KG+Gy<0(6)

2〃2OX〃2

當y=%時，u=v0,帶入到（5）式；當），=一4時，u=0，帶入到（6）式；得至I」：

*H3f

(7)

京肺-%gG=。(8)

（7）（8）兩式相減，經整理后得到:

4后一任凡前

G=%11

出"+從外024癡［十〃也）OX

將G代入（8）式，經整理后得到:

〃22〃20X

?14/一〃2〃；吻]1即:

耳〃2v后

〃2°2必(〃2%+〃也)dx)2JU2dx~

=〃也%1h他小】十月）前

也°2（〃24+〃也）小

將G和03代回到（5）（6）兩式，則可得到兩種流體中的速度分布；將（3）和（4），’兩

式兩端分別乘以必和并將G代入，可得到應力分布分別為：

du

4=從丁

ay

du

G二〃2不。

7-5直徑為15mm的光滑圓管，流體以速度14m/s在管中流動，是確定流體的狀態。又若

要保持為層流，最大允許速度是多少？這些流體分別為(1)潤滑油；(2)汽油；(3)水;

(4)空氣。已知匕同海由=10x104m2/s>u汽油=0.884:<IO-6m2/s<>

答：對于圓管內的流動，臨界雷諾數為Rec=2300。

當流速U=14(m/s)時，各種流體的流動狀態如二：

(1)潤滑油：

1405

Re=—=X°1=210,Re<Rec=23(X),為層流流動。

vlOxK)-4

(2)汽油：

Re=—=14x0015=2.376xl05,Rc>Rec=23(X),為湍流流動。

v0.884xIO-6

(3)水：

取水的粘性系數卜=1.139x10-6(m2/s)o

Re=—=14x0,015=1.844xl0\Re>Rec=2300,為湍流流動。

v1.139xl(r6

(4)空氣：

取空氣的粘性系數為=1.455x10-5(m2/s)o

14x0015

Re=^==1.443xl0\Re>Rec=2300,為湍流流動。

v1.455x105

若保持流動為層流狀態，則要求Rc<Rec=2300,各種流體的臨界速度分別為：

—<Rec=2300

v

(1)潤滑油：

U=2300X—=2300x—~——=153.3(m/s)：

d0.015

(2)汽油:

2V”小0.884x10-八/,、

Ur7=23A0A0x—=2300x----------=0.136(m/s)；

d0.015

(3)水：

1139x10

U=2300x-=2300x=0.175(m/s)；

d0.015

(4)空氣：

./i455xIO-5

U=2300x—=2300x—^------=2.231(m/s)。

d0.015

2

7.6粘性系數〃=39.49xl(N(m2/s),/=7252N/nT的油流過直徑為2.45cm的光滑圓管;

平均流速為0.3m/s。試計算30m長管子上的壓力降，并計算管內距管壁0.6cm處的流速。

答：雷諾數：Re=4良，其中：

v

平均流速:?,?=0.3(m/s)；

流體密度：p=—=----=739.2(kg/m5)；

g9.81

〃3Q49xIf)-3

運動粘性系數：v=^-=-........=5.342x10-5(m2/s)o

p739.2

因此雷諾數為:

nud0.3x0.0254、右八曰口大

Re=^m^=---------7-=142.6,流動狀態是層流;

v5.342x105

則阻力系數為：

.6464_._.

%=——=-----=0.449；

Re142.6

壓力降為：

AD=Z---pul=0.449x30x1x739.2x0.32=17640.4(N/m2)；

d20.02542

最大流速：

"max=2%=0.6(m/s)；

圓管內沿徑向的速度分布為:

W=WmaxJ/

上式中：?=25.4/2=12.7(mm),則在〃=12.7—6=6.7(mm)處，流動速度為:

r6.7

〃二〃max=0.6x1-=0.433(m/s)o

叫U2力

7-730：C的水流過直徑為d=7.62cm的光滑圓管，每分鐘流量為0.3400?,求在915m長度

上的壓力降，管壁上的剪應力0及粘性底層的厚度。當水溫下降到5,C時，情況又如何?

答：(1)當水溫為30'C時，取水的粘性系數為v=0.8009x10石(m2/s)；

平均流速為:

Q0.34/60ics/

-----=-------------------7=1.243(m/s)；

出20.25x3.14x0.()7622

4

雷諾數為:

ud_1.243x0.0762

Re=m=1.183x10、流動為湍流流動;

v0.8009x10-6

查莫迪圖譜，得到阻力系數為:

2=0.017；

則壓力降為:

Ap=2--i^=0.017x-^-xlxl.0xl03xl.2432=157698(N/m2)

d2m0.07622

=1.58(Pa)；

管壁上的剪切應力:

r^-A^r^-xO.Onxl.Oxltfxl^S2=3.283(N/m2)；

°88

=后=怖患=0.0573,并且浮=5,得到粘性底層厚度為:

又由于《

5v5x0.8009x1()6

=0.069(mm)。

0.0573

(2)當水溫下降為5'C時，取水的粘性系數為^=1.517x10*(m2/s)；

平均流速為:

3T50.3