第1講和差倍中的隱藏條件三年級寒假第1講和差倍中的隱藏條件三年級寒假知識點知識點和差倍中的隱藏條件（三下）1.尋找不變量是找“隱藏”的和差倍關系的一個重要手段．

不變量主要有兩種情形：“和不變”與“差不變”．

給來給去和不變，同增同減差不變．2.當題目中沒有不變的“和”或“差”時，分析倍數所對應的和或差非常重要．常用的方法是畫增減圖．知識精講知識精講

之前我們已經學過了基礎的和差倍問題，而很多時候，無法一眼看出問題中的數量關系，這時候就需要把”隱藏“的和差倍關系找出來，其中尋找不變量就是一個重要的手段．練一練練一練1.小山羊把10捆草分給大山羊，不變量：________；2.兩根木頭，每次鋸掉的部分一樣長，不變量：________；3.小糊涂和大糊涂去炒股，最后都賺了250元，不變量：________；4.兒子和爸爸比年齡，無論過了幾年，不變量：________．練習畫圖練習畫圖1.阿呆比阿瓜多10塊糖，阿呆又買了4塊糖，阿瓜吃了2塊，誰的糖多？多多少塊？2.阿瓜給阿呆2塊糖后阿呆和阿瓜的糖一樣多，之前誰的糖多？多多少塊？課堂例題課堂例題尋找不變量1、卡莉婭和萱萱玩游戲，每玩一局，輸的就要給贏的1枚棋子．一開始卡莉婭有18枚棋子，萱萱則有22枚．玩了若干局之后，卡莉婭反而比萱萱多了10枚棋子．請問：此時卡莉婭有_________枚棋子．A．20B．25C．15D．30【答案】

B

【解析】

方法一：開始時卡莉婭和萱萱一共有枚棋子．在玩游戲的過程中，由于兩人的棋子總數是不變的，因此兩人的棋子之和始終是40枚．玩了若干局后，卡莉婭比萱萱多10枚棋子，即兩人的棋子數之差是10枚．根據“”，可得卡莉婭有枚棋子．方法二：注意到卡莉婭贏的一局和輸的一局是可以抵消的．卡莉婭每贏一局就多1枚棋子，同時萱萱就少1枚棋子．一開始卡莉婭比萱萱少4枚棋子，則卡莉婭贏2局后，棋子數就與萱萱一樣多了．再贏5局后，卡莉婭就多5枚棋子，而萱萱少5枚棋子，此時卡莉婭比萱萱多10枚棋子．因此卡莉婭比萱萱多贏了局，最后卡莉婭就有枚棋子．2、小高家有兩根繩子，長的有163米，短的有97米，他把兩根繩子剪去同樣長的一段，結果長繩所剩長度比短繩所剩長度的7倍還多6米．那么兩根繩子都剪去了多少米？【答案】

87米【解析】

設剪后短繩所剩長度為“1”份，則長繩所剩長度為“7”份加6米．兩根繩子的長度差是米．長繩長繩6米短繩“1”相差的長度“7”剪去的部分97米163米從線段圖可看出，把兩根繩子剪去同樣多的長度，則兩根繩子都要縮短，但是它們的長度之差是不變的．由于剪短后，長繩是短繩長度的7倍還多6米，于是兩繩的長度差66米比短繩的6倍還多6米，因此短繩的長度是米．短繩原來的長度是97米，兩繩都被剪去同樣的長度，所以兩繩都被剪去米3、阿呆和阿瓜一共130元錢．每包瓜子5元錢，阿呆買了兩包瓜子兩人分著吃，吃完后阿瓜把自己的錢兩人平分，這時阿呆的錢是阿瓜的5倍．那么后來阿呆有多少元錢？【答案】

100【解析】

開始兩人共有130元，買包子花了元，所以后來兩人共剩下元．而阿呆的錢是阿瓜的5倍，根據和倍問題，阿瓜有元，阿呆有元．4、阿呆和阿瓜一共有130元錢．每包瓜子5元錢，阿呆買了6包瓜子兩人分著吃，吃完后阿瓜把自己的錢兩人平分，這時阿呆的錢比阿瓜多60元．那么后來阿呆有多少錢？【答案】

80【解析】

阿呆和阿瓜原來一共有130元錢，所以買完瓜子還剩元．阿瓜分完后阿呆的錢比阿瓜多60元，則根據和差問題可知，這時阿呆有元．畫增減圖找"差倍“5、有兩根蠟燭，粗蠟燭比細蠟燭長15厘米．把它們同時點燃，1小時后細蠟燭縮短了20厘米，而粗蠟燭只縮短了15厘米．此時粗蠟燭長度正好是細蠟燭的3倍．請問：粗蠟燭還剩多長？【答案】

30【解析】

開始粗蠟燭比細蠟燭長15厘米，后來細蠟燭縮短了20厘米，而粗蠟燭只縮短了15厘米，差距增大厘米，所以后來兩根蠟燭相差厘米．此時粗蠟燭長度正好是細蠟燭的3倍，根據差倍問題，細蠟燭長厘米，粗蠟燭厘米．6、有兩根蠟燭，粗蠟燭和細蠟燭一樣長．把它們同時點燃．1小時后粗蠟燭縮短了10厘米，而細蠟燭縮短了30厘米．此時粗蠟燭的長度是細蠟燭的2倍．請問：粗蠟燭還能燃燒多長時間？【答案】

4【解析】

原來粗蠟燭和細蠟燭一樣長，后來粗蠟燭縮短了10厘米，而細蠟燭縮短了30厘米，則粗蠟燭比細蠟燭長厘米．而粗蠟燭的長度是細蠟燭的2倍，根據差倍問題，細蠟燭長厘米，粗蠟燭長厘米，所以粗蠟燭還能燃燒小時．7、紅、藍兩個盒子中各有一些球，紅盒中的球比藍盒多5個．如果從紅盒中取出12個球，然后向藍盒中放入19個球，那么藍盒中的球就是紅盒的3倍．求最后紅盒和藍盒中各有多少個球？【答案】

13，39【解析】

原來紅盒中的球比藍盒多5個，后來從紅盒中取出12個球，然后向藍盒中放入19個球，那么紅盒比藍盒少個．而藍盒中的球就是紅盒的3倍，根據差倍問題，這時紅盒有個，藍盒有個球．8、有甲、乙兩堆卡片，如果從甲堆中拿出16張放到乙堆中，則兩堆卡片的張數相等；如果從乙堆卡片中拿出11張放入甲堆中，則甲堆的張數比乙堆的3倍多10張．求原來甲、乙兩堆卡片各有多少張？【答案】

65，33【解析】

從甲堆中拿出16張放到乙堆中，則兩堆卡片的張數相等，說明甲堆比乙堆多張．如果從乙堆卡片中拿出11張放入甲堆中，則此時甲堆比乙堆多張．而甲堆的張數比乙堆的3倍多10張，根據差倍問題，乙堆現在有張，原來有張，甲堆原來有張．9、大胖和尚和小瘦和尚原來的饅頭數量一樣多，小瘦和尚怕大胖和尚不夠吃，于是給大胖和尚10個饅頭，結果大胖和尚的饅頭比小瘦和尚的4倍少1個．兩個和尚原來各有多少個饅頭？【答案】

17【解析】

大胖和尚和小瘦和尚原來的饅頭數量一樣多，而小瘦和尚給了大胖和尚10個，則大胖和尚比小瘦和尚多個，而大胖和尚的饅頭比小瘦和尚的4倍少1個，根據差倍問題，小瘦和尚現在有個，原來兩人各有個．

隨堂練習隨堂練習1、有大小兩個水瓶，分別裝有690毫升和210毫升水．現在從大瓶中倒了一些水到小瓶后（水沒有溢出），大瓶里的水量變成了小瓶的2倍．請問：從大瓶倒了多少毫升到小瓶？【答案】

90【解析】

給來給去差不變，開始兩瓶水共毫升，大瓶倒入小瓶后，兩瓶還是一共900毫升．大瓶里的水量變成了小瓶的2倍，所以根據和倍問題，小瓶水為毫升，所以從大瓶倒了毫升到小瓶．2、有兩根長度不同的面條，長面條有50厘米，短面條有30厘米．米老鼠吃掉了同樣多的長面條和短面條后，結果長面條所剩的長度是短面條的3倍，那么短面條被米老鼠吃掉了__________厘米．【答案】

20【解析】

同增同減差不變，開始兩根面條差厘米，后來還差20厘米，而這時長面條所剩長度是短面條的3倍，所以短面條剩下厘米，被米老鼠吃了厘米．3、阿呆和阿瓜共有100元．阿呆花了10元買零食，阿瓜花了40元買玩具，這時阿呆的錢是阿瓜的4倍，那么后來阿呆有多少元錢？【答案】

40【解析】

開始阿呆和阿瓜共有100元，阿呆花了10元，阿瓜花了40元，所以兩人共剩下元．這時阿呆的錢是阿瓜的4倍，根據和差問題，阿瓜有元，阿呆有元．4、卡莉婭和萱萱都在織圍巾，現在兩人已經織好的圍巾長度相同，但萱萱織得比較快．在接下來的兩個月里，萱萱可以織120厘米，而卡莉婭只能織45厘米，因此兩個月后，萱萱圍巾的長度將會是卡莉婭的2倍．那么現在卡莉婭的圍巾有多長？【答案】

75【解析】

開始兩人已經織好的圍巾長度相同，后來萱萱可以織120厘米，而卡莉婭只能織45厘米，所以兩人相差厘米，萱萱圍巾的長度將會是卡莉婭的2倍，根據差倍問題，卡莉婭圍巾后來長厘米．課后作業課后作業1、有大小兩個水瓶，分別裝有430毫升和250毫升水．現在從大瓶中倒了一些水到小瓶后（水沒有溢出），大瓶里的水量和小瓶一樣多．則從大瓶中倒了_________毫升水到小瓶．【答案】

90【解析】

原來兩瓶水差毫升，后來大瓶里的水量和小瓶一樣多，根據給1差2，大瓶中倒了毫升水到小瓶．2、小高的積分比墨莫多30分．老師給他們每人發了100分后，小高的積分比墨莫的2倍少90分．那么墨莫后來有__________分．【答案】

120【解析】

原來小高的積分比墨莫多30分，后來兩人得到了同樣多的積分，那么兩人積分還是差30分．而小高的積分比墨莫的2倍少90分，根據差倍問題，墨莫現在有分．3、有兩根粗細、材料都相等的蠟燭，長的能燒100分鐘，短的能燒70分鐘．同時點燃著兩根蠟燭，過__________分鐘后，長蠟燭長度是短蠟燭的3倍．【答案】

55【解析】

兩根蠟燭一直相差能燒分鐘的高度，而長蠟燭長度是短蠟燭的3倍，根據差倍問題，短蠟燭還剩分鐘的長度，所以點燃了分鐘．4、小山羊和卡莉婭兩人開始有一樣多的餅干．小山羊比較貪吃，過了幾天，小山羊已經吃了39塊餅干，而卡莉婭只吃了17塊．此時卡莉婭剩下的餅干數量是小山羊的3倍，那么卡莉婭原來有____________塊餅干．【答案】

50【解析】

開始兩人一樣多，后來小山羊多吃了塊，則卡莉婭剩下的