專題03多項式的因式分解重難點題型專訓（13大題型+15道拓展培優）【題型目錄】題型一判斷是否是因式分解題型二已知因式分解的結果求參數題型三公因式題型四提公因式法分解因式題型五判斷能否用公式法分解因式題型六運用平方差公式分解因式題型七運用完全平方公式分解因式題型八綜合運用公式法分解因式題型九綜合提公因式和公式法分解因式題型十因式分解在有理數簡算中的應用題型十一十字相乘法題型十二分組分解法題型十三因式分解的應用【知識梳理】知識點一、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.特別說明：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數字系數和字母兩部分：①公因式的系數是各項系數的最大公約數.②字母是各項中相同的字母，指數取各字母指數最低的.知識點二、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．特別說明：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數變為正數，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變為：“＋1”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現錯誤.知識點三、公式法——平方差公式兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積，即：特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數（整式）的和與這兩個數（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.知識點四、公式法——完全平方公式兩個數的平方和加上（減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.右邊是兩數的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.知識點五、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項式，若存在，則特別說明：（1）在對分解因式時，要先從常數項的正、負入手，若，則同號(若，則異號)，然后依據一次項系數的正負再確定的符號（2）若中的為整數時，要先將分解成兩個整數的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個整數之和能否等于，直到湊對為止.知識點六、首項系數不為1的十字相乘法在二次三項式(≠0)中，如果二次項系數可以分解成兩個因數之積，即，常數項可以分解成兩個因數之積，即，把排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項式的一次項系數，即，那么二次三項式就可以分解為兩個因式與之積，即.特別說明：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項系數一般都化為正數，如果是負數，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添上.知識點七、分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.特別說明：分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點分組分解法四項二項、二項①按字母分組②按系數分組

③符合公式的兩項分組三項、一項先完全平方公式后平方差公式五項三項、二項各組之間有公因式六項三項、三項

二項、二項、二項各組之間有公因式三項、二項、一項可化為二次三項式知識點八：添、拆項法把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形.添、拆項法分解因式需要一定的技巧性，在仔細觀察題目后可先嘗試進行添、拆項，在反復嘗試中熟練掌握技巧和方法.知識點九：因式分解的解題步驟因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項法等.特別說明：落實好方法的綜合運用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項平方或立方，三項完全或十字；四項以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.【經典例題一判斷是否是因式分解】【例1】（2023上·海南?？凇ぐ四昙壓Ｄ先A僑中學?？计谥校┫铝幸蚴椒纸猓_的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了因式分解．熟練掌握提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式是解題的關鍵．根據提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式對各選項進行判斷作答即可．【詳解】解：，錯誤，故A不符合要求；，正確，故B符合要求；，錯誤，故C不符合要求；，錯誤，故D不符合要求；故選：B．【變式訓練】1．（2023下·陜西寶雞·七年級校聯考期末）下列各式中從左到右的變形，是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，可得答案．【詳解】解：A、，故該選項符合題意；B、，沒把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意；C、，沒把一個多項式轉化成幾個整式積的形式（含有分式），不是因式分解，故此選項不符合題意；D、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查因式分解，這類問題的關鍵在于能否正確應用分解因式的定義來判斷．2．（2023下·浙江寧波·七年級統考期中）下列等式中，從左到右的變形屬于因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據因式分解的定義和因式分解的方法逐個判斷即可．【詳解】解：、，從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；、，等式的左邊不是多項式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；、，等式右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；、，從左到右的變形屬于因式分解且分解徹底，故本選項符合題意．故選：．【點睛】此題考查了因式分解的定義和因式分解的方法，解題的關鍵是正確理解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．3．（2023下·寧夏銀川·八年級?？计谥校┫铝懈魇綇淖蟮接业淖冃沃?，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據因式分解的概念逐項判斷即可．【詳解】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故不符合題意；B．右邊是最簡整式的乘積形式，故符合題意；C．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故不符合題意；D．分解錯誤，故不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了因式分解的定義，因式分解是把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式．4．（2023下·福建寧德·八年級統考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據因式分解的定義依次進行計算判斷即可．【詳解】、，等號的右側不是積的形式，不是因式分解，不符合題意，排除；、，是整式的乘法，不符合題意，排除；、，是整式的乘法，不合題意，排除；、，符合因式分解的定義，符合題意；故選：．【點睛】此題考查了因式分解解題的關鍵是掌握因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．【經典例題二已知因式分解的結果求參數】【例2】（2021下·甘肅蘭州·八年級校考期中）若是多項式因式分解的結果，則的值為（

）．A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】先計算，由即可求得的值．【詳解】解：，由題意得，，，，故選：C．【點睛】本題考查了多項式乘多項式，因式分解的定義，熟練掌握多項式的運算法則是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023下·山東棗莊·八年級統考階段練習）已知多項式可以分解為，則x的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題可根據題中條件，多項式分解為單項式，用分解出來的單項式進行相乘后，即可求出x的值．【詳解】解：根據題意可得：，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查因式分解的基本知識，學生需掌握因式分解的基本知識，做此題就不難．2．（2023下·四川達州·八年級?？计谀┤絷P于的二次三項式的因式是和，則的值是．【答案】2【分析】先利用多項式乘以多項式法則計算，再利用多項式相等的條件求出的值即可．【詳解】解：由題意得：，．故答案為：2．【點睛】此題考查了多項式乘以多項式法則，因式分解的意義，以及多項式相等的條件，熟練掌握因式分解的意義是解本題的關鍵．3．（2023上·山東濟寧·八年級統考階段練習）兩位同學將一個關于x的二次三項式分解因式時，一位同學因看錯了一次項系數而分解成，另一位同學因看錯了常數項而分解成．請求出a，b，c的值，并將這個二次三項式因式分解．【答案】，【分析】本題主要考查了因式分解和多項式乘法，先根據多項式乘法計算法則求出，據此得到，再求出，據此得到，則原多項式為，先提取公因數2，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：，∵一位同學因看錯了一次項系數而分解成，∴；，∵另一位同學因看錯了常數項而分解成，∴，∴原多項式為，4．（2024上·北京東城·八年級北京二中校聯考期中）【例題講解】因式分解：．∵為三次二項式，若能因式分解，則可以分解成一個一次二項式和一個二次多項式的乘積．故我們可以猜想可以分解成，即，展開等式右邊得：，∴恒成立．∴等號左右兩邊的同類項的系數應相等，即，解得，∴．【方法歸納】設某一多項式的全部或部分系數為未知數，利用當兩個多項式為恒等式時，同類項系數相等的原理確定這些系數，從而得到待求的值，這種方法叫待定系數法．【學以致用】(1)若，則__________；(2)若有一個因式是，求k的值及另一個因式．【答案】(1)1(2)，另一個因式為：．【分析】本題主要考查了多項式的乘法，因式分解等知識，掌握題干給出的待定系數法，是解答本題的關鍵．（1）將展開，結合多項式的恒等關系即可求解；（2）設多項式另一個因式為，利用題干給出的待定系數法求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，（2）設多項式另一個因式為，則，，，，，，即另一個因式為：．【經典例題三公因式】【例3】（2022上·山東威?！ぐ四昙壗y考期中）多項式的公因式是，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據公因式是各項中都含有的因式，可得答案．【詳解】解：，故選：A．【點睛】本題考查了公因式，確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：①定系數，即確定各項系數的最大公約數；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；③定指數，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數的最低次冪．【變式訓練】1．（2023下·湖南婁底·七年級統考期中）下列各組多項式中，沒有公因式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】先對各多項式分解因式，然后利用公因式的定義對各選項進行判斷即可．【詳解】、與，沒有公因式，此選項符合題意；、，，有公因式，此選項不符合題意，排除；、與有公因數，此選項不符合題意，排除；、，，有公因式，此選項不符合題意，排除；故選：．【點睛】此題考查了公因式，解題的關鍵是先確定各項系數的最大公約數，再確定各項的相同字母因式(或相同多項式因式)，然后確定各項相同字母因式(或相同多項式因式)的指數的最低次冪．2．（2023下·江蘇南京·七年級南京市第一中學校考階段練習）把多項式因式分解時，應提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據找公因式的方法：系數取最大公約數，相同字母取最低次冪，進行求解即可．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題考查因式分解、找公因式的方法，熟練掌握確定公因式的方法是解題的關鍵．4．（2021下·浙江·七年級期中）單項式與的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據公因式的定義，分別找出系數的最大公約數和相同字母的最低指數次冪，乘積就是公因式；【詳解】與的公因式是，故選：D．【點睛】本題考查了公因式：多項式ma+mb+mc中，各項都含有一個公共的因式m，因式m叫做這個多項式各項的公因式．3．（2023上·河南周口·八年級?？茧A段練習）下列各式中，沒有公因式的是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】B【分析】根據公因式的定義逐一分析即可．【詳解】解：A、，與有公因式，故本選項不符合題意；B、與沒有公因式，故本選項符合題意；C、與有公因式，故本選項不符合題意；D、與有公因式，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了公因式的含義，熟記公因式的定義與公因式的確定是解題的關鍵．【經典例題四提公因式法分解因式】【例4】（2023下·河北邯鄲·八年級統考期末）將多項式因式分解，結果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先提取公因式，再對余下的項進行合并，整理，然后觀察，如果能夠分解的一定要分解徹底，如果不能分解，就是最后的結果．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題考查用提公因式法進行因式分解的能力，難點在于把看作一個整體．【變式訓練】1．（2023下·浙江·七年級校聯考期中）若多項式，則是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】提取公因式后剩下的各項的和就是所要求的的值．【詳解】解：，∴，故選：C．【點睛】本題考查了提公因式法分解因式的解答過程，要靈活運用符號的變換．2．（2023上·遼寧沈陽·九年級東北育才雙語學校?？茧A段練習）已知，，則．【答案】【分析】將因式分解，再將，代入進行計算即可．【詳解】解：根據題意可得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關鍵是掌握因式分解的方法和步驟．3．（2022上·河北邢臺·八年級邢臺三中校考開學考試）如圖，長和寬分別為，的長方形的周長為，面積為，則的值為；

【答案】【分析】根據長方形周長和面積的公式得到，，再將因式分解等于，再代入求值即可．【詳解】解：長方形的長和寬分別為，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解的應用，代數式求值，掌握因式分解的方法是解答本題的關鍵．4．（2023上·湖南長沙·八年級校聯考期中）小雅同學計算一道整式除法：，由于她把除號錯寫成了乘號，得到的結果為(1)直接寫出a、b的值：，．(2)這道除法計算的正確結果是；(3)若，，計算（2）中代數式的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查了整式的乘法和除法以、因式分級以及代數式求值，熟練掌握相關運算法則是關鍵．（1）按題意將除法運算改成乘法，計算，將乘積與對應系數相等，即可求出答案；（2）根據多項式除以單項式法則計算即可；（3）先將提公因式，再將，代入即可．【詳解】（1）解：由題意，，∴，解得，，故答案為：；（2）由題意，得，故答案為：；（3）∴原式．【經典例題五判斷能否用公式法分解因式】【例5】（2023下·四川成都·八年級統考期末）下列多項式不能進行因式分解的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據因式分解的方法，注意判斷，即可解答．【詳解】解：利用完全平方公式，可得，故A不符合題意；無法因式分解，故B符合題意；利用完全平方公式，可得，故C不符合題意；利用平方差公式，可得，故D不符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022下·七年級單元測試）下列各式中，不能在實數范圍內分解因式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用提公因式法和公式法逐一進行因式分解，即可得到答案．【詳解】解：A、，能分解因式，不符合題意，選項錯誤；B、，不能分解因式，符合題意，選項正確；C、，能分解因式，不符合題意，選項錯誤；D、，能分解因式，不符合題意，選項錯誤，故選：B．【點睛】本題考查了因式分解，平方差公式，完全平方公式，熟練掌握因式分解的方法是解題關鍵．2．（2022下·江蘇淮安·七年級?？计谥校┫铝卸囗検街?，能用平方差公式進行因式分解的是（

）A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2【答案】C【分析】根據平方差公式判斷即可；【詳解】A．不能運用平方差公式分解，故此選項錯誤；B．不能運用平方差公式分解，故此選項錯誤；C．能運用平方差公式分解，故此選項正確；D．不能運用平方差公式分解，故此選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了公式法分解因式，熟記平方差公式是解題關鍵．3．（2021下·湖南張家界·七年級統考期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據完全平方公式的特點判斷即可；【詳解】不能用完全平方公式，故A不符合題意；不能用完全平方公式，故B不符合題意；，能用完全平方公式，故C符合題意；不能用完全平方公式，故D不符合題意；故答案選C．【點睛】本題主要考查了因式分解公式法的判斷，準確判斷是解題的關鍵．4．（2023上·河南周口·八年級?？茧A段練習）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據完全平方公式特點，即可判斷出答案．【詳解】解：A．可明顯看出只有兩項，不能用完全平方公式分解因式，所以A不符合題意；B．有三項，并且有兩項是平方項，中間項符合倍乘積，能用完全平方公式分解因式，所以B符合題意；C．有三項，并且兩個平方項都是正的，但是中間項不符合倍乘積，不能用完全平方公式分解因式，所以C不符合題意；D．有三項，并且兩個平方項是正的，中間項不符合倍乘積，不能用完全平方公式分解因式，所以D選項不符合題意．故答案選D．【點睛】本題考查利用完全平方公式進行因式分解，做這樣的題目首先看一下多項式是否有三項，然后找到兩個平方項并確保符號都是正的，最后驗證最后一項是否符合倍乘積即可．【經典例題六運用平方差公式分解因式】【例6】（2023下·湖南永州·七年級?？计谥校┫铝卸囗検街心苡闷椒讲罟竭M行分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平方差公式逐項驗證即可得到答案．【詳解】解：A、，不能用平方差公式進行分解因式，不符合題意；B、，不能用平方差公式進行分解因式，不符合題意；C、，不能用平方差公式進行分解因式，不符合題意；D、，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查利用平方差公式進行因式分解，熟練掌握平方差公式是解決問題的關鍵．【變式訓練】1．（2023下·湖南永州·七年級校聯考期中）已知可以被10到20之間的某兩個整數整除，則這兩個數是（）A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17【答案】D【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之間的哪兩個整數整除.【詳解】∴可以被10至20之間的17和15兩個整數整除.故選D.【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握平方差公式是解答本題的關鍵.2．（2023下·江蘇淮安·七年級統考期末）已知，則代數式的值為．【答案】【分析】先根據平方差公式分解因式，再整體代入，即可求出答案．【詳解】解：，，故答案為：．【點睛】本題考查了解二元一次方程組和求代數式的值，能夠整體代入是解此題的關鍵．3．（2023下·貴州黔西·八年級?？茧A段練習）在實數范圍內分解因式：．【答案】【分析】先利用完全平方公式進行配方，再根據平方差公式進行因式分解即可.【詳解】解：.故答案為：.【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握用公式法進行因式分解是解題的關鍵，實數范圍內的因式分解技巧：若，則.4．（2020上·上海浦東新·八年級校考階段練習）在有理數范圍內因式分解．【答案】【分析】根據平方差公式分解因式即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了平方差公式因式分解，掌握是解題的關鍵．【經典例題七運用完全平方公式分解因式】【例7】（2023上·山東東營·八年級?？茧A段練習）已知，則代數式的值是（）A．0 B．1 C．4 D．6【答案】D【分析】根據代數式的形式，構造出完全平方公式進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故選：D．【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023上·浙江寧波·八年級統考期末）若，都是有理數，且，則(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用完全平方公式變形，再利用非負數的性質求出與的值，然后代入所求式子進行計算即可．【詳解】解：∵∴∴∴，解得：，∴故選：B．【點睛】本題考查了完全平方公式，因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．2．（2023上·河南周口·八年級?？茧A段練習）已知，且滿足兩個等式，則的值為．【答案】4【分析】由等量代換可得，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴∴∴∴∵則∴則∴故答案為：4．【點睛】本題考查的是因式分解的應用，掌握“提公因式與利用完全平方公式分解因式”是解本題的關鍵．3．（2023上·山東濰坊·八年級統考階段練習）已知，，，則代數式的值是．【答案】【分析】由題意得到，，，再把要求的代數式用完全平方公式進行因式分解，整體代入即可得到答案．【詳解】∵，，，∴，，，∴，，，，故答案為：．【點睛】此題考查了因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式進行因式分解是解題的關鍵．4．（2023上·四川資陽·八年級四川省樂至中學?？计谥校┯^察下列分解因式的過程：解：原式像這種通過增減項把多項式轉化成完全平方形式的方法稱為配方法．(1)請你運用上述配方法分解因式：；(2)已知的三邊長都是正整數，且滿足，求周長的最大值．【答案】(1)(2)13【分析】（1）原式利用完全平方公式變形后分解，再利用平方差公式分解即可；（2）運用配方法，求出a、b，再根據三角形的三邊關系求出c即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：，，根據三角形的三邊關系可得：，，的三邊長都是正整數，，周長的最大值為：【點睛】本題考查了配方法的應用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．【經典例題八綜合運用公式法分解因式】【例8】（2022上·八年級單元測試）將分解因式，所得結果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將看作一個整體，然后對原式變形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可．【詳解】解：．故選D．【點睛】本題主要考查了因式分解，靈活運用公式法進行因式分解是解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2020下·山西·八年級統考階段練習）多項式與的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把多項式進行因式分解，然后取相同的因式，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴多項式與的公因式是；故選：A．【點睛】本題考查了因式分解，解題的關鍵是掌握因式分解的方法，正確的求出多項式的公因式．2．（2023上·上海金山·八年級校聯考期末）在實數范圍內因式分解：．【答案】【分析】本題考查了在實數范圍內分解因式，公式法分解因式等知識．先將原式化為，再分別利用完全平方公式和平方差公式即可分解因式．【詳解】解：．故答案為：?．3．（2023上·山東日照·八年級校考階段練習）因式分解(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關鍵：（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可；（4）先利用完全平方公式分解因式，再提取公因數2分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：4．（2023上·河北張家口·八年級統考期末）我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：．②拆項法：例如：．仿照以上方法分解因式：(1)；(2)．(3)解決問題：已知、、、為的三邊長，，且為等腰三角形，求的周長．【答案】(1)(2)(3)的周長是5【分析】本題考查因式分解及其應用，分組分解法，拆項法因式等知識，掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．（1）運用分別分組分解法將看出一組，再用平方差公式因式分解即可；（2）運用拆項法將拆成，再運用（1）的方法因式分解即可；（3）將化成平方和等于0的形式，從而求出a、b，再運用等腰三角形的定義分類討論即可得解．【詳解】（1）解：；（2）；（3），，，，，，，是等腰三角形，或(不符合三角形三邊關系，舍去)的周長．【經典例題九綜合提公因式和公式法分解因式】【例9】（2023上·山東泰安·八年級統考期中）下列各式不是因式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】題目主要考查了提公因式法與公式法的綜合運用，將原式分解因式，判斷即可．【詳解】解：原式．∴，，是原多項式的因式，不是的因式，故選A．【變式訓練】1．（2023上·山東泰安·八年級統考期中）下列各式不是因式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】題目主要考查了提公因式法與公式法的綜合運用，將原式分解因式，判斷即可．【詳解】解：原式．∴，，是原多項式的因式，不是的因式，故選A．2．（2024上·重慶綦江·八年級統考期末）因式分解：，．【答案】【分析】本題考查了因式分解，選擇適當的方法分解因式是解題的關鍵．【詳解】，，故答案為：，．3．（2024上·湖北荊州·八年級統考期末）分解因式：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查因式分解；（1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．【詳解】（1）原式；（2）原式．4．（2024上·河南商丘·八年級統考期末）［閱讀材料］將四項及四項以上的多項式進行因式分解，我們一般使用分組分解法．分組分解法有兩種分法：一是“”分組．二是“”分組．兩種分組的主要區別就在于多項式中是否存在三項可以構成完全平方，若可以構成完全平方，則采用“”分組；若無法構成，則采用“”分組．例如：；．［應用知識］（1）因式分解：．（2）因式分解：．［拓展應用］（3）已知一三角形的三邊長分別是，且滿足：．試判斷這個三角形的形狀，并說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）這個三角形為等邊三角形．理由見解析【分析】本題考查了因式分解以及因式分解的應用．（1）利用“”分組，再利用提公因式法分解即可；（2）利用“”分組，先利用完全平方公式計算，再利用平方差公式分解即可；（3）整理后，利用“”分組，再利用完全平方公式分解得到，根據非負數的性質求解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）這個三角形為等邊三角形．理由：，，，，．，，，這個三角形是等邊三角形．【經典例題十因式分解在有理數簡算中的應用】【例10】（2023上·河北邢臺·八年級統考期末）計算的值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】原式各括號利用平方差公式變形，約分即可得到結果．【詳解】原式，，，，故選：C．【點睛】本題考查的是平方差公式，掌握運算法則和平方差公式是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023上·河北邢臺·八年級統考期末）計算的值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】原式各括號利用平方差公式變形，約分即可得到結果．【詳解】原式，，，，故選：C．【點睛】本題考查的是平方差公式，掌握運算法則和平方差公式是解題關鍵．2．（2023上·廣東廣州·八年級廣州市天河區匯景實驗學校校考期中）計算：．【答案】/【分析】接利用平方差公式把每一個算式因式分解，再進一步發現規律計算即可．【詳解】解：原式=，故答案為：．【點睛】此題考查因式分解的應用，解題關鍵在于利用公式進行計算．3．（2022上·河北保定·八年級校聯考階段練習）按要求回答問題：(1)把下列各式因式分解：①；

②．(2)用簡便方法計算：①；

②．【答案】(1)①；②(2)①；②【分析】（1）①利用提公因式直接因式分解；②先利用完全平方公式展開、合并同類項，然后再利用完全平方公式進行因式分解；（2）①利用提公因式法進行簡便運算即可；②利用平方差公式簡便運算即可．【詳解】（1）①原式；②原式．（2）①；②.【點睛】本題考查了因式分解及其在簡便運算中的應用，解題的關鍵是熟練運用提公因式法和公式法進行因式分解．4．（2023上·八年級課時練習）利用因式分解計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）提取后計算即可；（2）提取后計算即可；（3）原式變形為，然后提取后計算即可；（4）利用完全平方公式計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查了利用因式分解進行簡便計算，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．【經典例題十一十字相乘法】【例11】（2023上·浙江寧波·八年級統考期末）如果多項式能被整除，那么的值是（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】由于，而多項式能被整除，則能被整除．運用待定系數法，可設商是A，則，則和時，，分別代入，得到關于a、b的二元一次方程組，解此方程組，求出a、b的值，進而得到的值.【詳解】解：∵，∴能被整除，設商是A．則，則和時，右邊都等于0，所以左邊也等于0．當時，①當時，②，得，∴，∴．∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了待定系數法在因式分解中的應用．在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據多項式恒等的性質，兩邊對應項系數應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關于待定系數的方程（或方程組），解出待定字母系數的值，這種因式分解的方法叫作待定系數法．本題關鍵是能夠通過分析得出和時，原多項式的值均為0，從而求出a、b的值．本題屬于競賽題型，有一定難度．【變式訓練】1．（2023上·湖北隨州·九年級?？茧A段練習）對于一個正整數n，若能找到正整數，使得，則稱n為一個“好數”，例如：，則就是一個“好數”，那么從到這個正整數中“好數”有()A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【分析】本題考查了因式分解的應用，根據題意得出，進而可得只要是合數，就是好數，即可求解．【詳解】解：由，可得，所以，只要是合數，就是好數，以內的好數有：、、、、故選：C．2．（2023下·陜西西安·八年級?？茧A段練習）甲乙兩人完成因式分解時，甲看錯了的值，分解的結果是，乙看錯了的值，分解的結果為，那么分解因式正確的結果為．【答案】【分析】根據甲、乙看錯的情況求出、的值，進而再利用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：甲看錯了的值，分解的結果是，，乙看錯了的值，分解的結果為，，原二次三項式為，，故答案為：．【點睛】本題考查了十字相乘法進行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法以及根據甲、乙看錯的情況求出、的值，是解題的關鍵．3．（2024上·廣東珠海·八年級統考期末）在數學學習中，是常見的一類多項式，對這類多項式常采用十字相乘法和配方法來進行因式分解．請閱讀材料，按要求回答問題．材料一：分解因式：解：材料二：分解因式：解：原式(1)按照材料一提供的方法分解因式：；(2)按照材料二提供的方法分解因式：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解，解答本題的關鍵是理解題意，明確題目中的分解方法．（1）仿照題目中的例子進行分解即可得出答案；（2）仿照題目中的例子進行分解即可得出答案．【詳解】（1）解：，，；（2）解：原式．4．（2024上·北京東城·八年級統考期末）利用整式的乘法運算法則推導得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得．通過觀察可把看作以x為未知數，a、b、c、d為常數的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數與常數項分別進行適當的分解來湊一次項的系數，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數2與常數項12分別進行適當的分解，如圖2，則．根據閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結合本題知識，分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查多項式乘多項式，因式分解，解答的關鍵是對相應的知識的掌握與運用．（1）利用十字相乘法進行求解即可；（2）利用十字相乘法進行求解即可；（3）先分組，再利用十字相乘法進行求解即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：，．【經典例題十二分組分解法】【例12】（2023下·浙江寧波·七年級統考階段練習）已知a，b為正整數，滿足，則的最大值為（

）A．28 B．43 C．76 D．78【答案】C【分析】將利用分組分解法化為，再根據a，b為正整數，分類討論即可得到答案．【詳解】解：∵，∴∴∴，∵a，b為正整數，要使最大，則b的值應比a大，∴當時，；當時，，∴的最大值為76，故選：C．【點睛】此題考查了分組分解法的應用，解題的關鍵在于把等號左邊的式子化為乘積的形式．【變式訓練】1．（2022上·山東濱州·八年級統考期末）已知a+b＝3，ab＝1，則多項式a2b+ab2﹣a﹣b的值為(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據分解因式的分組分解因式后整體代入即可求解．【詳解】解：a2b+ab2-a-b=（a2b-a）+（ab2-b）=a（ab-1）+b（ab-1）=（ab-1）（a+b）將a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．故選：A．【點睛】本題考查了因式分解的應用，解決本題關鍵是掌握分組分解因式的方法．2．（2023下·陜西西安·八年級?？茧A段練習）已知，那么的值為．【答案】2022【分析】利用因式分解法將原式進行分解，再整體代入即可求解．【詳解】∵，∴故答案為：2022．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．3．（2024上·山西長治·八年級統考期末）閱讀下列材料，并完成相應的任務.數學研究發現常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如“”，細心觀察這個式子就會發現，前兩項可以提取公因式，后兩項也可以提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，其過程如下：.此種因式分解的方法叫做“分組分解法”.任務：(1)因式分解：(2)已知，，求的值.【答案】(1)(2)，8【分析】本題考查因式分解，掌握“分組分解法”是解題的關鍵．（1）仿照材料中的方法，前兩項為一組，后兩項為一組，利用“分組分解法”求解；（2）先利用“分組分解法”進行因式分解，再將，作為整體代入求值．【詳解】（1）解：，．（2）解：.將，代入，得：原式．4．（2024上·山西朔州·八年級統考期末）閱讀下列材料，完成相應任務我們在學習整式乘法時，常常通過數形結合理解掌握運算方法．例如圖（1）反映了單項式與多項式的乘法運算方法，即：．任務一：觀察圖（2）完成填空：．將上式逆向變形即可把等式左邊的多項式因式分解為右邊的，像這樣我們可將某些二次項系數是1的二次三項式分解因式．例如，將式子分解因式．這個式子的二次項系數是1，常數項，一次項系數，因此可利用上述方法直接可得．上述分解因式的過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數，如圖（3）這樣我們便可直接得到任務二：利用上述方法分解因式（1）（2）我們常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項式用上述方法無法分解，例如，我們細心觀察就會發現，前兩項可以分解，后兩項也可以分解，分別分解后會產生公因式就可以完整的分解了，具體分解過程如下：這種方法叫分組分解法．任務三：請利用這種方法因式分解下列多項式：；【答案】任務一：，，；任務二：（1），（2）；任務三：【分析】本題考查十字相乘法以及分組分解法進行因式分解．任務一：利用兩種方法表示出長方形的面積即可得出結果；任務二：利用十字相乘法進行因式分解即可；任務三：利用分組分解法進行因式分解即可；掌握十字相乘法以及分組分解法進行因式分解，是解題的關鍵．【詳解】任務一：由圖可知：；故答案為：，，；

任務二：（1）；

（2）；

任務三：．【經典例題十三因式分解的應用】【例13】（2023下·四川達州·七年級校聯考期中）若，，，則多項式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據，，，可以得到，，的值，然后將所求式子變形，然后將，，的值代入變形后的式子計算即可．【詳解】，，，，，，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查因式分解的應用，解答本題的關鍵時明確題意，利用完全平方公式解答．【變式訓練】1．（2024上·遼寧大連·八年級統考期末）如圖，小明準備設計一個長方形的手工作品，已知長方形的邊長為a、，周長為14，面積為12，請計算的值為（

）

A．42 B．84 C．76 D．82【答案】B【分析】本題考查了求代數式值，因式分解-提公因數法，關鍵是由提公因數法得到，由長方形的面積、周長公式得到，，即可求值．【詳解】解：由題意得：，，，，故選：．2．（2024上·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數m，n的平方差，且，則稱這個正整數為“方差優數”，例如，12就是一個“方差優數”，可以利用進行研究，若將“方差優數”從小到大排列，則第10個“方差優數”是．【答案】【分析】本題考查因式分解的應用和新定義下方差優數的計算和分類，根據新定義，可以分別列出和的值，進而即可求解．【詳解】解：注意到，知，∴．當時，由產生的方差優數為：，……當時，由產生的方差優數為：……當時，由產產生的方差優數為：……當時，由產生的方差優數為：，當時，由產生的方差優數為：當時，由．產生的方差優數為：當時，由產生的方差優數為：綜上，將上述產生的方差優數從小到大排列如下：，……故第個方差優數是，故答案為：．3．（2024上·云南普洱·八年級統考期末）觀察下列分解因式的過程：解：原式．像這種通過增減項把多項式轉化成完全平方形式的方法稱為配方法．(1)請你運用上述配方法分解因式：；(2)已知的三邊長都是正整數，且滿足，求周長的最小值．【答案】(1)(2)滿足題意得周長的最大值為11【分析】本題主要考查了因式分解的應用，解題時要熟練掌握并能運用配方法是關鍵．（1）依據題意，由，再利用平方差公式進行計算可以得解；（2）依據題意，將移項并配方得，從而求出，，再由三邊關系進行判斷，可得周長的最大值．【詳解】（1）解由題意，．（2）由題意，，．．．．．又為正整數，周長的最小，．．答：滿足題意得周長的最大值為11．4．（2024上·湖南長沙·八年級統考期末）閱讀理解：待定系數法是設某一多項式的全部或部分系數為未知數、利用當兩個多項式為恒等式時，同類項系數相等的原理確定這些系數，從而得到待求的值．待定系數法可以應用到因式分解中，例如問題：因式分解．因為為三次多項式，若能因式分解，則可以分解成一個一次多項式和一個二次多項式的乘積．故我們可以猜想可以分解成，即：，展開等式右邊得：，根據待定系數法原理，等式兩邊多項式的同類項的對應系數相等：可以求出．所以．(1)若取任意值，等式恒成立，則________；(2)已知多項式有因式，請用待定系數法求出該多項式的另一因式；(3)根據（2）可將多項式分解因式為________．（直接寫答案）【答案】(1)(2)另一因式為(3)【分析】此題考查多項式乘以多項式法則、因式分解的實際運用；（1）直接對比系數得出答案即可；（2）根據多項式有因式設，根據多項式乘以多項式法則展開，對比系數即可得答案．（3）先因式分解，結合（2）的結論，即可求解．【詳解】（1）解：∵等式恒成立，∴，解得：，∴，故答案為：．（2）解：∵多項式有因式，∴設，，，∴，，，解得：，，∴另一因式為．又∵，∴，即另一因式為；（3）解：∵，∴，故答案為：．【拓展培優】1．（2024上·河北保定·八年級統考期末）下列各式從左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解的意義，把一個多項式轉化成幾個整式積．根據因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積，可得答案．【詳解】解：A、是多項式乘多項式的整式乘法，不是因式分解，故A錯誤；B、沒把一個多項式轉化成幾個整式積，不是因式分解，故B錯誤；C、屬于整式乘法運算，不是因式分解，故C錯誤；D、把一個多項式轉化成幾個整式積，屬于因式分解，故D正確；故選：D．2．（2024·全國·八年級競賽）若多項式因式分解得，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】本題考查了因式分解的定義和多項式的乘法運算．根據因式分解的定義，列出等式，利用等式性質分別求出m和n的值，再求解即可．【詳解】解：由已知，故可得，，∴，，∴，故選：D3．（2024上·河南商丘·八年級統考期末）若，則的值為（

）A． B． C．3 D．9【答案】A【分析】本題考查了求代數式的值．對所求式子因式分解，再整體代入求值即可．【詳解】解：，∵，∴原式，故選：A．4．（2024·全國·八年級競賽）已知實數m、n、p滿足，，，則的值等于（

）．A．2 B．4 C．3 D．5【答案】C【分析】本題考查了因式分解的完全平方公式，代數式求值，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關鍵，先將三式相加，并移項配方成三個完全平方式，即可得到答案．【詳解】將，，三式相加，得整理得即，，，．5．（2023上·福建龍巖·八年級龍巖初級中學校考階段練習）若，，，則的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查完全平方公式的應用，能夠靈活運用公式法是解答本題的關鍵．根據題目信息得到、、的數量關系，然后對原式進行變化先乘2后乘，最后利用公式法即可．【詳解】解：由題意可知，則故選：A．6．（2024·全國·八年級競賽）若，，則的值為．【答案】【分析】本題考查整式的化簡求值，利用與的差，結合平方差公式進行因式分解，得出，將變形為含的式子，再將代入式子，即可解題．【詳解】解：由題知，，則，又．故答案為：．7．（2024上·山東煙臺·八年級統考期末）已知，，則多項式的值為．【答案】88【分析】本題考查因式分解和代數式求值，將多項式分解為含有，的式子，再將，代入整理后的式子求解，即可解題．【詳解】解：，，，上式，故答案為：88．8．（2024·全國·八年級競賽）已知：，，，則．【答案】12【分析】本題主要考查了因式分解的應用，先求出，再根據完全平方公式把原式因式分別為，據此代值計算即可．【詳解】解：∵，，，∴，故答案為：．9．（2024上·山東德州·八年級統考期末）若，則．【答案】2【分析】本題主要考查了代數式求值問題，要熟練掌握．題型可以簡單總結為以下三種：①已知條件不化簡，所給代數式化簡；②已知條件化簡，所給代數式不化