20232024學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（基礎(chǔ)篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿(mǎn)分40分，每小題5分）1．（5分）（2023上·北京海淀·高三校考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)?3i+1的虛部是（A．1 B．?1 C．3 D．?3【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的虛部的定義即可得解.【解答過(guò)程】復(fù)數(shù)?3i+1的虛部是故選：D.2．（5分）（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）下列命題：①方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線向量；②長(zhǎng)度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若a≠b，則a≠A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)平面向量的相關(guān)概念，逐項(xiàng)判斷，即可得到本題答案.【解答過(guò)程】對(duì)于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個(gè)向量也是共線向量，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，長(zhǎng)度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；對(duì)于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若a≠故選：A.3．（5分）（2023上·北京·高三校考階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是1,?3，則z的共軛復(fù)數(shù)zA．1?3?i C．?1+3?i 【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是1,?3所以z=1?3?i，因此故選：B.4．（5分）（2023下·陜西咸陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）已知向量a=?1,2,b=1,?2λ，若A．1 B．0 C．43 D．【解題思路】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，再利用共線向量的坐標(biāo)表示求解即得.【解答過(guò)程】向量a=?1,2,由a//(a?b)所以實(shí)數(shù)λ的值為1.故選：A.5．（5分）（2023上·河南南陽(yáng)·高三南陽(yáng)中學(xué)期末）若?12+32i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程axA．15?35i B．15【解題思路】根據(jù)一元二次方程復(fù)數(shù)根的特點(diǎn)及韋達(dá)定理即可求出a、b，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)可得結(jié)果．【解答過(guò)程】若?12+32則另一個(gè)復(fù)數(shù)根為?1由韋達(dá)定理可得得?12+則z=1+i，所以z故有z1+z故選：A．6．（5分）（2023上·江蘇南通·高三校考階段練習(xí)）已知非零向量a,b滿(mǎn)足b=23a，且a⊥3A．π6 B．π3 C．2π3【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及向量夾角的運(yùn)算公式求解.【解答過(guò)程】解：因?yàn)閍⊥(3所以a?(3設(shè)a與b的夾角為θ，所以cosθ=所以θ=5故選：D.7．（5分）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2，點(diǎn)P在邊CD上，則AP?BPA．2116 B．218 C．2132【解題思路】方法一：利用已知條件及勾股定理判斷線段所在直線的關(guān)系，然后利用平面向量的線性運(yùn)算及向量數(shù)量積的運(yùn)算律將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式求向量數(shù)量積的最值；方法二：利用已知條件及勾股定理判斷線段所在直線的關(guān)系，然后建立平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得出二次函數(shù)，最后利用二次函數(shù)性質(zhì)求出向量數(shù)量積的最值即可；方法三：同方法二一樣，但是選擇另外的邊所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面向量坐標(biāo)形式求解即可；【解答過(guò)程】解法一

由AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2得AC2=A所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC=∠BAC=60°．設(shè)DP=x，則0≤x≤3AP==1×1×=x當(dāng)且僅當(dāng)x=34時(shí)，AP?解法二：由AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2得AC2=A所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC=∠BAC=60°，∠ACB=∠ACD=30°，連接BD，交AC于點(diǎn)O，則易知BD⊥AC，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，則A?12,0，B0,?所以DC=設(shè)DP=λ則DP=所以P3AP=12則AP=3λ當(dāng)且僅當(dāng)λ=14時(shí)，AP?解法三

由AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2得AC2=A所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC=∠BAC=60°，∠ACB=∠ACD=30°，如圖，分別以DA,DC所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以A1,0，B因?yàn)辄c(diǎn)P在邊CD上，所以設(shè)P0,y所以AP=?1,y，所以AP=y當(dāng)且僅當(dāng)y=34時(shí)，AP?故選：A.8．（5分）（2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a=2，b=1且cosB=2cosA，則△ABC的面積S=A．1 B．32 C．22 【解題思路】根據(jù)同角平方和關(guān)系可得sinB=55，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式即可得A+B=【解答過(guò)程】方法1：因?yàn)閍=2b，所以sinA=2又cosB=2cosA由于B∈0,π，解得sinB=由cosB=2cosA可得B,A均為銳角，所以cos所以A+B=π2，即C=π方法2：因?yàn)閍=2b，所以sinA=2sinB，又cos所以2sinAcos因?yàn)閍≠b，故A≠B，且2B∈0,π所以2A+2B=π則A+B=π2，故C=π故選：A.二．多選題（共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分）9．（5分）（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點(diǎn)A、B、C、D、E、F、O中的任意一點(diǎn)為始點(diǎn)，與始點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，除向量ABBA外，與向量AB共線的向量有（

A．CF B．CD C．DE D．OD【解題思路】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和向量共線的定義進(jìn)行分析判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A，因?yàn)樵谡呅蜛BCDEF中，AB∥CF，所以CF與AB共線，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)樵谡呅蜛BCDEF中，AB與CD不平行，所以CD與AB不共線，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)樵谡呅蜛BCDEF中，AB∥DE，所以DE與AB共線，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)樵谡呅蜛BCDEF中，AB與OD不平行，所以O(shè)D與AB不共線，所以D錯(cuò)誤，故選：AC.10．（5分）（2023下·河北邢臺(tái)·高一校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=?3+2i，則下列說(shuō)法正確的是（

A．z的實(shí)部為3 B．z的虛部為2C．z=3+2i 【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、模等知識(shí)確定正確答案.【解答過(guò)程】由于復(fù)數(shù)z=?3+2i，所以z的實(shí)部為?3，虛部為2，所以z=?3?2i所以AC選項(xiàng)錯(cuò)誤，BD選項(xiàng)正確.故選：BD.11．（5分）（2023下·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3DC，點(diǎn)M滿(mǎn)足CM=2MD，N是BC的中點(diǎn).設(shè)AB=

A．BD=a?C．BM=?89【解題思路】根據(jù)向量線性運(yùn)算依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，BD=對(duì)于B，AC=對(duì)于C，BM=對(duì)于D，由B知：AN=故選：BC.12．（5分）（2023上·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)一中校考階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，下列與△ABC有關(guān)的結(jié)論，正確的是（

）A．若a=2,A=30°，則b+2cB．若acosA=bcosC．若△ABC是銳角三角形，則cosD．若2OA+OB+3OC=0，S△AOC【解題思路】根據(jù)正弦定理，求得2R=4，可判定A正確；根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)sin2A=根據(jù)題意，得到A>π2?B，結(jié)合y=設(shè)AC的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為D，根據(jù)向量的運(yùn)算，得到2OM【解答過(guò)程】對(duì)于A中，因?yàn)閍=2,A=30°，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,可得2R=a又由b+2csin對(duì)于B中，因?yàn)閍cosA=bcosB，由正弦定理得因?yàn)锳,B∈(0,π)，可得2A=2B或2A+2B=π，即A=B所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B不正確；對(duì)于C中，由△ABC是銳角三角形，可得A+B>π2，即因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，可得A∈(0,π又因?yàn)閥=cosx在(0,π對(duì)于D中，如圖所示，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為D，因?yàn)?OA+OB可得2×2OM+2OD=0，即2OM=?所以點(diǎn)O到AC的距離等于D到AC的13又由B到AC的距離為點(diǎn)D到AC的距離的2倍，所以O(shè)到AC的距離等于點(diǎn)B到AC距離的16由三角形的面積公式，可得S△ABC=6S故選：ACD.三．填空題（共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分）13．（5分）（2023上·天津和平·高三天津一中校考階段練習(xí)）i是虛數(shù)單位，則3?2i1+i=a+bia,b∈R，則【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則化簡(jiǎn)得到a?b+a+bi=3?2【解答過(guò)程】由題意得a+bi1+ia?b+a+b故a?b=3a+b=?2故答案為：?2.14．（5分）（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知x2?2x+m=0m∈R的兩共軛虛根為x1，x2，且x1【解題思路】由根與系數(shù)關(guān)系有x1x2=mx1+【解答過(guò)程】由題設(shè)x1x2=mx1+所以x1所以x1故答案為：3.15．（5分）（2023上·山東濱州·高三校考階段練習(xí)）已知平面向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=2，b→=3，且b→【解題思路】根據(jù)向量垂直數(shù)量積等于0，結(jié)合已知條件求出a→【解答過(guò)程】由b→⊥a→?因?yàn)閍→=2，b→設(shè)向量a→,b→的夾角為θ0≤θ≤故答案為：π616．（5分）（2023下·天津西青·高一統(tǒng)考期末）在體育課上，同學(xué)們經(jīng)常要在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)（如圖），假設(shè)某同學(xué)所受重力為G，兩臂拉力分別為F1,F2，若F1=F2，F(xiàn)1與F2的夾角為θ，則以下四個(gè)結(jié)論中：①F1的最小值為12G

【解題思路】用平面向量加法運(yùn)算表示出關(guān)系，然后表示出F1【解答過(guò)程】對(duì)于①：由受力分析得F1+F所以F1+F又因?yàn)镕1=F2，所以又θ∈[0,π)，所以故當(dāng)cosθ=1時(shí)，F(xiàn)1取得最小值為對(duì)于②:F12=G2∴F對(duì)于③：F1∴F對(duì)于④:F12=G221+所以cosθ越大，F(xiàn)又y=cosθ在故答案為：①②③.四．解答題（共6小題，滿(mǎn)分70分）17．（10分）（2023下·安徽淮北·高一校考階段練習(xí)）在如圖的方格紙中，畫(huà)出下列向量．

(1)OA=3，點(diǎn)A在點(diǎn)O(2)OB=32，點(diǎn)B在點(diǎn)O的北偏西(3)求出AB的值．【解題思路】（1）根據(jù)向量的大小和方向，作向量OA，（2）根據(jù)向量的大小和方向，作向量OB，（3）根據(jù)向量的模的定義求AB.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镺A=3，點(diǎn)A在點(diǎn)O的正西方向，故向量OA

（2）因?yàn)镺B=32，點(diǎn)B在點(diǎn)O的北偏西45°

（3）

AB=18．（12分）（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高二校考階段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z=a2+a?2+(1)若z是純虛數(shù)，求a的值；(2)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限內(nèi)，求a的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義可得到a2（2）根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限內(nèi)可以得到a2【解答過(guò)程】（1）z是純虛數(shù)，只需a2+a?2=0a（2）由題意知a2解得1<a<6，故當(dāng)1<a<6時(shí)，z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限內(nèi).19．（12分）（2023下·陜西西安·高一階段練習(xí)）如圖所示，已知在△AOB中，BC=2AC，OD=2DB，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)OA=a，(1)用a和b表示向量OC、DC；(2)若OE=λOA，求實(shí)數(shù)【解題思路】（1）結(jié)合向量的加法、減法法則運(yùn)算即可（2）根據(jù)向量的減法法則可得EC=2?λa【解答過(guò)程】（1）由題意知，A是BC的中點(diǎn)，且OD=由平行四邊形法則，OB+所以O(shè)C=2DC=（2）因?yàn)镋C//DC，又DC=2所以2?λ2＝?1?520．（12分）（2023下·上海普陀·高一上海市宜川中學(xué)校考期中）設(shè)z為復(fù)數(shù)．(1)若25z=?4?3(2)若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+kx+k=0有兩個(gè)虛根x1和x2，且【解題思路】（1）把已知等式兩邊取模求解；（2）由實(shí)數(shù)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列式求解.【解答過(guò)程】（1）由25z=?4?3則z=5（2）關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+kx+k=0有兩個(gè)虛根x1則x1x1解得：k=?1或k=3，因?yàn)榉匠蘹2+kx+k=0有兩個(gè)虛根x1所以k2?4k<0，則21．（12分）（2023下·湖南常德·高一臨澧縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M．

(1)求∠EMF的余弦值．(2)若點(diǎn)P自A點(diǎn)逆時(shí)針沿正方形的邊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，在這個(gè)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，由于∠EMF就是DE,（2）根據(jù)向量的共線表示聯(lián)立方程組可求解M187,67，分點(diǎn)P在AB【解答過(guò)程】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系．則D0,6由于∠EMF就是DE,

∴cos∠EMF=DE（2）設(shè)M∵AM∴x=18由題得EF=①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)Px,0∴3x?54②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，設(shè)P6,y∴72綜上，存在P2222．（12分）（2023上·全國(guó)·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知△ABC中，BC=3,M在線段BC上，2BM=MC,∠BAM=π(1)若AB=2，求AC的長(zhǎng)；(2)