2025/5/221信息幾何理論2025/5/222導(dǎo)言

信息幾何作為一門交叉學(xué)科，以黎曼流形為基礎(chǔ)，將概率論、信息論和微分幾何等多個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)相互融合，運(yùn)用微分幾何方法來研究信息領(lǐng)域中的問題，利用數(shù)學(xué)的方法揭示數(shù)據(jù)和信息的本質(zhì)特征，從而推動(dòng)計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工智能和統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域的發(fā)展。本章主要介紹部分與課題相關(guān)的信息幾何基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)一些理論做出概念性的描述。2025/5/223微分幾何理論基礎(chǔ)

微分幾何理論基礎(chǔ)

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2025/5/2221信息幾何理論基礎(chǔ)三、統(tǒng)計(jì)流形對(duì)于很多的應(yīng)用問題來說，其數(shù)據(jù)在高維空間中的分布具有某一種幾何構(gòu)造，即聚集在某一個(gè)形狀的低維流形附近。流形學(xué)習(xí)是一種無監(jiān)督學(xué)習(xí)，旨在從高維數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)可能存在的低維結(jié)構(gòu)。流形學(xué)習(xí)的主要思想是將高維數(shù)據(jù)嵌入到低維流形空間中，從而更好地理解和分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律。其目標(biāo)是通過降維方法來試圖還原數(shù)據(jù)在低維空間的結(jié)構(gòu)，因此流形學(xué)習(xí)也可以稱作為非線性降維。流形學(xué)習(xí)可以概括為在保持流形上點(diǎn)的某些幾何特征的情況下，找出一組對(duì)應(yīng)的內(nèi)蘊(yùn)坐標(biāo)，將流形盡量好的可以在低維平面上進(jìn)行展開，也就是找到從高維空間到低維空間的映射，同時(shí)在該低維的數(shù)據(jù)能夠表示出原先高維數(shù)據(jù)的本質(zhì)特征，這種低維的表示也叫內(nèi)蘊(yùn)特征，外圍空間的維數(shù)稱為觀察維數(shù)，其表示稱為自然坐標(biāo)。主要的流形學(xué)習(xí)的方法有等距映射（Lsomap）、局部線性嵌入（LocallyLinearEmbedding）以及拉普拉斯特征映射（LaplacianEigenmaps）等。2025/5/2222信息幾何理論基礎(chǔ)

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本章簡(jiǎn)要介紹了微分幾何和經(jīng)典信息幾何方法的基本概念和原理。本章節(jié)以現(xiàn)代微分幾何的基本概念作為基礎(chǔ)，其中涉及微分流形、切空間與余切空間、聯(lián)絡(luò)以及黎曼流形和測(cè)地線等