PAGEPAGE1課下層級訓練(五十三)排列與組合[A級基礎強化訓練]1．用數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為()A．24 B．48C．60 D．72【答案】D[第一步，先排個位，有Ceq\o\al(1,3)種選擇；其次步，排前4位，有Aeq\o\al(4,4)種選擇．由分步乘法計數原理，知有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72(個)．]2．從10名高校畢業生中選3個人擔當村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數為()A．85 B．56C．49 D．28【答案】C[分兩類：甲、乙中只有1人入選且丙沒有入選；甲、乙均入選且丙沒有入選，計算可得所求選法種數為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＝49.]3．(2024·山東淄博檢測)從A，B，C，D，E5名學生中選出4名分別參與數學、物理、化學、外語競賽，其中A不參與物理、化學競賽，則不同的參賽方案種數為()A．24 B．48C．72 D．120【答案】C[A參與時參賽方案有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝48(種)；A不參與時參賽方案有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)，所以不同的參賽方案共72種．]4．(2024·山東日照檢測)大數據時代出現了滴滴打車服務，二胎政策的放開使得家庭中有兩個小孩的現象普遍存在，某城市關系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個小孩共8人，打算運用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4名小孩不考慮位置)，其中A戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名小孩恰有2名來自于同一個家庭的乘坐方式共有()A．18種 B．24種C．36種 D．48種【答案】B[當A戶家庭的孿生姐妹乘坐甲車或乙車時，則另兩個小孩，是另外兩個家庭的一個小孩，有2×Ceq\o\al(2,3)×22＝24種方法．]5．(2024·全國卷Ⅱ)支配3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的支配方式共有()A．12種 B．18種C．24種 D．36種【答案】D[由題意可得其中1人必需完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得支配方式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，或列式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36(種)．]6．如圖，用五種不同顏色給A、B、C、D涂色，每個區域涂一種顏色，相鄰區域涂色不同，共有____________種涂法．ABCD【答案】260[共有5×4×1×4＋5×4×3×3＝260種．]7．若Ceq\o\al(m－1,8)>3Ceq\o\al(m,8)，則m＝____________.【答案】7或8[原不等式可化為eq\f(8！,m－1！9－m！)>eq\f(3×8！,m！8－m！)，解得m>eq\f(27,4)．∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，∴1≤m≤8．又m是整數，∴m＝7或m＝8.]8．(2024·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參與科技競賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有____________種．(用數字填寫答案)【答案】16[方法一按參與的女生人數可分兩類：只有1位女生參與有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)種，有2位女生參與有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)種．故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝2×6＋4＝16(種)．方法二間接法．從2位女生，4位男生中選3人，共有Ceq\o\al(3,6)種狀況，沒有女生參與的狀況有Ceq\o\al(3,4)種，故共有Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,4)＝20－4＝16(種)．]9．(2024·河北衡水模擬)把20個不加區分的小球放入1號，2號，3號的三個盒子中，要求每個盒內的球數不小于它的編號數，則不同的放法種數為____________．【答案】120[先在編號為2,3的盒內分別放入1個，2個球，還剩17個小球，三個盒內每個至少再放入1個，將17個球排成一排，有16個空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個盒中即可，共有Ceq\o\al(2,16)＝120種方法．]10．(2024·浙江卷)從1,3,5,7,9中任取2個數字，從0,2,4,6中任取2個數字，一共可以組成____________個沒有重復數字的四位數．(用數字作答)【答案】1260[不選0時，有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝720(個)．選0時，0不能排在首位，有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝540(個)．由分類加法計數原理，共有720＋540＝1260(個)四位數．][B級實力提升訓練]11．(2024·山東濰坊檢測)從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出，假如甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內，那么不同的放法種數為()A．Ceq\o\al(2,10)Aeq\o\al(4,8) B．Ceq\o\al(1,9)Aeq\o\al(5,9)C．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9) D．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,8)【答案】C[先排第1號瓶，從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種有Ceq\o\al(1,8)種方法，再排剩余的瓶子，有Aeq\o\al(5,9)種方法，故不同的放法共Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9)種．]12．(2024·山東淄博檢測)第一屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2024年5月14日至15日在北京實行，為了愛護各國元首的平安，將5個安保小組全部支配到指定三個區域內工作，且這三個區域每個區域至少有一個安保小組，則這樣的支配方法共有()A．96種 B．100種C．124種 D．150種【答案】D[因為三個區域每個區域至少有一個安保小組，所以可以把5個安保小組分成三組，有兩種分組的狀況：一種是1,1,3，另一種是1,2,2.當依據1,1,3來分時，共有N1＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝60(種)，當依據1,2,2來分時，共有N2＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)，依據分類加法計數原理知N＝N1＋N2＝150種．]13．某班組織文藝晚會，打算從A，B等8個節目中選出4個節目演出，要求A，B兩個節目至少有一個選中，且A，B同時選中時，它們的演出依次不能相鄰，那么不同演出依次的種數為()A．1860 B．1320C．1140 D．1020【答案】C[當A，B節目中只選一個時，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(4,4)＝960種演出依次；當A，B節目都被選中時，由插空法得共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝180種演出依次．所以一共有1140種演出依次．]14．(2024·山東臨沂檢測)有編號為1,2,3,4,5,6的六輛貨車排隊動身，要求1號車必需在3號車前動身，共有____________種動身依次．【答案】360[編號為1,2,3,4,5,6的六輛貨車排隊動身，共有Aeq\o\al(6,6)動身依次，要求1號車必需在3號車前動身，所以有eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(2,2))＝6×5×4×3＝360(種)動身依次．]15．(2024·天津卷)用數字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有____________個．(用數字作答)【答案】1080[①當組成四位數的數字中有一個偶數時，四位數的個數為Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝960．②當組成四位數的數字中不含偶數時，四位數的個數為Aeq\o\al(4,5)＝120．故符合題意的四位數一共有960＋120＝1080(個)．]16.(2024·浙江卷)從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，一般隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有____________種不同的選法．(用數字作答)．【答案】660[方法一只有1名女生時，先選1名女生，有Ceq\o\al(1,2)種方法；再選3名男生，有Ceq\o\al(3,6)種方法；然后排隊長、副隊長位置，有Aeq\o\al(2,4)種方法．由分步乘法計數原理，知共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,4)＝480(種)選法．有2名女生時，再選2名男生，有Ceq\o\al(2,6)種方法；然后排隊長、副隊長位置，有Aeq\o\al(2,4)種方法．由分步乘法計數原理，知共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,4)＝180(