專題2.1直線的傾斜角與斜率【九大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1求直線的傾斜角】 2【題型2求直線的斜率】 3【題型3已知直線的傾斜角或斜率求參數】 5【題型4直線與線段的相交關系求斜率范圍】 6【題型5兩條直線平行的判定】 9【題型6由兩直線平行求參數】 10【題型7兩條直線垂直的判定】 11【題型8由兩直線垂直求參數】 13【題型9直線平行、垂直的判定在幾何中的應用】 14【知識點1直線的傾斜角與斜率】1．直線的傾斜角(1)傾斜角的定義①當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．②當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°.(2)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.2．直線的斜率(1)直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.(2)斜率與傾斜角的對應關系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<0(3)過兩點的直線的斜率公式過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【注】(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯系．(2)涉及直線與線段有交點問題，常根據數形結合思想，利用斜率公式求解．【題型1求直線的傾斜角】【例1】（2023春·重慶沙坪壩·高一校考期末）直線x?3y+1=0的傾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【解題思路】根據傾斜角與斜率之間的關系運算求解.【解答過程】因為x?3y+1=0的斜率所以其傾斜角為30°.故選：A.【變式11】（2023春·山東青島·高二統考開學考試）已知直線l的斜率為?1,則l的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．60°【解題思路】根據斜率和傾斜角之間的關系即可得傾斜角.【解答過程】解:因為斜率為1,設直線傾斜角為α,0°所以tanα=?1,即α=故選:D.【變式12】（2023春·江蘇南京·高二校考期中）直線l經過A?1,0，B1,2兩點，則直線l的傾斜角是（A．π6 B．π4 C．2π3【解題思路】設出直線的傾斜角α，求出其正切值，即斜率，進而可得出傾斜角.【解答過程】設直線的傾斜角為α，由已知可得直線的斜率k=tan又α∈0,π，所以傾斜角是π故選：B.【變式13】（2023·全國·高二專題練習）設直線l的斜率為k，且?1≤k<3，直線l的傾斜角αA．0,π3∪C．π6,3π【解題思路】根據傾斜角與斜率的關系得到?1≤tanα<3，結合正切函數的圖象及α∈0,π【解答過程】由題意得：?1≤tan因為α∈0,π，且tan3畫出y=tan所以α∈故選：D.【題型2求直線的斜率】【例2】（2023秋·湖南婁底·高二統考期末）已知直線的傾斜角是π3A．32 B．?3 C．3 【解題思路】根據傾斜角與斜率的關系即可求解.【解答過程】因為直線的傾斜角是π3所以此直線的斜率是tanπ故選:C.【變式21】（2023春·上海·高二階段練習）將直線3x?3y=0繞著原點逆時針旋轉90°，得到新直線的斜率是（A．33 B．?33 C．3【解題思路】由題意知直線的斜率為3，設其傾斜角為α，將直線繞著原點逆時針旋轉90°，得到新直線的斜率為tan(α+【解答過程】由3x?3y=0知斜率為3，設其傾斜角為α，則將直線3x?3y=0繞著原點逆時針旋轉則tan(α+90故新直線的斜率是?3故選：B.【變式22】（2023·全國·高三專題練習）已知直線的傾斜角的范圍是α∈π4,3π4A．?1,1 B．?1,0C．?1,+∞ D．【解題思路】利用直線斜率的定義結合正切函數的性質即可計算作答.【解答過程】當直線的傾斜角α≠π2時，直線的斜率k=tan則當α∈[π4,π2)時，tanα≥1，即k≥1所以直線的斜率k的取值范圍是?∞故選：D.【變式23】（2023·全國·高三專題練習）如圖，設直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1A．k1<kC．k2<k【解題思路】直接由斜率的定義判斷即可.【解答過程】由斜率的定義可知，k1故選：A．【題型3已知直線的傾斜角或斜率求參數】【例3】（2023春·河南安陽·高二校聯考開學考試）已知點A2,3,B?1,x，直線AB的傾斜角為2π3A．3?33 B．3+33 C．3+3【解題思路】根據斜率公式列式計算即可.【解答過程】因為直線AB的傾斜角為2π3，可得直線AB的斜率為kAB可得x=3+33故選：C.【變式31】（2023秋·江蘇連云港·高二統考期末）設a為實數，已知過兩點Aa,3，B5,a的直線的斜率為1，則a的值為（A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】根據斜率公式計算可得.【解答過程】解：因為過兩點Aa,3，B5,a的直線的斜率為所以3?aa?5=1，解得故選：C.【變式32】（2022秋·浙江·高二校聯考期中）已知A1,2，B?3,t，C5,?6三點共線，則實數t=A．10 B．4 C．－4 D．－10【解題思路】根據三點共線可得，kAC=k【解答過程】由題可得：kAC=故選：A.【變式33】（2023秋·江蘇連云港·高二校考期末）經過兩點A1,m，Bm?1,3的直線的傾斜角是銳角，則實數m的范圍是（A．(?∞,?3)∪(?2,+∞C．(2,3) D．(?【解題思路】根據題意列出相應的不等式，即可得答案.【解答過程】由題意經過兩點A1,m，B可知m?1≠1，且3?mm?2解得2<m<3，即實數m的范圍是(2,3)，故選：C.【題型4直線與線段的相交關系求斜率范圍】【例4】（2023秋·廣東深圳·高二統考期末）已知A2,?3、B2,1，若直線l經過點P0,?1，且與線段AB有交點，則lA．?∞,?2∪C．?∞,?1∪【解題思路】作出圖形，數形結合可得出直線l的斜率的取值范圍.【解答過程】過點P作PC⊥AB，垂足為點C，如圖所示：設直線l交線段AB于點M，設直線l的斜率為k，且kPA=?1+3當點M在從點A運動到點C（不包括點C）時，直線l的傾斜角逐漸增大，此時?1=k當點M在從點C運動到點B時，直線l的傾斜角逐漸增大，此時0≤k≤k綜上所述，直線l的斜率的取值范圍是?1,1.故選：D.【變式41】（2023·全國·高二專題練習）已知A3,1，B1,2，若直線x+ay?2=0與線段AB沒有公共點，則實數a的取值范圍是（A．(?∞,?1)∪1C．(?∞,?2)∪(1,+∞【解題思路】畫出圖象，對a進行分類討論，結合圖象求得a的取值范圍.【解答過程】直線x+ay?2=0過點C2,0畫出圖象如下圖所示，kBC=2?0由于直線x+ay?2=0與線段AB沒有公共點，當a=0時，直線x=2與線段AB有公共點，不符合題意，當a≠0時，直線x+ay?2=0的斜率為?1根據圖象可知?1a的取值范圍是所以a的取值范圍是(?∞故選：A.【變式42】（2023·全國·高一專題練習）已知點A(2,3)，B(?3,?2)，若直線l過點P(3,1)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A．k≥12或C．k≥?2 D．k≤【解題思路】直接利用兩點間的坐標公式和直線的斜率的關系求出結果．【解答過程】解：直線l過點P(3,1)且斜率為k，與連接兩點A(2,3)，B(?3,?2)的線段有公共點，由圖，可知kAP=3?1當?2≤k≤12時，直線l與線段故選：B．【變式43】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直線kx?y?k?1=0和以M?3,1，N3,2為端點的線段相交，則實數k的取值范圍為（A．?12≤k≤C．k≤?12或k≥32 【解題思路】根據直線方程kx?y?k?1=0得到恒過定點A1,?1，利用坐標得到kMA=?12【解答過程】直線kx?y?k?1=0恒過定點A1,?1，且kMA=?由圖可知，k≤?12或故選：C.【知識點2兩條直線平行的判定】1．兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應關系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示【題型5兩條直線平行的判定】【例5】（2023·高二課時練習）“直線l1與l2平行”是“直線l1與lA．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【解題思路】根據直線平行與斜率之間的關系，逐個選項進行判斷即可.【解答過程】充分性：直線l1與l2平行，但是l1和l2都沒有斜率，即當l1和l2都垂直于x軸時，l1必要性：直線l1與l2的斜率相等，則直線l1綜上，“直線l1與l2平行”是“直線l1故選：D.【變式51】（2023秋·江西上饒·高二統考期末）下列與直線4x?y?2=0平行的直線的方程是（

）.A．4x?y?4=0 B．4x+y?2=0C．x?4y?2=0 D．x+4y+2=0【解題思路】根據平行直線斜率相等，截距不等可得答案.【解答過程】直線4x?y?2=0斜率為4，縱截距為2，A選項：直線斜率為4，縱截距為?4，符合；B選項：直線斜率為?4，縱截距為2，不符合；C選項：直線斜率為14，縱截距為?D選項：直線斜率為?14，縱截距為故選：A.【變式52】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二校考階段練習）m=4是直線mx+(3m?4)y+3=0與直線2x+my+3=0平行的（）A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要條件 D．既不充分也不必要【解題思路】結合直線平行的等價條件，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷【解答過程】當m=4，則兩直線方程分別為：4x+8y+3=0，2x+4y+3=0，滿足直線平行，當m=0時，直線方程分別為：y=34，當3m4=0，即m=43時，直線方程分別為：x=?9由直線mx+（3m?4）即?m當m=2時，兩直線重合，故“m=4”是“直線mx+（3m故選C.【變式53】（2023秋·高二課時練習）直線l1：(2－1)x＋y＝2與直線l2：x＋(2＋1)y＝3的位置關系是()A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合【解題思路】求出兩直線的斜率及縱截距可知：直線的斜率相等，但截距不等，故二者平行．【解答過程】由題意可得直線l1的斜率為：﹣（2﹣1），在y軸的截距為：2直線l1的斜率為：﹣12+1=﹣2?1(2∴直線l1：（2﹣1）x+y﹣2=0與直線l2：x+（2+1）y﹣3=0的位置關系為：平行故選A.【題型6由兩直線平行求參數】【例6】（2023·江蘇·高二假期作業）已知過A(?2,m)和B(m,4)的直線與斜率為－2的直線平行，則m的值是（

）A．－8 B．0 C．2 D．10【解題思路】由兩點的斜率公式表示出直線AB的斜率kAB，再由兩直線平行斜率相等列出等式，即可解出答案【解答過程】由題意可知，kAB=4?m故選：A.【變式61】（2023秋·高二課時練習）若直線x=1?2y與2x+4y+m=0重合，則m的值為（

）A．1 B．?1 C．2 D．?2【解題思路】將x=1?2y化為一般式，由直線平行求參數m即可.【解答過程】由題設x=1?2y一般式為x+2y?1=0，與2x+4y+m=0重合，所以12=2故選：D.【變式62】（2023春·江蘇南通·高二期末）設a∈R，則“直線ax+y?1=0與直線x+ay+1=0平行”是“a=1”的（

A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據充分條件和必要條件的定義結合兩直線平行的性質分析判斷即可.【解答過程】若直線ax+y?1=0與直線x+ay+1=0平行，則a2若a=1，則直線x+y?1=0與直線x+y+1=0平行，∴直線ax+y?1=0與直線x+ay+1=0平行是a=1的充分必要條件．故選：B.【變式63】（2023春·河南洛陽·高二統考期末）已知兩條直線l1：x+a2y+6=0，l2：a?2x+3ay+2a=0，若A．1或0或3 B．1或3 C．0或3 D．1或0【解題思路】由l1//l2可得3a?a2a?2【解答過程】l1：x+a2y+6=0，若l1//l2aa+1a?3=0，解得：a=0或a=?1當a=0時，l1：x+6=0，l2：x=0，則當a=?1時，l1：x+y+6=0，l2：3x+3y+2=0，則當a=3時，l1：x+9y+6=0，l2：x+9y+6=0，則l1故選：D.【知識點3兩條直線垂直的判定】1．兩條直線垂直的判定圖示對應關系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2【注】判斷兩條直線是否垂直時：在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．【題型7兩條直線垂直的判定】【例7】（2023·全國·高三專題練習）直線l1:ax+y?1=0與直線l2A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合【解題思路】分a=0和a≠0討論，其中a≠0時，寫出兩直線斜率，計算其乘積即可判斷.【解答過程】當a=0時，直線l1:y?1=0，直線當a≠0時，直線l1的斜率k1=?a，直線l因為k1綜上兩直線位置關系是垂直，故選：A.【變式71】（2023·江蘇·高二假期作業）已知兩條直線l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的兩個根，則l1與l2的位置關系是（

）A．平行 B．垂直C．可能重合 D．無法確定【解題思路】由韋達定理可知k1【解答過程】解析由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．故方程有兩相異實根，即l1與l2的斜率k1，k2均存在．設兩根為x1，x2，則k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．故選：B.【變式72】（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）若直線l1的斜率為?23，l2經過點A1,1，B0,?1A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合【解題思路】根據直線斜率公式，結合兩直線位置關系與斜率的關系進行判斷即可.【解答過程】因為直線l2經過點A1,1，所以直線l2的斜率為：?又因為32所以兩直線垂直，故選：B.【變式73】（2023春·上海楊浦·高二校考期中）下列各組直線中，互相垂直的一組是（

）A．2x?3y?5=0與4x?6y?5=0 B．2x?3y?5=0與4x+6y?5=0C．2x?3y?5=0與3x?2y?5=0 D．2x?3y?5=0與6x+4y?5=0【解題思路】分別求出兩直線的斜率，根據斜率之積為?1兩直線垂直，即可判斷.【解答過程】對于A：直線2x?3y?5=0的斜率為23，直線4x?6y?5=0的斜率為2故兩直線平行，故A錯誤；對于B：直線2x?3y?5=0的斜率為23，直線4x+6y?5=0的斜率為?斜率之積不為?1，即兩直線不垂直，故B錯誤；對于C：直線2x?3y?5=0的斜率為23，直線3x?2y?5=0的斜率為3斜率之積不為?1，即兩直線不垂直，故C錯誤；對于D：直線2x?3y?5=0的斜率為23，直線6x+4y?5=0的斜率為?斜率之積為?1，即兩直線垂直，故D正確；故選：D.【題型8由兩直線垂直求參數】【例8】（2023春·江西宜春·高二校考期末）若直線l1:ax+3y+2=0與直線l2:x?a+1A．0 B．1 C．?34 【解題思路】根據已知條件，結合直線垂直的性質，即可求解．【解答過程】直線l1:ax+3y+2=0與直線則a?3(a+1)=0，解得a=?3故選：D．【變式81】（2023春·重慶沙坪壩·高一校考期末）直線l：a2?a?2x+2a2?5a+2y+a=0，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由直線l與x軸垂直，可得直線l的斜率不存在，進而得到a2?a?2≠02【解答過程】由直線l與x軸垂直，得直線l的斜率不存在，可得a2?a?2≠02所以“a=12”是“直線l與故選：C.【變式82】（2023春·甘肅蘭州·高二校考開學考試）已知經過點A?2,0和點B1,3a的直線l1與經過點P0,?1和點Qa,?2a的直線lA．0 B．1 C．0或1 D．?1或1【解題思路】求出直線l1的斜率為k1=a，分a≠0、a=0兩種情況討論，在a≠0時，由兩直線斜率之積為?1可求得實數a的值；在a=0【解答過程】直線l1的斜率k①當a≠0時，直線l2的斜率k因為l1⊥l2，所以k1②當a=0時，P0,?1、Q0,0，此時直線l2又A?2,0、B1,0，則直線l1為x綜上可知，a=0或1.故選：C.【變式83】（2023·全國·高三專題練習）若直線ax?4y+2=0與直線2x+5y+c=0垂直，垂足為(1,b)，則a+b+c=（

）A．?6 B．4 C．?10 D．?4【解題思路】根據垂直關系可求a，再根據點在直線上可求b，c，從而可得正確的選項.【解答過程】因為ax?4y+2=0與直線2x+5y+c=0垂直，故2a?20=0即a=10，因為垂