2023-2024學(xué)年上海市區(qū)域高考數(shù)學(xué)4月模擬試題（一模）一、填空題1．已知集合中的最大元素為，則實(shí)數(shù)________.【正確答案】1【分析】依題意可得，解得，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)椋裕裕獾没颍@然不滿足集合元素的互異性，故舍去，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．故2．函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間為________.【正確答案】【分析】根據(jù)嚴(yán)格減區(qū)間定義即可得出答案.【詳解】因?yàn)榈膯握{(diào)減區(qū)間為，所以的嚴(yán)格減區(qū)間為.故3．若函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則________.【正確答案】/【分析】利用偶函數(shù)的定義即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以．故答案為.4．若某圓錐高為3，其側(cè)面積與底面積之比為，則該圓錐的體積為________.【正確答案】【分析】由題意可列出關(guān)于圓錐底面半徑和母線的方程組，解方程組即可求得底面半徑和母線，從而可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)此圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，扇形的弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑是圓錐母線長(zhǎng)，所以，，又側(cè)面積與底面積之比為，所以，所以，結(jié)合可解得，，所以該圓錐的體積.故

5．已知樣本數(shù)據(jù)2、4、8、的極差為10，其中，則該組數(shù)據(jù)的方差為________.【正確答案】【分析】由題意先求得，再求得數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由方差的計(jì)算公式求值即可.【詳解】由題意得，所以，所以該組的平均數(shù)為，由方差的計(jì)算公式可知.故6．在財(cái)務(wù)審計(jì)中，我們可以用“本?福特定律”來檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否造假.本?福特定律指出，在一組沒有人為編造的自然生成的數(shù)據(jù)(均為正實(shí)數(shù))中，首位非零的數(shù)字是這九個(gè)事件不是等可能的.具體來說，隨機(jī)變量是一組沒有人為編造的首位非零數(shù)字，則.則根據(jù)本?福特定律，首位非零數(shù)字是1與首位非零數(shù)字是8的概率之比約為________(保留至整數(shù)).【正確答案】6【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：．故6.7．若，則________.【正確答案】【分析】二項(xiàng)展開式中通過賦值法求解即可.【詳解】令，得，令，得，所以．故答案為.8．若向量與不共線也不垂直，且，則向量夾角________.【正確答案】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求夾角即可.【詳解】由題意可得：，故：，即向量與的夾角為.故9．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是A，其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是是坐標(biāo)原點(diǎn)，若A在第一象限，且，則________.【正確答案】【分析】設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得B坐標(biāo)，再由得A橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求值即可.【詳解】設(shè)，則由共軛復(fù)數(shù)的概念可得：，由得：，因?yàn)椋裕剩?故答案為.10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的漸近線與圓在第一象限的交點(diǎn)為M，線段與C交于點(diǎn)N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則C的離心率為__________．【正確答案】【分析】由可知N是的中點(diǎn)，求出N的坐標(biāo)，帶入雙曲線的方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】的漸近線為：，焦點(diǎn)，∵漸近線與圓在第一象限的交點(diǎn)為M聯(lián)立可得，所以N是的中點(diǎn)，，因?yàn)镹在雙曲線上，化簡(jiǎn)得：所以離心率為，故11．若項(xiàng)數(shù)為10的數(shù)列，滿足，且，則數(shù)列中最大項(xiàng)的最大值為________.【正確答案】8【分析】根據(jù)數(shù)列的增減性計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋曰颍环猎O(shè)，即中相鄰兩項(xiàng)相差最大為2，但又要保證，則數(shù)列中的項(xiàng)有增有減，假如中有個(gè)2，增量最大為，則有項(xiàng)是減少的，則必有，所以，解得或4，取，取最大值0，按最大連續(xù)增量8計(jì)算，有，即中有最大值為．故812．若實(shí)數(shù)使得存在兩兩不同的實(shí)數(shù)，有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【正確答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)得到的三個(gè)互不相同的根，，且有，進(jìn)而得到，化簡(jiǎn)可得時(shí)有三個(gè)不同的根，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕砜傻茫瑯?gòu)造函數(shù)，令為的三個(gè)互不相同的根，則，令，，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，所以為使的三個(gè)互不相同的根，則，且有，得到，原式可得：，化簡(jiǎn)得：，取，得到，解得時(shí)有三個(gè)不同的根，又因?yàn)椋裕赎P(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查方程與函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出值域，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.二、單選題13．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何？”，該問題中，善走男第日所走的路程里數(shù)是（

）.A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由題意可得此人所走的里數(shù)為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算可得答案．【詳解】解：由題意設(shè)此人第一天走里，第二天走里，，第天走里，是等差數(shù)列，首項(xiàng)是，因?yàn)椋裕蔬x：D．14．“表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】由已知條件求得之間的關(guān)系和范圍，再根據(jù)充分不必要條件的判定，可得選項(xiàng).【詳解】若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則需，即，所以，所以“表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是，故選：C.本題考查方程表示橢圓的條件，以及命題的充分不必要條件的判定，屬于中檔題.15．若干個(gè)能確定一個(gè)立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的“基本量”．已知長(zhǎng)方體，下列四組量中，一定能成為該長(zhǎng)方體的“基本量”的是（

）A．，，的長(zhǎng)度B．，，的長(zhǎng)度C．，，的長(zhǎng)度D．，BD，的長(zhǎng)度【正確答案】A【分析】根據(jù)題意列式求解，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】設(shè)，對(duì)于選項(xiàng)A：可得，據(jù)此可以解出，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，據(jù)此無法解出，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，據(jù)此無法解出，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：可得，據(jù)此無法解出，故D錯(cuò)誤；故選：A.

16．設(shè)關(guān)于、的表達(dá)式，當(dāng)、取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，（

）A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值，無最小值C．無最大值，有最小值 D．既無最大值，也無最小值【正確答案】D【分析】根據(jù)，，的范圍可以確定，但根據(jù)余弦函數(shù)取值特點(diǎn)，取不到端點(diǎn)值，用換元方法證明，進(jìn)而得出答案.【詳解】由，，，易知.同時(shí)，由于是無理數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故兩端均不能取得等號(hào).補(bǔ)充證明：二元表達(dá)式（）可以取到任意接近和的值，從而該式無最值.①取，（），則.對(duì)任意，由抽屜原理，存在，使得.再考慮，使得（由的無理性，兩頭都不取等）.則時(shí)，，從而，，即證.②取，（），則.對(duì)任意，由抽屜原理，存在，使得.再考慮，使得（不取等的理由同上）.則時(shí)，，從而，，即證.故選：D．三、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中，在以原點(diǎn)為圓心半徑等1的圓上，將射線繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后交該圓于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo).(1)如果，，求的值（用表示）；(2)如果，求的值.【正確答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）由題設(shè)知，根據(jù)三角函數(shù)與單位圓的關(guān)系及和角正余弦公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求，，進(jìn)而可得.（2）由題設(shè)可得求，再由倍角余弦公式、萬能公式可得，即可求值.【詳解】（1）由題設(shè)知：，則，∴，，∴，而，，則，∴，時(shí)，；，時(shí)，.（2）由題設(shè)，，可得，又，∴.18．如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．(1)求證：平面AMB//平面DNC；(2)若MC⊥CB，求證：BC⊥AC．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由線面平行的判定可證MB//面DNC、MA//面DNC，再用面面平行的判定證結(jié)論；（2）由面面垂直的性質(zhì)得AM⊥平面MBCN，再由線面垂直的性質(zhì)、判定證BC⊥面AMC，最后由線面垂直的性質(zhì)證線線垂直即可.【詳解】（1）因?yàn)镸B//NC，MB面DNC，NC面DNC，所以MB//面DNC．因?yàn)锳MND是矩形，所以MA//DN，又MA面DNC，DN面DNC，所以MA//面DNC．又MA∩MB=M，且MA、MB平面AMB，所以面AMB//面DNC．（2）因?yàn)锳MND是矩形，所以AM⊥MN．因?yàn)槊鍭MND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN=MN，AM面AMND，所以AM⊥平面MBCN，而BC平面MBCN，所以AM⊥BC．因?yàn)镸C⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM面AMC，所以BC⊥面AMC，因?yàn)锳C面AMC，所以BC⊥AC．19．某科技公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)，需了解年研發(fā)費(fèi)x（單位：萬元）對(duì)年銷售量y（單位：百件）和年利潤(rùn)（單位：萬元）的影響，現(xiàn)對(duì)近6年的年研發(fā)費(fèi)和年銷售量（，2，…，6）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

12.52223.5157.5168004.51254270表中，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)，根據(jù)（2）的結(jié)果，當(dāng)年研發(fā)費(fèi)為多少時(shí)，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，.【正確答案】(1)；(2)；(3)30萬元.【分析】（1）由散點(diǎn)圖可以判斷更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類型；（2）令，建立y關(guān)于的線性回歸方程，再利用最小二乘法求出y關(guān)于μ的線性回歸方程即得解；（3）求出，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值得解.【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可以判斷更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類型.（2）令，所以.，，所以y關(guān)于μ的線性回歸方程，因此，關(guān)于x的回歸方程為.（3）由（2）可知，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)研發(fā)費(fèi)為30萬元時(shí)，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值最大.20．貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國(guó)數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對(duì)貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測(cè)試，提出了DeCasteljau算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的比例，使用遞推畫法，可以畫出地物線．反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論．如圖所示，拋物線，其中為一給定的實(shí)數(shù).

(1)寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；(2)若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值；(3)如圖，A，B，C是H上不同的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，證明：．【正確答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)拋物線方程寫出焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程即可；（2）聯(lián)立方程，由即可得解；（3）設(shè)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)求得斜率，進(jìn)而可求得三條切線方程，從而可求得點(diǎn)、、的橫坐標(biāo)，再根據(jù)結(jié)論中線段長(zhǎng)度的比例可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比例，即可得證.【詳解】（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為；（2）將代入，化簡(jiǎn)得（*），方程（*）的判別式，化簡(jiǎn)得，解得；（3）設(shè)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，由，消去并化簡(jiǎn)得，，，，解得，故切線方程為，，，即，同理可求得拋物線上過點(diǎn)B，C的切線方程分別為：，，聯(lián)立，解得，即，同理可得，，因?yàn)椋裕P(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問結(jié)論中線段長(zhǎng)度的比例可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比例，是解決本題的關(guān)鍵.21．設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果對(duì)任意的、均成立，則稱是“平緩函數(shù)”.(1)若，試判斷和是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:時(shí)，恒成立)(2)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”，且是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對(duì)任意的、，均有;(3)設(shè)為定義在上函數(shù)，且存在正常數(shù)使得函數(shù)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列滿足:，試證明:對(duì)任意的正整數(shù).【正確答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用是“平緩函數(shù)”判斷可得答案；（2）設(shè)、，分、，根