2023-2024學(xué)年上海市高考數(shù)學(xué)5月模擬試題（三模）一、填空題1．已知集合，，則_____________．【正確答案】【分析】分別算出數(shù)集與，然后求交集即可.【詳解】因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得最小值為1，即；對(duì)于，，，即；.故答案為.2．若復(fù)數(shù)，則____________．【正確答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出z，再根據(jù)模的定義計(jì)算即可.【詳解】依題意：，，；故.3．的展開(kāi)式中的系數(shù)是______．（用數(shù)字作答）【正確答案】【分析】由二項(xiàng)式定理可得的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式結(jié)合條件可得答案.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令可得所以的展開(kāi)式中的系數(shù)是故4．方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的范圍是_________.【正確答案】【分析】方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的充要條件是，即可求解.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，解得.故5．已知，則的值為_(kāi)____________．【正確答案】/0.5【分析】由倍角公式以及誘導(dǎo)公式求解即可．【詳解】故6．已知a、b、1、2的中位數(shù)為3，平均數(shù)為4，則ab=________【正確答案】36【分析】根據(jù)中位數(shù)定義，和平均數(shù)公式，建立關(guān)系，求解即可.【詳解】設(shè)，1、2、a、b的中位數(shù)為3，則，解得：，，解得：，所以.故36本題考查中位數(shù)和平均數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7．已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)均與圓相切，右焦點(diǎn)和圓心重合，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_________.【正確答案】/【分析】根據(jù)題意求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，且右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，得到，結(jié)合兩條漸近線(xiàn)均與圓相切，列出方程求得，進(jìn)而求得的值，即可求得雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】由題意，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即，又由圓，可得圓心，半徑為，因?yàn)橛医裹c(diǎn)與圓心重合，所以雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，又因?yàn)殡p曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)均與圓相切，可得，即，解得，所以，所以雙曲線(xiàn)的離心率為.故答案為.8．一個(gè)盒子里有1個(gè)紅球和2個(gè)綠球，每次拿一個(gè)，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出綠球的個(gè)數(shù)為，則__________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的所有可能取值為，求得相應(yīng)的概率，利用期望公式，即可求解.【詳解】由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為，則；；，所以期望為.故答案為.9．已知過(guò)三點(diǎn)的球的小圓為，其面積為，且，則球的表面積為_(kāi)_________.【正確答案】【分析】小圓為的面積為求出其半徑，由正弦定理可得，由面利用勾股定理可得球半徑，可得球的表面積.【詳解】因?yàn)椋詾榈冗吶切危缦聢D，因?yàn)樾A為的面積為，其半徑為，所以，可得，由正弦定理可得，即，由可得，則球的表面積為.故答案為.10．函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)_____.【正確答案】或【分析】由函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性求解．【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，所以等價(jià)于.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，解得或，即不等式的解集為或故或．11．據(jù)調(diào)查，某地市民大約有0.03%的人患某種疾病，該地大約有0.1%的市民有超過(guò)20年的時(shí)間有某種不良飲食習(xí)慣，這些人患這種疾病的人約為10%.現(xiàn)從飲食不良習(xí)慣不超過(guò)20年的市民中隨機(jī)抽取1名市民，則他患此疾病的概率約為_(kāi)_________%（精確到0.01）.【正確答案】0.02%【分析】由條件概率及乘法公式計(jì)算即可.【詳解】事件為不良習(xí)慣不超過(guò)20年，則，所以，又因?yàn)椋?故0.02%12．已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為_(kāi)__________________．【正確答案】18【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】，由，可得，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，故，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故18二、單選題13．?dāng)?shù)列中，，對(duì)任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【正確答案】C【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.【詳解】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14．已知點(diǎn)為的外心，且，則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【正確答案】C【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，可得，，，分別利用，，和余弦定理可得答案.【詳解】三個(gè)角所對(duì)的三邊分別為，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，則，，，所以，，，因?yàn)椋裕矗捎嘞叶ɡ淼茫驗(yàn)椋裕礊殁g角三角形.故選：C.

15．某單位為了落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”理念，制定節(jié)能減排的目標(biāo)，隨機(jī)選取了4天的用電量與當(dāng)天氣溫，由散點(diǎn)圖可知用電量y（單位：度）與氣溫x（單位：℃）之間具有相關(guān)關(guān)系，已知，，由數(shù)據(jù)得線(xiàn)性回歸方程：，并預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫是5℃的時(shí)候用電量為（

）A．40 B．50 C．60 D．70【正確答案】B【分析】根據(jù)題意可知樣本中心為，又回歸方程必過(guò)樣本中心可知，，再將代入回歸方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕詷颖局行臑椋苫貧w方程必過(guò)樣本中心可知，所以，得，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：B.16．已知，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【正確答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，確定其最大值為正，再借助零點(diǎn)存在性定理推理作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋髮?dǎo)得：，令，，顯然在上單調(diào)遞減，而，，，則存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，則存在使得，即在上存在唯一零點(diǎn)，又，令，，則在上單調(diào)遞減，，，于是得，則存在使得，即在上存在唯一零點(diǎn)，綜上得：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選：C思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題.三、解答題17．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)求．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用代入，可求得角正切值；（2）由同角間的三角函數(shù)關(guān)系求得，由二倍角公式求得，再由兩角和的正弦公式計(jì)算．【詳解】（1），，，由正弦定理得，

．

化簡(jiǎn)得，

即．（2）由，是銳角，．

，．又是銳角，．

，．

∴．18．如圖所示，在四棱錐中，平面，平面，，，又，，為中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，再利用即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出平面的法向量，再利用向量的夾角公式即可求解；【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于，以為原點(diǎn)，以，，所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示因?yàn)椋?又，所以點(diǎn)到軸的距離為，到軸的距離為，則有,所以設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，即，又平面，所以平面.（2）由（1）知，平面的法向量為，所以設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則.所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.19．今年兩會(huì)期間，國(guó)家對(duì)學(xué)生學(xué)業(yè)與未來(lái)發(fā)展以及身體素質(zhì)的重要性的闡述引起了全社會(huì)的共鳴．某中學(xué)體育組對(duì)高二的名男生做了單次引體向上的測(cè)試，得到了如圖所示的頻率分布直方圖（引體向上個(gè)數(shù)記為整數(shù)）．體育組為進(jìn)一步了解情況，組織了兩個(gè)研究小組．(1)第一小組決定從單次完成個(gè)引體向上的男生中，按照分層抽樣抽取人進(jìn)行全面的體能測(cè)試，從這人中抽取人進(jìn)行個(gè)別訪(fǎng)談，求恰有一人單次能完成個(gè)引體向上的概率；(2)第二小組從學(xué)校學(xué)生的成績(jī)與體育鍛煉相關(guān)性角度進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)這人中，體育優(yōu)秀的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的，雙優(yōu)學(xué)生（體育與學(xué)業(yè)都優(yōu)秀）占總?cè)藬?shù)的，體育成績(jī)不優(yōu)秀的學(xué)生中，學(xué)業(yè)優(yōu)秀與學(xué)業(yè)不優(yōu)秀之比為．請(qǐng)你完成聯(lián)表并判斷是否有的把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績(jī)有關(guān)？學(xué)業(yè)優(yōu)秀學(xué)業(yè)不優(yōu)秀總計(jì)體育成績(jī)不優(yōu)秀體育成績(jī)優(yōu)秀總計(jì)參考公式：獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中．下面的臨界值表供參考：【正確答案】(1)(2)填表見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績(jī)有關(guān)【分析】（1）在所抽取的人中，分別求出抽取的單次完成個(gè)、個(gè)、個(gè)引體向上的人數(shù)，利用古典概型的概率公式以及組合計(jì)數(shù)原理可求得所求事件的概率；（2）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，計(jì)算出的觀(guān)測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：，按照分層抽樣抽取人進(jìn)行全面的體能測(cè)試，其中抽取的單次完成個(gè)引體向上的人數(shù)為，抽取的單次完成個(gè)引體向上的人數(shù)為，抽取的單次完成個(gè)的引體向上的人數(shù)為，記“恰有一人單次能完成個(gè)引體向上”為事件，則.（2）解：列聯(lián)表如下表所示：學(xué)業(yè)優(yōu)秀學(xué)業(yè)不優(yōu)秀總計(jì)體育成績(jī)不優(yōu)秀體育成績(jī)優(yōu)秀總計(jì)因?yàn)椋杂械陌盐照J(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績(jī)有關(guān).20．在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線(xiàn)，是曲線(xiàn)上一點(diǎn).(1)求曲線(xiàn)的方程；(2)設(shè)是軸左側(cè)（不含軸）上一點(diǎn)，在曲線(xiàn)上存在不同的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足的中點(diǎn)均在曲線(xiàn)上，設(shè)的中點(diǎn)為，證明：；(3)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若且直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，求證：為定值.【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，利用拋物線(xiàn)的定義，即可求得曲線(xiàn)的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為和是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合，即可得證；（3）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求得，再聯(lián)立方程組求得，得到和，即可得證.【詳解】（1）解：由題意，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)相切，即圓心到的距高等于到直線(xiàn)的距離，由拋物線(xiàn)的定義，可得曲線(xiàn)的方程為.（2）證明：設(shè)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)均在曲線(xiàn)上，可得，整理得；同理可得，即和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，因?yàn)椋?（3）證明：設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，整理得，設(shè)，則，，因?yàn)椋O(shè)直線(xiàn)的方程為，由，整理的，解得，可得，則，又由，解得，可得，所以.21．已知函數(shù).(1)求證：；(2)若，試比較與的大小；(3)若，問(wèn)是否恒成立？若恒成立，求的取值范圍；若不恒成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)恒成立，【分析】（1）直接作差令，求導(dǎo)判定差函數(shù)單調(diào)性及最小值即可得出結(jié)論；（2）作差令，分區(qū)間討論其導(dǎo)函數(shù)符號(hào)得出單調(diào)性及最小值即可；（3）令，利用端點(diǎn)效應(yīng)即得出時(shí)恒成立，再證明充分性即可.【詳解】（1）即證，令，，當(dāng)所以此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)