2023-2024學(xué)年福建省德化永安漳平聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試題（一模）一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】求出兩個(gè)集合，再根據(jù)集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算即可.【詳解】由題意可得：，所以，故.故選：C2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，，，所以.故選：A3．在數(shù)列中，“數(shù)列是等比數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及充分不必要條件的定義即可判斷，【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，得，若數(shù)列中，則數(shù)列不一定是等比數(shù)列，如數(shù)列，所以反之不成立，則“數(shù)列是等比數(shù)列”是“”的充分不必要條件．故選：A.4．已知平面向量，，且，則（

）A．1 B．14 C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式以及數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕?故選：B5．某興趣小組研究光照時(shí)長(zhǎng)x（h）和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點(diǎn)圖．若去掉后，下列說法正確的是（

）A．相關(guān)系數(shù)r變小 B．決定系數(shù)變小C．殘差平方和變大 D．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)【正確答案】D【分析】從圖中分析得到去掉后，回歸效果更好，再由相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，殘差平方和和相關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷即可．【詳解】從圖中可以看出較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉后，回歸效果更好，對(duì)于A，相關(guān)系數(shù)越接近于1，模型的擬合效果越好，若去掉后，相關(guān)系數(shù)r變大，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，決定系數(shù)越接近于1，模型的擬合效果越好，若去掉后，決定系數(shù)變大，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，若去掉后，殘差平方和變小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若去掉后，解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，且是正相關(guān)，故D正確．故選：D．6．已知，，且，則ab的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【正確答案】C【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算及換底公式可得，運(yùn)用基本不等式可求得的最小值.【詳解】∵，∴，即：∴，∵，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為16.故選：C.7．如圖，點(diǎn)、、、、為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)可確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖所示，在正方體中，且，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫妫矫妫裕矫妫砜勺C平面，因?yàn)椋⑵矫妫裕矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫妫势矫妫珹滿足；對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示，連接，在正方體中，且，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，所以，，因?yàn)槠矫妫矫妫裕矫妫珺滿足；對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示，在正方體中，取的中點(diǎn)，連接、、，因?yàn)榍遥⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，，則，所以，、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)榍遥瑒t四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，所以，，因?yàn)槠矫妫矫妫裕矫妫珻滿足；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示，在正方體中，取的中點(diǎn)，連接、、、、、，因?yàn)榍遥⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，，故，所以，、、、四點(diǎn)共面，同理可證，故，同理可得，，反設(shè)平面，因?yàn)椋移矫妫瑒t平面，但與平面有公共點(diǎn)，這與平面矛盾，故平面，D不滿足.故選：D.8．已知滿足，且在上單調(diào)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】通過對(duì)稱軸與對(duì)稱點(diǎn)得出的式子，再通過單調(diào)得出的范圍，即可得出答案.【詳解】滿足，，，即，，在上單調(diào)，，即，當(dāng)時(shí)最大，最大值為，故選：B.二、多選題9．若直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度可能等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【正確答案】CD【分析】首先找到直線所過定點(diǎn)，根據(jù)直線所截圓的弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)的取值范圍，進(jìn)而求出的長(zhǎng)度可能的取值.【詳解】已知直線恒過點(diǎn)，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.當(dāng)直線經(jīng)過圓心時(shí)，所得弦長(zhǎng)最大，；當(dāng)直線與所在直線垂直時(shí)，所得弦長(zhǎng)最小，，因此可得：，故的長(zhǎng)度可能等于4或5.故選：CD10．已知函數(shù)（）是奇函數(shù)，且，是的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．的一個(gè)周期是4 C．是偶函數(shù) D．【正確答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性與可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得從而可判斷B項(xiàng)，根據(jù)周期性與奇偶性可判斷A項(xiàng)，根據(jù)奇偶性與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可得，從而可判斷C項(xiàng)，在中，令代入計(jì)算可判斷D項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，，所以，所以，即：，故的周期為4，所以，故的一個(gè)周期為4，故B項(xiàng)正確；，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，所以，即：，所以為偶函數(shù)，故C項(xiàng)正確；因?yàn)椋裕睿傻茫獾茫海蔇項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11．一口袋中有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中無放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個(gè)紅球，則（

）A．事件，為互斥事件 B．事件B，C為獨(dú)立事件C． D．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)互斥事件、獨(dú)立事件的定義判斷AB，由組合知識(shí)求得判斷C，根據(jù)條件概率的定義求得判斷D．【詳解】第一次取出的球是紅球還是白球兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥的，A正確；由于是紅球有3個(gè)，白球有2個(gè)，事件發(fā)生時(shí)，兩球同為白色或同為紅色，，事件不發(fā)生，則兩球一白一紅，，不獨(dú)立，B錯(cuò)；，C正確；事件發(fā)生后，口袋中有3個(gè)紅球1個(gè)白球，只有從中取出一個(gè)紅球，事件才發(fā)生，所以，D正確．故選：ACD．12．如圖圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

）A．球與圓柱的體積之比為B．四面體CDEF的體積的取值范圍為C．平面DEF截得球的截面面積最小值為D．若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為【正確答案】AD【分析】根據(jù)給定的條件，利用球、圓柱的體積公式計(jì)算判斷A；利用建立函數(shù)關(guān)系判斷B；求出球心O到平面DEF距離的最大值判斷C；令點(diǎn)P在圓柱下底面圓所在平面上的投影點(diǎn)為Q，設(shè)，利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系，求出值域作答.【詳解】對(duì)于A，球的體積為，圓柱的體積，則球與圓柱的體積之比為，A正確；對(duì)于B，設(shè)為點(diǎn)到平面的距離，，而平面經(jīng)過線段的中點(diǎn)，四面體CDEF的體積，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，過作于，如圖，而，則，又，于是，設(shè)截面圓的半徑為，球心到平面的距離為，則，又，則平面DEF截球的截面圓面積，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令經(jīng)過點(diǎn)P的圓柱的母線與下底面圓的公共點(diǎn)為Q，連接，當(dāng)與都不重合時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)與之一重合時(shí)，上式也成立，因此，，則，令，則，而，即，因此，解得，所以的取值范圍為，D正確.故選：AD思路點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.三、填空題13．在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為___________【正確答案】【分析】先由二項(xiàng)式系數(shù)最大確定,再由通項(xiàng)公式求含項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可得.∴通項(xiàng)公式，令，解得.∴展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為.14．已知，，則______．【正確答案】0【分析】將平方，結(jié)合可得，利用二倍角余弦公式將化簡(jiǎn)求值，可得答案.【詳解】將平方得，結(jié)合可得，即，則，故015．費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點(diǎn)P為雙曲線（，為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，l是點(diǎn)處的切線，過左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為M，則______．【正確答案】2【分析】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，結(jié)合題意得點(diǎn)為的中點(diǎn)，，從而得到，再結(jié)合雙曲線的定義即可求解．【詳解】如圖，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是的角平分線上的一點(diǎn)，且，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，所以．故2．16．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為l：，若對(duì)任意，都有成立，則______．【正確答案】/【分析】根據(jù)條件表示出，再令，求導(dǎo)分類研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕裕睿瑒t，則，，令，則，令，得，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，則，單調(diào)遞增，，即，所以當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，，則，單調(diào)遞增，，即，所以當(dāng)，時(shí)，成立，綜上所述.故答案為.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．四、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，且AC邊上的高為，求的周長(zhǎng)．【正確答案】(1)(2)15【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式得到，再利用余弦的倍角公式得到，解得，從而得到；（2）由比例引入常數(shù)，利用三角形面積相等得到，從而利用余弦定理得到關(guān)于的方程，解之即可得到，由此得解.【詳解】（1）因?yàn)椋杂傻茫裕獾没颍驗(yàn)椋裕瑒t，故，則，故．（2）因?yàn)椋睿瑒t，由三角形面積公式可得，則，故，由余弦定理可得，則，解得，從而，，，故的周長(zhǎng)為．18．設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)設(shè)出公差和首項(xiàng)，代入題中式子求解即可；（2）列出通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)求出的前n項(xiàng)和，再根據(jù)通項(xiàng)求出的前2n項(xiàng)和，兩式相減解得的通項(xiàng)公式，最后分組求和求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】（1），設(shè)公差為d，首項(xiàng)為，因?yàn)楣畈粸?，所以解得，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.（2）

①

②得，解得19．在三棱錐中，底面為等腰直角三角形，.(1)求證：；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，可證，即，從而證得面，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，過S作面，垂足為D，連接，以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為E，連結(jié)，∵，∴，在和中，∴，∴，∵的中點(diǎn)為E，∴，∵，∴面，∵面，∴（2）過S作面，垂足為D，連接，∴∵，平面∴，同理，∵底面為等腰直角三角形，，∴四邊形為正方形且邊長(zhǎng)為2.以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，∴，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，∴，設(shè)平面與平面夾角為故平面與平面夾角的余弦值為.20．某校舉行“強(qiáng)基計(jì)劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)，要求以班級(jí)為單位參賽，最終高三一班（45人）和高三二班（30人）進(jìn)入決賽．決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)紙箱，甲箱中有4個(gè)選擇題和2個(gè)填空題，乙箱中有3個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，決賽由兩個(gè)環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩班級(jí)每位同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答，作答后放回原箱．并分別統(tǒng)計(jì)兩班級(jí)學(xué)生測(cè)評(píng)成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)；環(huán)節(jié)二：由一班班長(zhǎng)王剛和二班班長(zhǎng)李明進(jìn)行比賽，并分別統(tǒng)計(jì)兩人的測(cè)評(píng)成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)，兩個(gè)環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計(jì)得分，以累計(jì)得分的高低決定班級(jí)的名次．(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，按照分層抽樣的方法從兩個(gè)班級(jí)抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計(jì)每位同學(xué)答對(duì)題目的數(shù)量，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為：一班抽取同學(xué)答對(duì)題目的平均數(shù)為1，方差為1；二班抽取同學(xué)答對(duì)題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.25，求這20人答對(duì)題目的均值與方差；(2)環(huán)節(jié)二，王剛先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后李明再抽取題目，已知李明從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求王剛從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率．【正確答案】(1)樣本均值為1.2，樣本方差為0.76(2)【分析】（1）首先求分層抽取的兩個(gè)班的人數(shù)，再根據(jù)兩個(gè)班抽取人數(shù)的平均數(shù)和方差，結(jié)合總體平均數(shù)和方差公式，代入求值；（2）根據(jù)全概率公式和條件概率公式，即可求解.【詳解】（1）一班抽取人，二班抽取人，一班樣本平均數(shù)為，樣本方差為；二班樣本的平均數(shù)為，樣本方差為；總樣本的平均數(shù)為．記總樣本的樣本方差為，則．所以，這20人答對(duì)題目的樣本均值為1.2，樣本方差為0.76．（2）設(shè)事件A為“李明同學(xué)從乙箱中抽出的第1個(gè)題是選擇題”，事件為“王剛同學(xué)從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，事件為“王剛同學(xué)從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題"，事件為“王剛同學(xué)從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，則、、，彼此互斥，且，，，，，，，所求概率即是A發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：．21．已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，面積的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線、的斜率分別為、，且．①求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．②設(shè)和的面積分別為、，求的最大值．【正確答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）①分析可知直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，可知，設(shè)點(diǎn)、將直線的方程的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用求出的值，即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的最大值.【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：①設(shè)點(diǎn)、若直線的斜率為零，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，由于直線不過橢圓的左、右焦點(diǎn)，則，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，則，所以，，解得，即直線的方程為，故直線過定點(diǎn).②由韋達(dá)定理可得，，所以，，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)