吉林大學2019學年第一學期《高等數(shù)學（2-1》期末模擬試卷業(yè)班級 姓 學 課系室 數(shù)學 試日期 2019年1月11日 頁 號一二三四五六總分得 分閱卷人注 意事 項1．請在試卷正面答題，反面及附頁可作草稿紙答題時請注意書寫清楚，保持卷面清潔；100本頁得分本頁滿分36本頁得分本頁滿分36分1lim(exx)x21．x0 .1x1x5exexx2． .3yy(x)x

xyet2t1

x0.4.設fx1ft)tf(x)，f)1

fx.5．分程y4y4y0的通為 .二．選擇題（共4小題，每小題4分，共計16分）f(x)lnxxk常數(shù)k0，函數(shù) e 在(0,內點的數(shù)（ ）.(A) 3個; (B) 2個; (C) 1個; (D) 0個.分程4y3cos2x的特形為（ ）.（A）yAcos2x; （B）y2x;（C）y2xBxsin2x; （D）y*Asin2x.列論一成是（ ）.

dfxdxbfxdx若c

a,b,則必有c a ;;b;

f(x)

在

上可積,則

afxx0

aTfxdxTfxdxx若fx是周期為T的連續(xù)函數(shù),則對任意常數(shù)a都有a 0 ;x

fx

為奇函數(shù),則

0tft

也為奇函數(shù).fx

11ex1設

2

,則x0是f(x)的（ ）.連續(xù); (B) 可間斷;躍斷; (D) 無間斷.三．計算題（共5小題，每小題6分，共計30分）本頁得分本頁滿分12本頁得分本頁滿分12分

2x3ex2dx0 .

xsinxdxcos5x 本頁得分本頁滿分12分xa(tsin本頁得分本頁滿分12分ya(1cost),

t求擺線

在 2處的線程.

F(x) xcos(x20

，求F(x).本頁得分本頁滿分15分x本頁得分本頁滿分15分

limxnn(nn(n1)(n2)(n(2n)

，求n .xxy

與該曲線過坐標原點的切線及x軸所圍圖形的面積.本頁得分本頁滿分18分Dx2y22xyxDx本頁得分本頁滿分18分旋轉一周所生成的旋轉體的體積.3. a最小值.

f(tatat在內的駐點為

t(a).

問a為何值時t(a)最小?并求本頁得分本頁滿分7分五．證明題（本頁得分本頁滿分7分f(0)f=

1(1)f2

設函數(shù)0

f

在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內可導且試證明至少存在一點(0,1),使得f()=1.一．填空題（每小題45題共20分：1lim(exx)x21．x0

1e2.e1x1x5exexxe2． .yy(x)

xyet2t1

x0

1x1xx設fx可導，且1ft)tf(x

，f1，則fxe2 .y4y4y0yC2x)e2x.二．選擇題（每小題44題共16分：f(x)lnxxk常數(shù)k0，函數(shù) e 在(0,零點個為（ B ）.(A) 3個; (B) 2個; (C) 1個; (D) 0個.分程y4y3cos2x的特形為（ C ）（A）yAcos2x； （B）y2x；（C）y2xBxsin2x； （D）y*Asin2x列論一成是 （A）

dfxdxbfxdx;(A)若c;

a,b,必有c a ;(B)

bf(x0b

上可積,則

afxx0(C)

fx

是周期為T的連續(xù)函數(shù),則對任意常數(shù)a都有aTfxdxTfxdxa 0 ;x(D) x

fx

為奇函數(shù),則

0tft

也為奇函數(shù).fx

11ex1設

2

,則x0是f(x)的（ C ）.連續(xù); (B) 可間斷;(C) 躍斷; (D) 無間斷三計（每小題6，5題共30分：

2x3ex2dx.x2t則

2xex2dx21ttdt12tdt解：1

0t

022t

20 -------22te2

00

dt

-------2e21et213e22 0 2

--------2

xsinxdxcos5x 解：xsinxdx解：

xd(

1 )1 x

dxcos5x

4 cos4x

4co4

cos4x

--------3 x 4cos4x

(tan2x1)dtanx x 1tan3x1xC4cos4x 12 4

-----------3xa(tsint),ya(1cost),

t求擺線(a(1),

在 2處的線程.a)解：點為 2kdy dxt

t

-------2asia(1asia(1co

-------2切線方程為F(x)

yaxa(2x2t)dtx

yx(2即 2

. -------2設

cos(x0

，則F(x)2xcosx2(2x1)cos(x2x).nxn(n1)(n2)(n3)(2n)n

limxn設 n

，求n .lnxn解：

1nni

li)n

---------2limlnxm1n1n

i)1

ln(1x)dxnn nin

nn

--------------211xx)1 x dx2ln21=0 0=

1x

------------2limx故n

e2ln214n= exxy

與該曲線過坐標原點的切線及x軸所圍圖形的面積.解：y設切,)，則原的線方為 2

1 x22 ，2x22y0x22

.-----3過原點和點(4,

2)的線程為y3222面積s222

(y22

232y)dy3=

-------------------3s21xdx41x

x2)dx或 022

( 222 3Dx2y22xyxDx2.解：法一：VV1V200211y2)2dy(2y)2dy00011y2(y)2dy0

-------61(y1)31(1)40343 403432xx212xx21法二：V=

0(2)(x)dx10(21

2xx2dx1(2xx20

------------------52xx201(22xx20

22xx2dx43323

31(2xx2)20

2

1144 321241223 2 3 2 3

-------------43. a小值.

f(tatat在內的駐點為

t(a).

問a為何值時t(a)最小?并求最f(tatlnaat(a1lnlna.解: lnat(alnlna1aeea(la)2

---------------3------------3aee,t(a)aee,t(a)aee2aee為t(a)的最小值點,最小值為t(ee)1lne11.故五．證明題（7分）

e e 1f(x在上連續(xù)，在內試證明至少存在一點,f

f

f()1121證明：設F(x)f(x)x，F(xiàn)(x)在[0,1]上連續(xù)在(0,1)可導，因f(0)=f(1)=0,有F(0)f0f11, 21f()=1又由 2 ，

1 1 1 1 F()=f(