湖北省部分省級示范高中2024~2025學年下學期期中測試高二數學試卷命題人：武漢市第十二中學段玉慧審題人：武漢市第二十三中學何同海考試時間：2025年4月24日試卷滿分：150分★祝考試順利★注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如果函數在處的導數為1，那么（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用導數的定義即可.【詳解】由題意可知，則.故選：D2.等比數列的各項均為正數，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比數列的基本性質得出，再結合對數的運算性質可求得結果.【詳解】因為等比數列的各項均為正數，且，由等比數列的性質得，因此，.故選：B.3.系統的登錄密碼由個字符組成，其中前位是大寫字母、、、的某種排列，后位是不相同的數字，則可能的密碼總數是多少（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用倍縮法可得出前個位置的排法種數，利用排列計數原理可得出后兩位的排法種數，再利用分步乘法計數原理可得結果.【詳解】由題意可知，前個位置中有兩個位置安排字母，有種，然后從中選擇兩個不同的數字排最后兩個位置，有種，由分步乘法計數原理可知，可能的密碼種數為.故選：C.4.函數在上單調遞增的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將問題轉化為在上恒成立，然后分離參數，構造函數，利用導數求得其最大值，即可得到結果.【詳解】由題意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，當時，，則函數單調遞增，當時，，則函數單調遞減，所以時，有極大值，即最大值，，所以.

故選：A5.設函數的導函數，則數列的前100項和是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據函數的導函數可得，再利用裂項求和可求得結果.【詳解】由可得其導函數為，又，可得，所以，所以，因此數列的前100項和為.故選：C6.已知，則曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先對原函數求導并結合賦值法求解原函數，再利用導數求出切線方程，求出切線和坐標軸的交點，最后得到三角形面積即可.【詳解】因為，所以，令，得到，解得，代回原函數得到，而，故切點為，而，，設曲線在處的切線斜率為，由導數的幾何意義得，故切線方程為，化簡得，令，得到，所以與軸交點為，令，得到，所以與軸交點為，且設三角形面積為，故，故B正確.故選：B7.已知是定義在區間上的函數，其導函數為，且不等式恒成立，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據不等式可構造函數，判斷出函數在上單調遞減即可得出結論.【詳解】由可得，令函數，可得即在上單調遞減，因此可得，即，所以.故選：B8.初等數論中的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數學家證明．四平方和定理的內容是：任意正整數都可以表示為不超過四個自然數的平方和，例如正整數．設，其中均為自然數，則滿足條件的有序數組的個數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】這道題考查的是排列的應用，首先找出小于等于的自然數的平方有哪些，再列出可由哪些平方數（不超過四個）相加而成，最后算出這些數的排列數即可.【詳解】小于等于的自然數的平方有：，而，由構成的有序數組的個數為：個；由構成的有序數組的個數為：個；由構成的有序數組的個數為：個；所以一共有：個.故選：C.【點睛】方法點睛：本題主要考查排列的應用，局部元素相同法求排列數：在對元素進行排列時，出現部分元素相同時，則要除以相同元素數量的全排列，以消除順序，有多少就除多少；思路點睛：解題時先求出可由哪些平方數（不超過四個）相加而成，再應用排列的相關知識求排列數，最后相加即為最后的答案；關鍵點點睛：這道題考查排列及排列數問題，列出三種情況后能否求出其排列數是關鍵，故應對局部元素相同的排列數的求法加以鞏固.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列函數求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則、復合函數求導法則計算即可.【詳解】由基本初等函數的導數公式可知，A正確；，故B錯誤；，故C正確；令，則，則，，則，故D錯誤；故選：AC10.2025年某影院在春節檔引入了5部電影，包含3部喜劇電影、2部動畫電影．其中《哪吒之魔童鬧海》票房超150億，成為全球動畫票房冠軍．該影院某天預留了一個影廳用于放映這5部電影，這5部電影當天全部放映，則下列選項正確的是（）A.《哪吒之魔童鬧海》不排在第1場，共有96種排法B.兩部動畫片放映的先后順序固定（不一定相鄰），一定共有60種排法C.兩部動畫片相鄰放映，共有48種排法D.3部喜劇電影不相鄰，共有24種排法【答案】ABC【解析】【分析】由特殊元素優先法即可判斷A，由倍縮法即可判斷B，由捆綁法即可判斷C，由插空法即可判斷D.【詳解】對于A，先從剩下的四場中選一場排《哪吒之魔童鬧海》，然后另外的4部電影全排列，則有種排法，故A正確；對于B，5部電影全排列有種排法，因為兩部動畫片放映的先后順序固定，則有種排法，故B正確；對于C，先將兩部動畫片捆綁，再與另外三部電影全排列，則有種排法，故C正確；對于D，先排兩部動畫片，剛好形成3個空，將三部喜劇電影插入這3個空，則有種排法；故選：ABC11.煙花三月，鶯飛草長，美麗的櫻花開滿園.將櫻花抽象并按照一定的規律循環出下圖：圖①將櫻花抽象后，得櫻花數，圖②以櫻花五片花瓣為蕊作五個縮小版櫻花，得櫻花數，以此類推.假設第n個圖的櫻花數是，設數列的前n項和為.則下列說法正確的是（）A. B.C.數列是遞增數列 D.數列的前n項和為【答案】BCD【解析】【分析】寫出前3項可判斷A；利用累加法求出，繼而可求出，判斷B，利用作差法判斷數列單調性可判斷C；利用裂項相消求和可判斷D.【詳解】A，由題意可知，顯然，A錯誤；B，由題意可得，則，也適合，故，所以，B正確；C，，則，當時，，即，故數列是遞增數列，C正確；D，，故數列的前n項和為，D正確，故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.用數字、、、、組成的無重復數字的四位數的個數為_______．（用數字作答）【答案】【解析】【分析】首位不能排，有種選擇，然后在剩余個數字中選擇個排在剩余的三個數位上，結合分步乘法計數原理可得結果.【詳解】首位不能排，有種選擇，然后在剩余個數字中選擇個排在剩余的三個數位上，因此，滿足條件的四位數的個數為個.故答案為：.13.已知與分別是等差數列與等差數列的前n項和，且，則_______．【答案】4【解析】【分析】由等差數列下標和的性質，結合等差數列前項和的性質即可求解.【詳解】由題意知，由，所以，故答案為：414.已知定義在R上的偶函數滿足，且當時，．若，則在點處的切線方程為_______．【答案】【解析】【分析】利用賦值法令，可得，結合為偶函數可得，由，令可得，由為偶函數可得，再由直線的點斜式方程可得結果.【詳解】因為，所以，即，令，有，所以，因為為偶函數，所以，由，令得，所以，因為為偶函數，所以，所以在點處的切線方程為，即故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.數列的前項和為，已知且．（1）求數列的通項公式；（2）在數學中，常用符號“”表示一系列數的連乘，求集合中元素的個數．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當可求出的值，當時，由可得，兩式作差可得出，結合可知數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求出數列的通項公式；（2）化簡的表達式，然后解不等式，即可得出所求集合元素的個數.【小問1詳解】因為，即，當時，可得，則，當時，由可得，上述兩個等式作差可得，整理可得且，所以，數列為首項為，公比為的等比數列，故.【小問2詳解】由題可知：所以集合故集合中元素的個數為.16.2025武漢馬拉松于3月23日鳴槍開跑，4萬名跑者踏上一條串聯歷史與詩意、自然與繁華的賽道，感受這座“每天不一樣”的城市的蓬勃心跳．本次賽事設置全程馬拉松、半程馬拉松和13公里跑3個項目，社會各界踴躍參加志愿服務，現有甲、乙等5名大學生志愿者擬安排在三個項目進行志愿者活動，求（1）若將這5人分配到三個比賽項目，每個比賽項目至少安排1人，有多少種不同的分配方案？（2）若全程馬拉松項目安排3人，其余兩項各安排1人，且甲乙不能安排在同一項目，則有多少種不同的分配方案？【答案】（1）150（2）14【解析】【分析】（1）按照1，1，3或1，2，2兩種方式，先分組再分配即可；（2）先考慮5人中選3人安排到全程馬拉松項目的所有情況，再計算甲乙兩人在同一個項目的情況，利用間接法即可.【小問1詳解】將5個人分成3組，且每組至少1人，有兩種分法，若為1，1，3，則有種分組方式，再將分好的組進行分配，則不同的分配方案有共有種；若為1，2，2，則有種分組方式，再將分好的組進行分配，則不同的分配方案有共有種，所以由分類加法計數原理可知，共有種不同的分配方案.【小問2詳解】先從5人中選3人安排到全程馬拉松項目，有種方法，然后剩下2人安排到其余兩個項目，每個項目安排1人，有種，則共有種分配方案，若甲乙兩人在同一個項目，則甲乙只能安排到全程馬拉松項目，則剩下的3人每個項目安排1人即可，有種分配方案，最后共有種分配方案.17已知．（1）求函數極值；（2）過點做曲線的切線l，求切線l的方程．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對函數求導并對參數的取值進行分類討論，得出函數單調性即可求得極值；（2）設切點為，求出切線方程代入點可求得切點坐標，即可得切線方程.【小問1詳解】函數定義域為，，當時，，則上單調遞增，此時無極值；當時，令，則，則在上單調遞增；令，則，則在上單調遞減；此時的極小值為，無極大值.綜合上述，當時，無極值；當時，的極小值為，無極大值.【小問2詳解】設直線與曲線的切點坐標為，由（1）知，則在點處的切線斜率為，故切線方程為，①將點代入得解得.代回①得切線方程為.18.等差數列的前n項和為，數列滿足（1）求數列和的通項公式；（2）若從數列中依次剔除與數列的公共項，剩下的項組成新的數列，求數列的前50項和．【答案】（1），（2）4231【解析】【分析】（1）利用等差數列的性質求出公差即可求數列的通項公式；利用降標作差求得，再代入檢驗即可；（2）計算以及至，即可觀察得出數列中的項，進而利用等差數列的前項和公式計算.【小問1詳解】因數列是等差數列，則，得，又，所以，所以等差數列的公差，則，因，則當時，，兩式作差得，即，令，得，則，滿足上式，則，綜上，數列的通項公式為，數列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）可得，，且，經驗證數列前50項中與數列的公共項共有4項，分別為，從而數列中去掉的是這4項，所以.19.已知函數（1）求函數的單調區間；（2）若有兩個不相等的實數根，求證：.【答案】（1）函數在上單調遞減，在上單調遞增；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）通過對函數求導，借助于導函數的正負，即可判斷函數的單調區間；（2）由是的兩個不等實數根，由（1）知，構造新函數，利用