第頁，共頁龍門縣高級中學2023-2024學年第二學期高二月考考試數學試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（共40分）1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得的值，然后計算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.2.記為等差數列的前項和．若，則（）A.25 B.22 C.20 D.15【答案】C【解析】【分析】方法一：根據題意直接求出等差數列的公差和首項，再根據前項和公式即可解出；方法二：根據等差數列的性質求出等差數列的公差，再根據前項和公式的性質即可解出．【詳解】方法一：設等差數列的公差為，首項為，依題意可得，，即又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.3.（）A.1 B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】由題意首先化簡，然后計算其模即可.【詳解】由題意可得，則.故選：C.4.在三棱錐中，是邊長為2等邊三角形，，則該棱錐的體積為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取中點，連接，如圖，是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A5.在中，內角A，B，C所對的邊分別為，，.向量，.若，則角的大小為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據，得，由余弦定理可求.【詳解】因為向量，，因為，所以，即，由余弦定理可得.因為，所以，故選：B.6.下列函數中，在區間上單調遞增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函數的單調性，結合復合函數的單調性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對于A，因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上單調遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上單調遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調遞減，在上單調遞減，所以在上單調遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調，D錯誤.故選：C.7.已知隨機變量服從正態分布，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據正態分布曲線的對稱性進行求解即可.【詳解】，，.故選：C.8.根據統計，一名工人組裝第x件某產品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝(A，c為常數)．已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第A件產品用時15分鐘，那么c和A的值分別是A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16【答案】D【解析】【詳解】由題意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，可得出=30故=4，可得A=16從而c=15=60故答案為D二、多選題（每題6分，共18分，全部對6分，部分選對得部分分，錯選0分）9.已知函數的圖象是由函數的圖象向右平移個單位得到，則（）A.的最小正周期為πB.在區間上單調遞增C.的圖象關于直線對稱D.的圖象關于點對稱【答案】AD【解析】【分析】用二倍角公式化簡，向右平移后得，分別代入正弦函數的單調區間，對稱軸，對稱中心分別對四個選項判斷即可.【詳解】因為，向右平移個單位得，則最小正周期為，故A選項正確；令，解得，所以單調遞增區間為，故B選項錯誤；令解得，故C選項錯誤；令解得所以函數的對稱中心為，故D選項正確.故選：AD10.英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，經他研究，隨機事件A，B存在如下關系：.現有甲、乙、丙三臺車床加工同一件零件，甲車床加工的次品率為，乙車床加工的次品率，丙車床加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起，且甲、乙、丙3臺車床加工的零件數分別占總數的，，，設事件，，分別表示取到的零件來自甲、乙、丙車床，事件B表示任取一個零件為次品，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，利用獨立事件的乘法公式求解即得；對于B，根據縮小樣本空間的方法易得；對于C，利用全概率公式計算即得；對于D，運用貝葉斯概率公式求解即得.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因事件可理解為，在確定產品是丙機床生產的條件下得到該產品為次品，故有，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：ACD.11.已知雙曲線，則（）A.的取值范圍是 B.的焦點可在軸上也可在軸上C.的焦距為6 D.的離心率的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】根據雙曲線方程的特征，易于求得，判斷方程中分母的符號即可判斷A,B項，計算易得C項，先算出離心率的表達式，再根據的范圍，即可確定的范圍.【詳解】對于A，表示雙曲線，，解得，故A正確；對于B，由A項可得，故，的焦點只能在軸上，故B錯誤；對于C，設的半焦距為，則，，即焦距為，故C正確；對于D，離心率，，，的取值范圍是，故D錯誤．故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共15分）12.已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為____________．【答案】【解析】【分析】根據給定條件，求出雙曲線的實半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.【詳解】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案：13.已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④m，n是兩條異面直線，若，則．上面的命題中，真命題的序號是____________．（寫出所有真命題的序號）【答案】③④【解析】【分析】利用平面與平面平行的判定和性質可判斷各命題的真假．【詳解】若，則m與n平行或異面，故①錯誤；，但m與n不一定相交，不一定成立，故②錯誤；若，則，又由，則，故③正確；m，n是兩條異面直線，若，則過m的平面與平面相交于直線，有，過n的平面與平面相交于直線，有，m，n異面，一定相交，，如圖所示，由面面平行的判定可知，故④正確；故答案為：③④14.已知函數，給出下列四個結論：①若，恰有2個零點；②存在負數，使得恰有1個零點；③存在負數，使得恰有3個零點；④存在正數，使得恰有3個零點．其中所有正確結論的序號是_______．【答案】①②④【解析】【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數形結合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數求導得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當直線過點時，，解得，所以，當時，直線與曲線有兩個交點，若函數有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數求導得，由題意可得，解得，所以，當時，函數有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數的零點或方程的根的情況，求解參數的取值范圍問題的本質都是研究函數的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉化，即通過構造函數，把問題轉化成所構造函數的零點問題；（2）列式，即根據函數的零點存在定理或結合函數的圖象列出關系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數的取值范圍．四、解答題（共77分）15.已知函數，其中．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求函數的單調區間與極值．【答案】（1）（2）見解析

【解析】【分析】（1）根據題意得到函數的解析式，從而得到切點坐標和導函數，根據導函數在切點的函數值等于切線的斜率求解切線斜率，進而得到切線方程；（2）對函數求導，對參數取值范圍分類討論，根據導函數的符號確定函數的單調區間和極值.【小問1詳解】當時，，，又，．所以曲線在點處的切線方程為，即．【小問2詳解】．由于，以下分兩種情況討論．①當時，令，得到，．當變化時，的變化情況如下表：00單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減所以的單調遞減區間為，，單調遞增區間為．函數在處取得極小值，且，函數在處取得極大值，且．②當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表：00單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．函數在處取得極大值，且．函數在處取得極小值，且．16.已知向量．（1）若，求x的值；（2）記，求函數y＝f（x）的最大值和最小值及對應的x的值．【答案】（1）（2）時，取到最大值3；時，取到最小值.【解析】【分析】（1）根據，利用向量平行的充要條件建立等式，即可求x的值．（2）根據求解求函數y＝f（x）解析式，化簡，結合三角函數的性質即可求解最大值和最小值及對應的x的值．【詳解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴當時，即x＝0時f（x）max＝3；當，即時．【點睛】本題主要考查向量的坐標運用以及三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．17.2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024?內江市中區新春極光焰火草地狂歡節”在川南大草原舉行，共舉行了8場精彩的煙花秀節目．前5場的觀眾人數（單位：萬人）與場次的統計數據如表所示：場次編號x12345觀眾人數y0.70.811.21.3（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請建立y關于x的線性回歸方程；（2）若該煙花秀節目分A、B、C三個等次的票價，某機構隨機調查了該煙花秀節目現場200位觀眾的性別與購票情況，得到的部分數據如表所示，請將列聯表補充完整，依據的獨立性檢驗，能否認為該煙花秀節目的觀眾是否購買A等票與性別有關．購買A等票購買非A等票總計男性觀眾50女性觀眾60總計100200參考公式及參考數據：回歸方程中斜率與截距的最小二乘法估計公式分別為，，，其中．0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）（2）沒有的把握認為該煙花秀節目的觀眾是否購買A等票與性別有關【解析】分析】（1）利用表中數據結合最小二乘法計算回歸直線即可；（2）根據題意補全列聯表即可，再由卡方公式及獨立性檢驗的思想判定結果即可.【小問1詳解】由表格可知，可得，，則，所以；【小問2詳解】根據數據補全表格如下：

購買A等票購買非A等票總計男性觀眾405090女性觀眾6050110總計100100200所以，故沒有的把握認為該煙花秀節目的觀眾是否購買A等票與性別有關.18.已知橢圓C：的離心率為，且過點.（1）求C的方程；（2）設過C的左焦點且斜率為的直線與C交于M，N兩點，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據離心率公式可得ca=3（2）依題意求出過C的左焦點且斜率為的直線方程，求出弦長MN，設P到的距離為，根據，即得答案.【小問1詳解】設的半焦距為，則ca=3故.將代入C的方程有，故，，