第頁，共頁2024學年度吳淞中學高一第二學期期中考試數學學科一、填空題（1-6每小題3分7-12每小題4分，滿分共42分）1.函數的最小正周期為．【解析】已知，則復數為．【解析】如果，且為第四象限角，則的值是．【解析】已知向量，，若，則實數．【解析】1若復數（為虛數單位）的實部與虛部相等，則實數的值為.【解析】2已知，，則向量在向量方向上的投影向量為_________．【解析】已知復數滿足，其中為虛數單位，則．【解析】178.如圖，直角是的斜二測直觀圖，其中，斜邊，則的面積是______．【解析】關于的實系數一元二次方程有兩個虛根和，若，則實數_______【解析】已知正方形ABCD，邊長為1，點E是BC邊上一點，若，則______.【解析】11.如圖所示,平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點.若DE=λ2AB+2μAD(λ,μ∈R)，則λ+【解析】因為E為AO的中點，所以AE=所以DE=又因為DE=所以λ2=所以λ+μ=1已知,函數上的最大值為,則的最小值為【解析】,其中和在上均為增函數,∴,∴,∴.二、選擇題（每題3分，滿分共12分）13.設?為復數，則是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【解析】C14.若直線和是異面直線，在平面內，在平面內，是平面與平面的交線，則下列命題一定正確的是（）A.與、都不相交B.與、都相交C.至多與、中的一條相交D.至少與、中的一條相交【解析】D15.要得到函數的圖像，只需將函數的圖像……（）A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位【解析】A16.設是兩個非零向量、的夾角，若對任意實數，的最小值為1，則下列判斷正確的是（）A.若確定，則唯一確定B.若確定，則唯一確定C.若確定，則唯一確定D.若確定，則唯一確定【解析】D三、解答題（滿分共46分）17．（滿分共8分）如圖，已知正方體的棱長為1.若分別是的中點，求異面直線與所成角的大小。【解析】連結，因為分別是的中點，所以，又因為，所以異面直線與所成角為（或其補角）.由于,于是， 所以異面直線與所成角的大小為. 18.（滿分共8分）已知復數,其中為虛數單位.(1)若復數為純虛數,求的值；(2)求的最小值.【解析】(1).(2),則時,的最小值為.19.（滿分共8分）已知函數.(1)若角的終邊與單位圓交于點，求的值；(2)當時，求的單調遞增區間和值域.【解析】（1）∵角的終邊與單位圓交于點，∴（2）由得，又，所以的單調遞增區間是；∵，∴∴，的值域是.20．（滿分共10分）如圖，我海監船在島海域例行維權巡航，某時刻航行至處，此時測得其北偏東30°方向與它相距20海里的處有一外國船只，且島位于海監船正東18海里處；（1）求此時該外國船只與島的距離；（2）觀測中發現，此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方航行，為了將該船攔截在離島12海里的處（在的正南方向），不讓其進入島12海里內的海域，試確定海監船的航向，并求其速度的最小值（角度精確到0.1°，速度精確到0.1海里/小時）.【解析】（1）依題意，在中，，由余弦定理得所以即此時該外國船只與島的距離為海里．（2）過點作于點在中，,所以以為圓心，為半徑的圓交于點，連結、，在中，,所以又，所以，所以外國船只到達點的時間（小時）所以海監船的速度（海里小時）又，故海監船的航向為北偏東，速度的最小值為海里小時.（2）另解：建立以點為坐標原點，為軸，過點往正北作垂直的軸。則，，，設經過小時外國船到達點，又，得，此時（小時）則，所以監測船的航向東偏北所以海監船的速度（海里小時）.21．（滿分共12分）已知集合，為坐標原點，若，，、，定義點、之間的距離為.(1)若，，，求的值；(2)記，若（為常數），求的最大值，并寫出一組此時滿足條件的向量、；(3)若，試判斷“存在，使”是“”的什么條件？并證明.【解析】（1）因為，，則，即，解得，因為，所以，的值為、、；（2）設、，，，所以，，可取，；（3）“存在，使