第17講復數的三角形式（練習）夯實基礎一、單選題1．（2020·全國高一課時練習）在復平面內，把與復數a+bi(a，b∈R)對應的向量繞原點O按順時針方向旋轉90°后所得向量對應的復數為（）A．abi B．a+biC．bai D．b+ai【答案】C【分析】所求復數為，化簡即得解.【詳解】由題得所求復數為=(a+bi)i=bai.故選：C.【點睛】本題主要考查復數的乘除法運算的三角表示，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.2．（2021·全國高一課時練習）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據復數三角形式的除法法則，進行計算即可.【詳解】故選：C.【點睛】本題考查三角形式的除法法則，屬基礎題.3．（2021·全國高一課時練習）復數的輻角主值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據輻角主值的定義，結合題目，即可求得.【詳解】由輻角主值的定義，知復數的輻角主值是.故選：B.【點睛】本題考查輻角主值的求解，屬基礎題.4．（2021·全國高一課時練習）將復數化成代數形式，正確的是（）A．4 B．4 C． D．【答案】D【分析】根據特殊角的三角函數值，化簡即可.【詳解】故選：D.【點睛】本題考查復數的三角形式的化簡，只需計算對應的三角函數值即可.5．（2021·全國高一課時練習）把復數z1與z2對應的向量分別按逆時針方向旋轉和后，重合于向量且模相等，已知，則復數的代數式和它的輻角主值分別是（）A．， B． C． D．【答案】B【分析】由題可知，即可求出，再根據對應的坐標即可得出它的輻角主值.【詳解】由題可知，則，，可知對應的坐標為，則它的輻角主值為.故選：B.【點睛】本題考查復數的三角形式，屬于基礎題.6．（2021·全國高一課時練習）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據復數三角形式乘法的運算法則，進行計算即可.【詳解】.故選：C.【點睛】本題考查復數的乘法法則，屬基礎題.7．（2021·全國高一課時練習）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先用多項式乘法展開，再用兩角和與差的三角函數化簡，分別求出再整理為的形式.【詳解】.故選：C【點睛】本題主要考查了復數的代數形式與三角形式的轉化，兩角和與差的三角函數，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.二、填空題8．（2020·全國高一課時練習）將復數化為代數形式為___________【答案】【分析】直接寫出三角函數值再化簡即得解.【詳解】由題得.故答案為：【點睛】本題主要考查復數的三角形式化代數形式，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.9．（2019·福建三明市·高二期中（文））設復數滿足（其中為虛數單位），則的模為_______【答案】【分析】先由復數的除法運算，根據題意，得到，進而可得復數的模.【詳解】因為，所以，因此.故答案為：.【點睛】本題主要考查復數的除法運算，以及求復數的模，熟記除法運算法則，以及復數模的計算公式即可，屬于基礎題型.10．（2020·全國高一課時練習）______________.【答案】【分析】將代數形式的復數化為三角形式，再用乘法法則，即可求解.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查復數的乘法，涉及代數形式和三角形式的相互轉化，屬基礎題.11．（2020·全國高一課時練習）復數的代數形式是_____________.【答案】【分析】根據復數的除法運算進行計算，即可化簡為代數運算.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查復數的三角形式的化簡，屬基礎計算題.12．（2020·全國高一課時練習）計算的結果是________.【答案】【分析】把化為三角形式，然后模相除，輻角相減得商的模和輻角，再化為代數形式．【詳解】解析1：.解析2：原式.【點睛】本題考查復數的除法，解題時把所有復數化為三角形式，然后模相除，輻角相減得商的模和輻角，再化為代數形式即可．當然也可以化為代數形式計算．三、解答題13．（2021·浙江高一單元測試）把下列復數的代數形式化成三角形式.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【分析】（1）先根據模公式求出模來，再根據其對應的點是在第四象限，求出，最后寫成三角形式.（2）先根據模公式求出模來，再根據其對應的點是在第四象限，求出，最后寫成三角形式.【詳解】（1）.因為與對應的點在第四象限，所以，所以.（2）.因為與對應的點在第四象限，所以，所以.【點睛】本題主要考查了復數的代數形式與三角形式的轉化，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.14．（2021·浙江高一單元測試）把下列復數的三角形式化成代數形式.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【分析】（1）分別求出再整理為的形式.（2）分別求出再整理為的形式.【詳解】（1）.（2）【點睛】本題主要考查了復數的代數形式與三角形式的轉化，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.15．（2020·全國高一課時練習）將下列各復數的三角形式轉化為代數形式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【分析】求出三角函數值，用乘法分配律展開，化為形式．【詳解】解：（1）.（2）.（3）.【點睛】本題考查復數的代數形式，即化復數為．能力提升1．（2021·全國高一課時練習）復數，由向量繞原點逆時針方向旋轉而得到.則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】寫出復數的三角形式，繞原點逆時針方向旋轉得到復數的三角形式，從而求得的三角形式得解.【詳解】,,所以復數在第二象限，設幅角為，故選：C【點睛】在復平面內運用復數的三角形式是求得幅角的關鍵.2．（2020·山東省鄆城第一中學高一期中）已知復數滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，根據復數模長運算和三角恒等變換的知識可得到，由此確定最大值.【詳解】由可設：，，（其中），當時，.故選：.【點睛】本題考查復數模長最值的求解問題，關鍵是能夠將問題轉化為三角函數最值的求解問題.3．（2020·全國高一單元測試）設復數z的共軛復數是，i是虛數單位，若復數，，且是實數，則實數t等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用共軛復數、復數的乘法運算法則，是實數，虛部為0求解即可.【詳解】解：，，.又.，.故選：A.【點睛】本題考查復數的基本知識，復數概念的應用，屬于基礎題.二、填空題4．（2020·全國高一課時練習）復平面內向量對應的復數為2+i，A點對應的復數為1，現將繞A點順時針方向旋轉90°后得到的向量為，則點C對應的復數為___________.【答案】2i【分析】求出向量的三角形式，根據題意得出，求出，即可得出點C對應的復數.【詳解】，且向量對應復平面的坐標在第一象限則，其中因為繞A點順時針方向旋轉90°后得到的向量為所以因為，所以，則點C對應的復數為故答案為：【點睛】本題主要考查了復數的三角形式及其運算，屬于中檔題.5．（2020·全國高一課時練習）計算：_______________.【答案】【分析】由于次數比較高，先利用的周期性，將其次數降低，再進行四則運算.【詳解】.故答案為：【點睛】本主要考查了有關的冪的運算和復數的四則運算，還考查了轉化問題，運算求解的能力，屬于基礎題.6．（2021·全國高一課時練習）若復數滿足，則的代數形式是_____________.【答案】【分析】先寫出的三角形式，再進行化簡整理即可.【詳解】設，則，∴，∴，解得.故答案為：.【點睛】本題考查復數三角形式的定義，屬基礎題.7．（2020·全國高一課時練習）復數的輻角主值為________.【答案】【分析】先化簡再根據輻角主值的定義求解即可.【詳解】因為,所以所以,所以復數z的輻角主值為.故答案為：【點睛】本題主要考查了復數的基本運算與輻角主值的辨析,屬于基礎題.8．（2020·全國高一課時練習）已知a為實數，i為虛數單位，若復數為純虛數，則______.【答案】【分析】利用純虛數的定義、復數的運算法則即可求出.【詳解】解：為純虛數，，且，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了復數的運算法則、純虛數的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.三、解答題9．（2020·全國高一課時練習）設復數，復數滿足，且在復平面內對應的點在虛軸的負半軸上，且，求的代數形式.【答案】【分析】設出復數的三角形式，將化為三角形式，再計算乘法，根據題意，進行求解.【詳解】因為，設，由題設知，所以.又，所以，所以【點睛】本題考查復數的三角形式的乘法，涉及復數的幾何意義，屬中檔題.10．（2020·全國高一課時練習）計算.【答案】【分析】先將通過變形運算轉化為，再根據有關的冪的運算，分類討論求解.【詳解】當時，當時，當時，當時，綜上：【點睛】本主要考查了有關的冪的運算和復數的四則運算，還考查了轉化問題，運算求解的能力，屬于基礎題.11．（2020·全國高一課時練習）已知是復數，均為實數（為虛數單位），且復數在復平面內對應的點在第一象限，求實數的取值范圍.【答案】【分析】先設，再根據均為實數，確定復數，然后化簡成的形式，利用其對應的點在第一象限求解.【詳解】設，則，∵為實數，∴，∴，又為實數，∴，∴.∵，又因為復數在復平面內對應的點在第一象限，所以，解得，∴實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了復數的概念，復數的幾何意義及復數的運算，考查了運算求解的能力，屬于中檔題.12．（2020·全國高一課時練習）在復平面上，一個正方形的四個頂點按照逆時針方向依次為，（其中為原點）.已知點對應的復數，求和分別對應的復數.【答案】，.【分析】根據題意，結合復數運算的幾何意義，進行處理即可.【詳解】根據題意畫出草圖，如圖所示.由復數運算的幾何意義知，.【點睛】本題考查復數乘法和除法運算的幾何意義，屬中檔題.13．（2020·全國高一課時練習）已知是實數，是非零復數，且滿足，.（1）求；（2）設，若，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根