奧數拓展第七講：植樹問題數學五年級上冊人教版一、選擇題1．要在正方形的水池邊上擺花，使每一邊都有6盆花，至少需要多少盆花？（

）A．6×4 B．6×4＋4 C．6×4－42．小明家住在7樓，他從一樓走到家一共用了42秒。小明每上一層樓需要（

）秒鐘。A．6 B．7 C．83．希望小學學生排成正方行方陣做早操，從前往后數小明排第7個，從后往前數排第13個，從左往右數，從右往左數都排第10個。最外層一共可以排（

）個學生。A．78 B．72 C．76 D．804．56人參加戶外拓展訓練，將22人安排在A營地，34人安排在B營地。從12：01開始，每逢整點A營地派出12人前往B營地，B營地派出8人前往A營地。已知兩個營地之間的單程用時為30分鐘，問以下哪個時間點，位于B營地的人數正好是A營地的3倍？（

）A．13：20 B．13：40 C．14：20 D．14：405．學校門口的道路兩旁從頭到尾共種了48棵樹，每相鄰的兩棵樹之間的距離是25分米，學校門口的道路共長（

）分米。A．1200 B．1175 C．5756．實驗小學有208名學生參加校級運動會開幕式，一共排成4列縱隊，已知前后相鄰的兩人間隔80厘米，那么每列學生隊伍的長度是(

)分米。A．416 B．408 C．4240 D．400二、填空題7．小軍乘電梯回家（中間不停），從1樓到4樓共花了6秒鐘。照這樣計算，他從1樓到8樓共需要()秒鐘。當他到家這一層樓時，剛好花了半分鐘，他家住在()樓。8．公園小路的一側栽有一行柏樹（兩端都有），從起點到終點一共60棵，每兩棵之間相距5米。這條小路長()米。9．某校五年級同學去參觀展覽。342人排成兩路縱隊，前后相鄰兩人各相距0.4米，隊伍每分鐘走60米。現在要過一座橋，從排頭兩人上橋到排尾兩人離開橋，共需9.8分鐘。橋長()米。10．一條小路的一側共栽了9棵樹（兩端都栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3m，這條小路長()m；如果在小路兩側每隔2m放一盆花（兩端都不放），一共要放()盆花。11．把一些規格相同的杯子疊起來，如圖，4個杯子疊起來高15cm，6個杯子疊起來高19cm。那么9個杯子疊起來高()cm，n個杯子疊起來高()cm。12．小蘭發現公路邊等距地立著一排電線桿，她用均勻的速度從第1根電線桿走到第15根電線桿用了7分鐘時間，接著她繼續往前走，又走了若干根電線桿后就往回走，當她走回到第5根電線桿時一共用了30分鐘，那么小蘭是走到第根電線桿是開始往回走的。13．四、五、六三個年級各有100名學生去春游，都分成2列（豎排）并列行進。四、五、六年級的學生相鄰兩行之間的距離分別為1米、2米、3米，年級之間相距5米。他們每分鐘都走90米，整個隊伍通過某座橋用4分鐘，那么這座橋長米。14．一排長椅共有90個座位，其中一些座位已經有人入座了。這時，又來了一個人要坐在這排長椅上，更有趣的是，他無論坐在哪個座位上都與已經就座的某個人相鄰。原來至少有()人已經就座。三、解答題15．如圖，圓形湖泊周長1200米，除了A點和B之外，每隔100米就有一只蜜蜂，一共十只蜜蜂，它們按照順時針的方向飛行，各個蜜蜂的速度均標在了圖上，單位是“米/秒”。小偷從A點出發沿湖順時針逃到位于B點的家中。只要被沿途的蜜蜂碰到，小偷就會被蟄一下。請問：小偷最少會被幾只蜜蜂蟄到？16．一條小道兩旁，每隔5米種一棵樹（兩端都栽），共種202棵樹，這條路長多少米？17．25名同學在老師畫好的圓形場地玩“搶板凳”游戲（沿板凳圓形擺一圈，且間隔相等）。開始時，相鄰兩個板凳之間的間隔是0.5米，玩了一會兒，有14名同學被淘汰，剩下的同學繼續玩，現在相鄰兩個板凳之間的間隔是多少米？18．在一條長150米的大路兩邊各栽一行樹，起點和終點都栽，相鄰兩棵樹之間的距離相等，一共栽了102棵，相鄰兩棵之間的距離為多少米？19．小紅、小明兩人從第1層開始比賽爬樓梯，小明跑到第4層時，小紅跑到第3層。照這樣的速度，小明跑到第16層時，小紅跑到第幾層？20．正方形操場四周栽了一圈樹，每兩棵樹相隔4米。甲乙兩人同時從A點出發沿不同的方向繞操場行走（如圖），甲的速度是乙的2倍，乙到達D點后向C點行走，當走到離D點第5棵樹時，發現和甲之間正好相隔1棵樹。操場四周一共栽了多少棵樹？（寫出必要的解題過程）

參考答案：1．C【分析】要使花盆數最少，則正方形的4個頂點處各放置1盆花。在一條線段上植樹（兩端都栽樹）問題的規律：間隔數＝棵數－1。因為正方形每一邊上都有6盆花，即每一邊上有6－1＝5（個）間隔。4條邊上有5×4＝20（個）間隔。在一條首尾相接的封閉曲線上植樹問題的規律：棵數＝間隔數。正方形是封閉圖形，所以20個間隔即有20盆花。【詳解】（6－1）×4＝6×4－1×4＝6×4－4＝24－4＝20（盆）所以求至少需要的盆數列式為6×4－4。故答案為：C【點睛】解決植樹問題的關鍵是要理清棵數與間隔數的關系。2．B【分析】小明從一樓走到家，實際走了6層樓。用花費的總時間42秒除以6，求出每上一層樓需要的時間。【詳解】42÷（7－1）＝42÷6＝7（秒）所以，小明每上一層樓需要7秒鐘。故答案為：B【點睛】爬樓問題中，走的層數要比樓數少1，然后再根據題意進一步解答即可。3．B【分析】由于是方陣，先求出每行或每列的人數，即為最外層每邊的人數，每邊的人數乘4減去4，得到最外層的人數。【詳解】（人）（人）（人）最外層有72人，故答案選：B。【點睛】本題考查的是方陣問題，已知每邊的人數，求每層的人數時，由于4個頂點處多算一次，所以要減去4。4．D【分析】根據題意，整點時，本營地人數派出人到對方營地，人數相對減少，但半點時，對方營地的人到達本營地，人數又相對增加，據此解答。【詳解】A．13：20時，A營地派出12人前往B營地，B營地派出8人前往A營地，而對方營地派出的人還沒有到達，這時A營地剩余22－12＝10人，B營地剩余34－8＝26人，不符合題意；B．13：40時，兩個營地各派出1次，且對方派出的人到達本營地，這時A營地有22－12＋8＝18人，B營地有34－8＋12＝38人，不符合題意；C．14：20時，兩個營地各派出兩次，而第二次對方營地派出的人還沒有到達，這時A營地有22－12＋8－12＝6人，B營地有34－8＋12－8＝30人，不符合題意；D．14：40時，兩個營地各派出兩次，且對方派出的人到達本營地，這時A營地有22－12＋8－12＋8＝14人，B營地有34－8＋12－8＋12＝42人，42÷14＝3，符合題意。故答案為：D【點睛】整點到半點之前，對方派出的人未到達本營地，本營地人數相對減少；半點到下一個整點之前，對方營地派出的人到達本營地，本營地人數相對增加。5．C【分析】先將路一旁的植樹棵數求出來，用48÷2，再利用兩端都植樹的間隔數＝棵樹－1，求出間隔數，利用間隔數×每相鄰兩棵樹的距離即可得到道路長。【詳解】48÷2＝24（棵）（24－1）×25＝23×25＝575（分米）故答案為：C【點睛】本題考查植樹問題里公式的靈活運用，注意本題已知的是兩旁的植樹棵數，要求出一邊的棵樹再求解。6．B【解析】略7．1416【分析】此問題為“上樓梯”問題，該問題可以轉化成“植樹問題”，即可以用“植樹問題”的規律來解答。在一條線段上植樹（兩端都栽樹）問題的規律：總距離÷株距＝間隔數，棵數＝間隔數＋1。據此用樓層數－1求出樓梯的段數；用總時間÷樓梯的段數求出走1層的時間。（1）先算出1樓到8樓經過的樓梯段數；再用走1層樓的時間×需要走的樓梯段數求出一共需要的時間。（2）先用總時間÷走1層樓的時間求出樓梯的段數；再用段數＋1求出小軍家所在的樓層。【詳解】6÷（4－1）＝6÷3＝2（秒）2×（8－1）＝2×7＝14（秒）半分鐘＝30秒30÷2＋1＝15＋1＝16（樓）所以小軍從1樓到8樓共需要14秒，當他到家這一層樓時，剛好花了半分鐘，他家住在16樓。【點睛】解決植樹問題的關鍵要理清棵數與間隔數之間的關系。8．295【分析】要想知道小路有多長，我們先得知道有多少個間隔（兩棵樹之間有1個間隔），而從起點到終點兩端都栽了樹，所以間隔數＝棵數－1，用間隔數乘間隔距就是小路的長度了。【詳解】間隔數：60－1＝59（個）小路的長度：59×5＝295（米）這條小路長295米。【點睛】本題考查的是植樹問題中兩端都栽的情況，間隔數＝棵數－1，總長＝間隔數×間隔距。9．520【分析】每路縱隊的人數是：342÷2＝171人，根據植樹問題可求出隊伍的長度是：0.4×（171－1）＝68米；從排頭兩人上橋到排尾兩人離開橋，根據速度×時間＝路程，求出行駛的路程，即橋長和隊伍的長度之和，再減去隊伍的長度，即可求出橋的長度。【詳解】342÷2＝171（人）0.4×（171－1）＝0.4×170＝68（米）60×9.8－68＝588－68＝520（米）即橋長520米。【點睛】本題是列車過橋問題和植樹問題的綜合應用，難點是明確行駛的路程應為橋長加隊伍的長度；知識點：“隊伍的間隔數＝人數－1，速度×時間＝路程”。10．2422【分析】（1）根據題意，兩端都栽，則9棵樹有（9－1）個間隔，根據“全長＝間距×間隔數”，求出這條小路的全長；（2）先根據“間隔數＝全長÷間距”，求出小路一側花盆的間隔數，又因為兩端都不放，小路一側放的盆數＝間隔數－1；因小路兩側都放花盆，用一側的盆數乘2，即可求出一共要放的盆數。【詳解】（1）3×（9－1）＝3×8＝24（m）這條小路長24m。（2）24÷2－1＝12－1＝11（盆）11×2＝22（盆）一共要放22盆花。【點睛】本題考查植樹問題，掌握沿直線上栽樹的三種情況：兩端都栽時，棵數＝間隔數＋1；兩端都不栽時，棵數＝間隔數－1；一端栽一端不栽時，棵數＝間隔數。11．252n＋7【分析】根據題圖可知，第一個杯子的高度＋3個間隔的高度＝15厘米，第一個杯子的高度＋5個間隔的高度＝19厘米，兩個式子相減，進而求出1個間隔的高度和一個杯子的高度；9個杯子疊起來的高度＝第一個杯子的高度＋8×1個間隔的高度，據此解答；n個杯子疊起來，共有（n－1）個間隔，用“第一個杯子的高度＋（n－1）×間隔的高度”即可解答。【詳解】（19－15）÷（5－3）＝4÷2＝2（厘米）15－3×2＝15－6＝9（厘米）9＋（9－1）×2＝9＋8×2＝9＋16＝25（厘米）9＋（n－1）×2＝9＋2×n－1×2＝9－2＋2n＝（2n＋7）厘米即9個杯子疊起來高25cm，n個杯子疊起來高（2n＋7）cm。【點睛】本題考查了植樹問題的靈活應用，先求出1個間隔的高度和一個杯子的高度是解答本題的關鍵。12．33【分析】從第1根電線桿走到第15根電線桿，共經過（15－1）即14個間隔，用7分鐘。因此1分鐘走14÷7即2個間隔；當她走回到第5根電線桿時一共用了30分鐘，共走了30×2即60個間隔；設走到第x根電線桿時開始往回走，開始往回走的時，走了（x－1）個間隔，回來時走了（x－5）個間隔，然后列出方程進行解答即可。【詳解】解：設小蘭是走到第x根電線桿是開始往回走的。（x－1）＋（x－5）＝30×2x－1＋x－5＝602x－6＝602x－6＋6＝60＋62x÷2＝66÷2x＝33小蘭是走到第33根電線桿是開始往回走的。【點睛】本題考查了兩端植樹問題，植樹棵數比間隔數多1，求出共走的間隔數，然后再進一步解答即可。13．56【分析】通過這座橋所行的路程＝橋長＋隊伍的長度，據題意可知，整個隊伍經過大橋共行：90×4＝360（米），所以只要根據學生相鄰兩行之間的距離及年級之間的距離求出隊伍的長度即能求出大橋的長度。【詳解】各年級學生之間的空隙個數為：100÷2－1＝50－1＝49（個）年級間空隙個數為：3－1＝2（個）則隊伍長：49×1＋49×2＋49×3＋2×5＝49＋98＋147＋10＝304（米）則橋長為：90×4－304＝360－304＝56（米）即這座橋長56米。【點睛】解答此題要注意理解“都分成2列（豎排）并列行進”，表示每個年級分兩列，一個年級接一個年級。難點在于求出隊伍的長度。14．30【分析】因為新來的人無論坐在哪都與某個人相鄰，所以，一定沒有連續三個以上的空座，要使原來人數最少，需要空座最多，也就是每隔兩個座坐一個人，將90個座分為30組，每組的中間坐一人，則無論第31人坐在哪里，都和其他人相鄰，據此解答。【詳解】將90個座三個一組，90÷3＝30（組）此時，每組的中間坐一人，則無論第31人坐在哪里，都和其他人相鄰，【點睛】本題主要考查了最大與最小，根據題意得出空座的分布規律是本題解題的關鍵。15．3只【分析】先根據間隔數×間隔距離＝間隔總長，時間＝路程÷速度，求出每只蜜蜂到達B點需要的時間，再分析每個時間段，小偷可能會追上幾只蜜蜂，且被幾只蜜蜂追上，最后將幾種可能比較即可。【詳解】1蜜蜂到達B點需要：5×100÷1＝500（秒）2蜜蜂到達B點需要：4×100÷2＝200（秒）3蜜蜂到達B點需要：3×100÷3＝100（秒）4蜜蜂到達B點需要：2×100÷4＝50（秒）5蜜蜂到達B點需要：1×100÷5＝20（秒）7蜜蜂到達B點需要：11×100÷7≈157.1（秒）8蜜蜂到達B點需要：10×100÷8＝125（秒）9蜜蜂到達B點需要：9×100÷9＝100（秒）10蜜蜂到達B點需要：8×100÷10＝80（秒）11蜜蜂到達B點需要：7×100÷11≈63.6（秒）如果小偷到達B點需要小于20秒，則小偷會被5只蜜蜂蟄到；如果小偷到達B點需要20~50秒，則小偷會被4只蜜蜂蟄到；如果小偷到達B點需要50~63.6秒，則小偷會被3只蜜蜂蟄到；如果小偷到達B點需要63.6~80秒，則小偷會被4只蜜蜂蟄到；如果小偷到達B點需要80~100秒，則小偷會被5只蜜蜂蟄到；如果小偷到達B點需要100~125秒，則小偷會被5只蜜蜂蟄到；如果小偷到達B點需要125~157.1秒，則小偷會被6只蜜蜂蟄到；如果小偷到達B點需要157.1~200秒，則小偷會被7只蜜蜂蟄到；如果小偷到達B點需要200~500秒，則小偷會被6只蜜蜂蟄到；如果小偷到達B點需要500秒以上，則小偷會被5只蜜蜂蟄到；3＜4＜5＜6＜7答：小偷最少會被3只蜜蜂蟄到。【點睛】解答本題的關鍵是明確被蜜蜂追上且追上蜜蜂都會被蟄。16．500米【分析】根據題意，一條小道兩旁共種202棵樹，先用樹的總棵數除以2，求出小道一旁種樹的棵數；因為兩端都栽，那么間隔數＝棵數－1；然后根據全長＝間隔數×間距，求出這條路的全長。【詳解】（202÷2－1）×5＝（101－1）×5＝100×5＝500（米）答：這條路長500米。【點睛】本題考查植樹問題，掌握沿直線上栽樹的三種情況：兩端都栽時，棵數＝間隔數＋1；兩端都不栽時，棵數＝間隔數－1；一端栽一端不栽時，棵數＝間隔數。17．1.2米【分析】“搶板凳”游戲，板凳數＝人數－1，封閉圖形里植樹，棵數＝段數，先確定開始時板凳數，即段數，段數×間距＝周長；原來同學人數－淘汰的人數－1＝剩下人數，即剩下板凳的間隔數，周長÷剩下板凳的間隔數＝現在間距，據此列式解答。【詳解】（25－1）×0.5÷（25－14－1）＝24×0.5÷10＝12÷10＝1.2（米）答：現在相鄰兩個板凳之間的間隔是1.2米。【點睛】關鍵是掌握植樹問題解題方法，理解棵數和段數之間的關系。18．3米【分析】先求出大路一邊栽樹的總棵數；再根據在一條線段上植樹（兩端都栽樹）問題的規律：棵數－1＝間隔數求出間隔數，總距離÷間隔數＝株距求出相鄰兩棵之間的米數。【詳解】102÷2＝51（棵）51－1＝50（個）150÷50＝3（米）答：相鄰兩棵之間的距離為3米。【點睛】解決植樹問題的關鍵要弄清以下兩點：（1）是否兩旁都要植樹。（2）根據兩端植樹的情況理清棵數與間隔數之間的關系。19．第11層【分析】根據題意可知，小明跑到第4層是跑了