PAGEPAGE1第一講排列組合的基本方法【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．計數原理1．分類計數原理假如完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，……，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步計數原理假如完成一件事，須要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．分類和分步的區分，關鍵是看事務能否一步完成，事務一步完成了就是分類；必須要連續若干步才能完成的則是分步．分類要用分類計數原理將種數相加；分步要用分步計數原理，將種數相乘．二、排列組合1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素依據肯定的依次排成一列組合合成一組2.排列數與組合數(1)排列數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的全部排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的全部組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用Ceq\o\al(m,n)表示．3．排列數、組合數的公式及性質公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)性質(3)0！＝1；Aeq\o\al(n,n)＝n！(4)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)__【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩》，努力請從今日始考向一兩個計數原理【例1】（1）滿意a，b∈{－1,0,1,2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序數對(a，b)的個數為________．(2)有六名同學報名參與三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參與一項，則共有________種不同的報名方法．【答案】（1）13（2）120【解析】（1）方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的狀況應分類探討．①當a＝0時，方程為一元一次方程2x＋b＝0，不論b取何值，方程肯定有解．此時b的取值有4個，故此時有4個有序數對．②當a≠0時，須要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.明顯有3個有序數對不滿意題意，分別為(1,2)，(2,1)，(2,2)．a≠0時，(a，b)共有3×4＝12(個)實數對，故a≠0時滿意條件的實數對有12－3＝9(個)，所以答案應為4＋9＝13.（2）每項限報一人，且每人至多參與一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，其次個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，依據分步計數原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．【套路總結】【套路總結】1.乘法分步計數原理(1)利用分步計數原理解決問題要按事務發生的過程合理分步，即分步是有先后依次的，并且分步必需滿意：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必需滿意兩個條件：一是步驟相互獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成．2.加法分類計數原理(1)依據題目特點恰當選擇一個分類標準．(2)分類時應留意完成這件事情的任何一種方法必需屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復．(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏．3.利用兩個計數原理解決應用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步、分類的標準是什么．(4)利用兩個計數原理求解．【舉一反三】1.用數字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有________個．(用數字作答)【答案】1080【解析】①當組成四位數的數字中有一個偶數時，四位數的個數為Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝960.②當組成四位數的數字中不含偶數時，四位數的個數為Aeq\o\al(4,5)＝120.故符合題意的四位數一共有960＋120＝1080(個)．2.如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區域涂色(4種顏色全部運用)，要求每個區域涂一種顏色，相鄰的區域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數為________．【答案】96【解析】按區域1與3是否同色分類：①區域1與3同色：先涂區域1與3有4種方法，再涂區域2,4,5(還有3種顏色)有Aeq\o\al(3,3)種方法．∴區域1與3同色時，共有4Aeq\o\al(3,3)＝24(種)方法．②區域1與3不同色：第一步涂區域1與3有Aeq\o\al(2,4)種方法，其次步涂區域2有2種涂色方法，第三步涂區域4只有1種方法，第四步涂區域5有3種方法．∴共有Aeq\o\al(2,4)×2×1×3＝72(種)方法．故由分類計數原理可知，不同的涂色種數為24＋72＝96.3.假如一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是________．【答案】36【解析】第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個)．考向二排列【例2】（1）用1,2,3,4,5這五個數字，可以組成比20000大，并且百位數不是數字3的沒有重復數字的五位數，共有________個．（2）6名同學站成1排照相，要求同學甲既不站在最左邊又不站在最右邊，共有________種不同站法【答案】（1）78（2）480【解析】（1）依據題意知，要求這個五位數比20000大，則首位必需是2,3,4,5這4個數字中的一個，當首位是3時，百位數不是數字3，符合要求的五位數有Aeq\o\al(4,4)＝24(個)；當首位是2,4,5時，由于百位數不能是數字3，則符合要求的五位數有3×(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＝54(個)，因此共有54＋24＝78(個)這樣的五位數符合要求．（2）方法一(位置優先法)先從其他5人中支配2人站在最左邊和最右邊，再支配余下4人的位置，分為兩步：第1步，從除甲外的5人中選2人站在最左邊和最右邊，有Aeq\o\al(2,5)種站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4個位置上，有Aeq\o\al(4,4)種站法．由分步計數原理可知，共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝480(種)不同的站法．方法二(元素優先法)先支配甲的位置(既不站在最左邊又不站在最右邊)，再支配其他5人的位置，分為兩步：第1步，將甲排在除最左邊、最右邊外的隨意位置上，有Aeq\o\al(1,4)種站法；第2步，余下5人站在剩下的5個位置上，有Aeq\o\al(5,5)種站法．由分步計數原理可知，共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480(種)不同的站法．【舉一反三】1．某高三畢業班有40人，同學之間兩兩彼此給對方寫一條畢業留言，那么全班共寫了________條畢業留言．(用數字作答)【答案】1560【解析】由題意知兩兩彼此給對方寫一條畢業留言相當于從40人中任選兩人的排列數，所以全班共寫了Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560(條)留言．2．用數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為________．【答案】72【解析】由題意可知，五位數要為奇數，則個位數只能是1,3,5.分為兩步：先從1,3,5三個數中選一個作為個位數有Ceq\o\al(1,3)種選法，再將剩下的4個數字排列有Aeq\o\al(4,4)種排法，則滿意條件的五位數有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72(個)．考向三組合【例3】男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名．現選派5人外出參與競賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)隊長中至少有1人參與；(4)既要有隊長，又要有女運動員．【答案】見解析【解析】(1)分兩步完成：第一步，選3名男運動員，有Ceq\o\al(3,6)種選法；其次步，選2名女運動員，有Ceq\o\al(2,4)種選法．由分步計數原理可得，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(種)選法．(2)方法一“至少有1名女運動員”包括以下四種狀況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分類計數原理可得總選法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(種)．方法二“至少有1名女運動員”的反面為“全是男運動員”，可用間接法求解．從10人中任選5人有Ceq\o\al(5,10)種選法，其中全是男運動員的選法有Ceq\o\al(5,6)種．所以“至少有1名女運動員”的選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．(3)方法一(干脆法)可分類求解：“只有男隊長”的選法種數為Ceq\o\al(4,8)；“只有女隊長”的選法種數為Ceq\o\al(4,8)；“男、女隊長都入選”的選法種數為Ceq\o\al(3,8)，所以共有2Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝196(種)選法．方法二(間接法)從10人中任選5人有Ceq\o\al(5,10)種選法，其中不選隊長的方法有Ceq\o\al(5,8)種．所以“至少有1名隊長”的選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,8)＝196(種)．(4)當有女隊長時，其他人隨意選，共有Ceq\o\al(4,9)種選法；當不選女隊長時，必選男隊長，共有Ceq\o\al(4,8)種選法，其中不含女運動員的選法有Ceq\o\al(4,5)種，所以不選女隊長時的選法共有(Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5))種．所以既要有隊長又要有女運動員的選法共有Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)＝191(種)．【套路總結】【套路總結】組合問題常有以下兩類題型改變：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必需非常重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用干脆法和間接法都可以求解，通常用干脆法分類困難時，考慮逆向思維，用間接法處理．【舉一反三】1．支配3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的支配方式共有________種．【答案】36【解析】由題意可知，其中1人必需完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得支配方式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，或列式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36(種)．2．在報名的3名男老師和6名女老師中，選取5人參與義務獻血，要求男、女老師都有，則不同的選取方式的種數為________．(用數字作答)【答案】120【解析】①1男4女，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,6)＝45(種)選取方式；②2男3女，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,6)＝60(種)選取方式；③3男2女，有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,6)＝15(種)選取方式；∴共有45＋60＋15＝120(種)不同的選取方式．考向四常用的方法【例4】7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學生4人，女學生2人，在下列狀況下，各有多少種不同站法？(1)老師甲必需站在中間或兩端；(2)兩名女生必需相鄰而站；(3)4名男生互不相鄰；(4)若4名男生身高都不等，按從高到低的依次站．【答案】見解析【解析】方法一：特別元素（位置））優先考慮(1)先考慮甲有Aeq\o\al(1,3)種站法，再考慮其余6人全排，故不同站法總數為：Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(種)；方法二：相鄰捆綁法：誰相鄰誰捆綁，同時排列(2)2名女生站在一起有站法Aeq\o\al(2,2)種，視為一種元素與其余5人全排，有Aeq\o\al(6,6)種排法，所以有不同站法Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440(種)；方法三：不相鄰插空法：誰不相鄰誰插空，優先排其他(3)先站老師和女生，有站法Aeq\o\al(3,3)種，再在老師和女生站位的間隔(含兩端)處插入男生，每空一人，則插入方法Aeq\o\al(4,4)種，所以共有不同站法Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(種)；方法四：定序倍縮法：誰定序誰被除方法五：定序空位法：誰定序誰不排，排完其他即可(4)方法一：定序倍縮法：7人全排列中，4名男生不考慮身高依次的站法有Aeq\o\al(4,4)種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同，所以共有不同站法2·eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝420(種)．方法二：定序空位法：除了4位男生，其他人先排，3個人有7個位置，就是，而由高到低有從左到右和從右到左的不同有2種，所以就是，【套路總結】【套路總結】排列組合常用方法1.簡潔問題干脆法：干脆利用兩個計數原理，干脆進行排列組合解答.2.特別元素(特別位置)優先法：優先考慮一些特別的元素和位置.3.相鄰問題捆綁法：先把相鄰元素捆綁在一起，再進行排列.4.不相鄰問題插空法：先把沒有位置要求的元素排列好，再排不相鄰的元素.5.定序問題縮倍法（等概率問題縮倍法）先把全部的元素支配好，再縮小肯定的倍數.6.至少問題間接法：一般先考慮全部的排法，再解除不滿意題意的排法.7.平均分組除法法：一般先分堆，再除以.8.元素相同問題隔板法:將n個相同的元素分成m份（nm為正整數）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，全部分法數為.9.多排問題一排法【舉一反三】1.為協作足球國家戰略，教化部特派6名相關專業技術人員到甲、乙、丙三所足校進行專業技術培訓，每所學校至少一人，其中王教練不去甲校的安排方案有________種．【答案】360【解析】甲校派1人，其余5人分為(1,4)，(2,3)兩組，故有Ceq\o\al(1,5)·(Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5))·Aeq\o\al(2,2)＝150(種)，甲校派2人，其余4人分為(1,3)，(2,2)兩組，故有Ceq\o\al(2,5)·(Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4))＝140(種)，甲校派3人，其余3人分為(1,2)一組，故有Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)＝60(種)，甲校派4人，共余2人分為(1,1)一組，故有Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(2,2)＝10(種)，依據分類計數原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(種)安排方案．2.某次聯歡會要支配3個歌舞類節目，2個小品類節目和1個相聲類節目的演出依次，則同類節目不相鄰的排法種數是________．【答案】120【解析】先支配小品節目和相聲節目，然后讓歌舞節目去插空．支配小品節目和相聲節目的依次有三種：“小品1，小品2，相聲”“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”．對于第一種狀況，形式為“□小品1歌舞1小品2□相聲□”，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝36(種)支配方法；同理，第三種狀況也有36種支配方法，對于其次種狀況，三個節目形成4個空，其形式為“□小品1□相聲□小品2□”，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,4)＝48(種)支配方法，故共有36＋36＋48＝120(種)支配方法．3.大數據時代出現了滴滴打車服務，二胎政策的放開使得家庭中有兩個孩子的現象普遍存在．某城市關系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個孩子共8人，他們準備運用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個孩子恰有2個來自于同一個家庭的乘坐方式共有________種．【答案】24【解析】依據題意，分兩種狀況探討：①A家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上另外的兩個孩子要來自不同的家庭，可以在剩下的三個家庭中任選2個，再從每個家庭的2個孩子中任選一個來乘坐甲車，有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝12(種)乘坐方式；②A家庭的孿生姐妹不在甲車上，須要在剩下的三個家庭中任選1個，讓其2個孩子都在甲車上，對于剩余的兩個家庭，從每個家庭的2個孩子中任選一個來乘坐甲車，有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝12(種)乘坐方式，故共有12＋12＝24(種)乘坐方式．4．某賓館支配A，B，C，D，E五人入住3個房間，每個房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則共有________種不同的支配方法．(用數字作答)【答案】114【解析】5個人住3個房間，每個房間至少住1人，則有(3,1，1)和(2,2,1)兩種，當為(3,1,1)時，有Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)＝60(種)，A，B住同一房間有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18(種)，故有60－18＝42(種)，當為(2,2,1)時，有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)，A，B住同一房間有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18(種)，故有90－18＝72(種)，依據分類計數原理可知，共有42＋72＝114(種)不同的支配方法．【運用套路】【運用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1．2024年4月25日-27日，北京召開其次屆“一帶一路”國際高峰論壇，組委會要從6個國內媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問，要求這三個媒體團中既有國內媒體團又有國外媒體團，且國內媒體團不能連續提問，則不同的提問方式的種數為()A．198 B．268 C．306 D．378【答案】A【解析】分兩種狀況，若選兩個國內媒體一個國外媒體，有種不同提問方式；若選兩個外國媒體一個國內媒體，有種不同提問方式，所以共有種提問方式.故選:A.2．2024年東京夏季奧運會將設置米男女混合泳接力這一新的競賽項目，競賽的規則是：每個參賽國家派出2男2女共計4名運動員參與競賽，依據仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力依次，每種泳姿100米且由1名運動員完成，且每名運動員都要出場，若中國隊確定了備戰該項目的4名運動員名單，其中女運動員甲只能擔當仰泳或者自由泳，男運動員乙只能擔當蝶泳或者自由泳，剩下的2名運動員四種泳姿都可以擔當，則中國隊的排兵布陣的方式共有（）A．144種 B．24種 C．12種 D．6種【答案】D【解析】由題意，若甲擔當仰泳，則乙運動員有A22＝2種支配方法，其他兩名運動員有A22＝2種支配方法，共計2×2＝4種方法，若甲擔當自由泳，則乙運動員只能支配蝶泳，其他兩名運動員有A22＝2種支配方法，共計2種方法，所以中國隊共有4+2＝6種不同的支配方法，故選：D．3．中國古代的五經是指：《詩經》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同學分別選取了其中一本不同的書作為課外愛好研讀，若甲乙都沒有選《詩經》，乙也沒選《春秋》，則名同學全部可能的選擇有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【解析】(1)若甲選《春秋》，則有種狀況；(2)若甲不選《春秋》，則有種狀況；所以名同學全部可能的選擇有種狀況.故選D4．用數字0,2,4,7,8,9組成沒有重復數字的六位數,其中大于420789的正整數個數為（）A．479 B．480 C．455 D．456【答案】C【解析】依據題意，分3種狀況探討：①，六位數的首位數字為7、8、9時，有3種狀況，將剩下的5個數字全排列，支配在后面的5個數位，此時有3×A55＝360種狀況，即有360個大于420789的正整數，②，六位數的首位數字為4，其萬位數字可以為7、8、9時，有3種狀況，將剩下的4個數字全排列，支配在后面的4個數位，此時有3×A44＝72種狀況，即有72個大于420789的正整數，③，六位數的首位數字為4，其萬位數字為2，將剩下的4個數字全排列，支配在后面的4個數位，此時有A44＝24種狀況，其中有420789不符合題意，有24﹣1＝23個大于420789的正整數，則其中大于420789的正整數個數有360+72+23＝455個；故選：C．5．在中國國際大數據產業博覽會期間，有甲、乙、丙、丁4名游客準備到貴州的黃果樹瀑布、梵凈山、萬峰林三個景點旅游參觀，其中的每個人只去一個景點，每個景點至少要去一個人，則游客甲去梵凈山的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依據題意，滿意每個人只去一個景點，每個景點至少要去一個人的全部基本領件的個數為C42A33=36種，若滿意甲去梵凈山，須要分2種狀況探討：①，甲單獨一個人去梵凈山，將其他3人分成2組，對應剩下的2個景點，有C31A22＝6種狀況，則此時有6種方案；②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任選1人，與甲一起去梵凈山，有C31＝3種狀況，將剩下的2人全排列，對應剩下的2個景點，有A22＝2種狀況，則此時有2×3＝6種方案；則甲去梵凈山的方案有6+6＝12種；所以甲去梵凈山的概率為.故選：B．6．第十四屆全國運動會將于2024年在陜西舉辦，為宣揚地方特色，某電視臺派出3名男記者和2名女記者到民間進行采訪報導。工作過程中的任務劃分為：“負重扛機”，“對象采訪”，“文稿編寫”“編制剪輯”等四項工作，每項工作至少一人參與，但兩名女記者不參與“負重扛機”，則不同的支配方案數共有（）A．150 B．126 C．90 D．54【答案】B【解析】記兩名女記者為甲乙，三名男記者為丙、丁、戊依據題意，分狀況探討，①甲乙一起參與除了“負重扛機”的三項工作之一：C31×A33＝18種；②甲乙不同時參與一項工作，進而又分為2種小狀況；1°丙、丁、戊三人中有兩人擔當同一份工作，有A32×C32×A22＝3×2×3×2＝36種；2°甲或乙與丙、丁、戊三人中的一人擔當同一份工作：A32×C31×C21×A22＝72種；由分類計數原理，可得共有18+36+72＝126種，故選：B．7．今有個人組成的旅游團,包括4個大人，2個小孩，去廬山旅游，準備同時乘纜車觀光，現有三輛不同的纜車可供選擇，每輛纜車最多可乘3人，為了平安起見，小孩乘纜車必須要大人陪伴，則不同的乘車方式有()種A．B．C．D．【答案】C【解析】第一類：只用兩輛纜車，若兩個小孩坐在一塊，則有種乘車方式；若兩個小孩不坐在一塊，則有種乘車方式；其次類：用三輛纜車，若兩個小孩坐在一塊，則有種乘車方式；若兩個小孩不坐在一塊，則有種乘車方式；綜上不同的乘車方式有種.故選C8．為慶祝中國人民解放軍建軍90周年，南昌市某校準備組織高一6個班級參與紅色旅游活動，旅游點選取了八一南昌起義紀念館，南昌新四軍軍部舊址等5個紅色旅游景點．若規定每個班級必需參與且只能巡游1個景點，每個景點至多有兩個班級巡游，則這6個班級中沒有班級巡游新四軍軍部舊址的不同巡游方法數為（）A．3600B．1080C．1440D．2520【答案】C【解析】由于每個班級必需參與且只能巡游個景點，且每個景點至多有兩個班級巡游，因此可以把問題看成是將個班級安排到除新四軍軍部舊址外的四個景點或三個景點，可以分兩種狀況：第一種，先將個班級分成四組，分別為再安排到四個景點，不同的參觀方法數為：種其次種，將人平均分成三組，在安排到除新四軍軍部舊址外的四個景點的隨意三個景點，不同的參觀方法數為：種由上可知，不同的參觀方法數共有種故選9．若用紅、黃、藍、綠四種顏色填涂如圖方格，要求有公共頂點的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方案數有A．種B．種C．種D．種【答案】C【解析】依據以下依次涂色，,所以由乘法分步原理得總的方案數為種.所以總的方案數為96，故答案為：C10．用種不同的顏色對正四棱錐的條棱染色，每個頂點動身的棱的顏色各不相同，不同的染色方案共有多少種（）A．B．C．D．【答案】C【解析】從P點動身的4條側棱肯定要用4種不同的顏色，有=360種不同的方案，接下來底面的染色依據是否運用剩下的2種顏色分類計數。不運用新的顏色，有2種顏色分類方案；運用1種新的顏色，分為2類；第一類，染一條邊，有種方案；其次類，染兩條對邊，有種方案。運用2種新的顏色，分為4類；第一類，染兩條鄰邊，有種方案；其次類，染兩條對邊，有種方案；第三類，染三條邊，有種方案；第四類，染四條邊，有2種方案。因此不同的染色方案總數為,選C.11．定義“有增有減”數列如下：，滿意，且，滿意.已知“有增有減”數列共4項，若，且，則數列共有（）A．64個B．57個C．56個D．54個【答案】D【解析】當四個數中只有兩個相同時，共有種，當四個數中有三個數相同時，共有種，所以總方法數有。12．一只小蜜蜂位于數軸上的原點處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的實力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經過5次飛行后，停在數軸上實數3位于的點處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？（）A．5B．25C．55D．75【答案】D【解析】由題意知：小蜜蜂經過5次飛行后，停在數軸上實數3位于的點處，共有以下四種情形：一、小蜜蜂在5次飛行中，有4次向正方向飛行，1次向負方向飛行，且每次飛行一個單位，共有種狀況；二、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行一個單位，1次向正方向飛行，且每次飛行兩個單位，1次向負方向飛行，且每次飛行兩個單位，共有種狀況；三、小蜜蜂在5次飛行中，有1次向正方向飛行每次飛行一個單位，2次向正方向飛行，且每次飛行兩個單位，2次向負方向飛行，且每次飛行一個單位，共有種狀況；四、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行兩個單位，有1次向負方向飛行且飛行兩個單位，有1次向負方向飛行且飛行一個單位，共有種狀況；故而共有種狀況，故選：D．13．一名同學想要報考某高校，他必需從該校的8個不同專業中選出5個，并按第一志愿、其次志愿、…第五志愿的依次填寫志愿表．若專業不能作為第一、其次志愿，則他共有______種不同的填法（用數字作答）．【答案】5040【解析】依據題意，分2步選專業：①專業不能作為第一、其次志愿有種選法，②第三、四、五志愿，有種選法，則這名同學共有種不同的填報方法，故答案為：504014．在一次中學生志愿者活動中，須要將共名志愿者分派到個不同的地點進行愛心活動，要求每個地點至少有人活動，并且兩名同學必需在同一個地點，則不同的愛心分派方案共有_______種（用數字作答）．【答案】【解析】將個人分成小組，分組的方法可為①若按的方式分組，則分派方案共有：種；②若按的方式分組，則分派方案共有：種；不同的分派方案共有：種.15．習近平總書記在湖南省湘西州十八洞村考察時首次提出“精準扶貧”概念，精準扶貧成為我國脫貧攻堅的基本方略．為協作國家精準扶貧戰略，某省示范性中學支配6名高級老師（不同姓）到基礎教化薄弱的甲、乙、丙三所中學進行扶貧支教，每所學校至少1人，因工作須要，其中李老師不去甲校，則安排方案種數為_________．【答案】360【解析】方法1：依據甲、乙、丙三所中學進行扶貧支教，每所學校至少1人，可分四種狀況：（1）甲校支配1名老師，安排方案種數有；（2）甲校支配2名老師，安排方案種數有；（3）甲校支配3名老師，安排方案種數有；（4）甲校支配4名老師，安排方案種數有；由分類計數原理，可得共有（種）安排方案.方法2：由6名老師到三所學校，每所學校至少一人，可能的分組狀況為4，1，1；3，2，1；2，2，2，（1）對于第一種狀況，由于李老師不去甲校，李老師自己去一個學校有種，其余5名分成一人組和四人組有種，共（種）；李老師安排到四人組且該組不去甲校有（種），則第一種狀況共有（種）；（2）對于其次種狀況，李老師安排到一人組有（種），李老師安排到三人組有（種），李老師安排到兩人組有（種），所以其次種狀況共有（種）；（3）對于第三種狀況，共有（種）；綜上所述，共有（種）安排方案.16．安排5名水暖工去4個不同的居民家里檢查暖氣管道，要求5名水暖工全部安排出去，每名水暖工只能去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么安排的方案共有_______種（用數字作答）．【答案】240【解析】由題意，把5名水暖工分4組共有種，然后安排到4個不同的家庭，有種，由分步計數原理可得，不同的安排方案共有種，故答案為：240．17．把，，，四本不同的書分給三位同學，每人至少分到一本，每本書都必需有人分到，，不能同時分給同一個人，則不同的安排方式共有__________種（用數字作答）．【答案】30【解析】由題意，把四本書分給三位同學，每位同學至少分到一本書的分法數目，首先將四本書分成3組，其中1組有兩本，剩余2組各一本，有種分組方法，再將這3組對應三個同學，有種方法，則有種狀況；再計算兩本書分給同一個人的分法數目，若兩本書分給同一個人，則剩余的書分給其他兩人，有種狀況.綜上可得，兩本書不能分給同一個人的不同分法有種.18．某共享汽車停放點的停車位排成一排且恰好全部空閑，假設最先來停車點停車的3輛共享汽車都是隨機停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車點的車位數為______．【答案】10【解析】設停車位有n個，這3輛共享汽車都不相鄰的種數：相當于先將（n﹣3）個停車位排放好，再將這3輛共享汽車，插入到所成（n﹣2）個間隔中，故有An﹣23種，恰有2輛相鄰的種數：先把其中2輛捆綁在一起看做一個復合元素，再和另一個插入到，將（n﹣3）個停車位排放好所成（n﹣2）個間隔中，故有A32An﹣22種，因為這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，∴An﹣23＝A32An﹣22，解得n＝10，故答案為：10．19．某翻譯處有8名翻譯，其中有小張等3名英語翻譯，小李等3名日語翻譯，另外2名既能翻譯英語又能翻譯日語，現需選取5名翻譯參與翻譯工作，3名翻譯英語，2名翻譯日語，且小張與小李恰有1人選中，則有____種不同選取方法.【答案】29【解析】依據題意，分5種狀況探討：

①、若從只會英語的3人中選3人翻譯英語，

則須要從剩余的4人（不含小李）中選出2人翻譯日語即可，則不同的支配方案有種，

②、若從只會英語的3人中選2人翻譯英語，（包含小張）

則先在既會英語又會日語的2人中選出1人翻譯英語，再從剩余的3人（不含小李）中選出2人翻譯日語即可，則不同的支配方案有種，

③、若從只會英語的3人選小張翻譯英語，

則先在既會英語又會日語的2人中選出2人翻譯英語，再從剩余的2人（不含小李）中選出2人翻譯日語即可，則不同的支配方案有種，

④、若從只會英語的3人中選2人翻譯英語，（不包含小張）

則先在既會英語又會日語的2人中選出1人翻譯英語，再從剩余的4人（小李必選）中選出2人翻譯日語即可，則不同的支配方案有種，

⑤、若從只會英語的3人中選1人翻譯英語，（不包含小張）

則先在既會英語又會日語的2人中選出2人翻譯英語，再從剩余的3人（小李必選）中選出2人翻譯日語即可，則不同的支配方案有種，則不同的支配方法有種．

故答案為：29．20．用五種不同顏色給三棱臺的六個頂點染色，要求每個點染一種顏色，且每條棱的兩個端點染不同顏色.則不同的染色方法有___________種.【答案】1920.【解析】分兩步來進行，先涂，再涂.第一類：若5種顏色都用上，先涂，方法有種，再涂中的兩個點，方法有種，最終剩余的一個點只有2種涂法，故此時方法共有種；其次類：若5種顏色只用4種，首先選出4種顏色，方法有種；先涂，方法有種，再涂中的一個點，方法有3種，最終剩余的兩個點只有3種涂法，故此時方法共有種；第三類：若5種顏色只用3種，首先選出3種顏色，方法有種；先涂，方法有種，再涂，方法有2種，故此時方法共有種；綜上可得，不同涂色方案共有種，故答案是1920.21．2024年1月27日，哈爾濱地鐵3號線一期開通運營，甲、乙、丙、丁四位同學確定乘坐地鐵去城鄉路、哈西站和哈爾濱大街．每人只能去一個地方，哈西站肯定要有人去，則不同的巡游方案為________種．【答案】65【解析】依據題意，甲、乙、丙、丁四位同學確定乘坐地鐵去城鄉路、哈西站和哈爾濱大街．每人只能去一個地方，則每人有3種選擇，則4人一共有3×3×3×3＝81(種)狀況，若哈西站沒人去，即四位同學選擇了城鄉路和哈爾濱大街．每人有2種選擇方法，則4人一共有2×2×2×2＝16(種)狀況，故哈西站肯定要有人去有81－16＝65(種)狀況，即哈西站肯定有人去的巡游方案有65種．22．用六種不同的顏色給如圖所示的六個區域涂色，要求相鄰區域不同色，則不同的涂色方法共有________種．【答案】4320【解析】分步進行：1區域有6種不同的涂色方法，2區域有5種不同的涂色方法，3區域有4種不同的涂色方法，4區域有3種不同的涂色方法，6區域有4種不同的涂色方法，5區域有3種不同的涂色方法．依據分步計數原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4320(種)不同的涂色方法．23.如圖，給7條線段的5個端點涂色，要求同一條線段的兩個端點不能同色，現有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數為________．【答案】96【解析】若A，D顏色相同，先涂E有4種涂法，再涂A，D有3種涂法，再涂B有2種涂法，C只有1種涂法，共有4×3×2＝24(種)；若A，D顏色不同，先涂E有4種涂法，再涂A有3種涂法，再涂D有2種涂法，當B和D相同時，C有2種涂法，當B和D不同時，C只有1種涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72(種)，依據分類計數原理可得，共有24＋72＝96(種)不同的涂色方法．24．用6種不同的顏色給三棱柱ABC－DEF六個頂點涂色，要求每個點涂一種顏色，且每條棱的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有________種．(用數字作答)【答案】8520【解析】分兩步來進行，先涂A，B，C，再涂D，E，F.第一類：若6種顏色都用上，此時方法共有Aeq\o\al(6,6)＝720(種)；其次類：若6種顏色只用5種，首先選出5種顏色，方法有Ceq\o\al(5,6)種；先涂A，B，C，方法有Aeq\o\al(3,5)種，再涂D，E，F中的兩個點，方法有Aeq\o\al(2,3)種，最終剩余的一個點只有2種涂法，故此時方法共有Ceq\o\al(5,6)·Aeq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(2,3)·2＝4320(種)；第三類：若6種顏色只用4種，首先選出4種顏色，方法有Ceq\o\al(4,6)種；先涂A，B，C，方法有Aeq\o\al(3,4)種，再涂D，E，F中的一個點，方法有3種，最終剩余的兩個點只有3種涂法，故此時方法共有Ceq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(3,4)·3·3＝3240(種)；第四類：若6種顏色只用3種，首先選出3種顏色，方法有Ceq\o\al(3,6)種；先涂A，B，C，方法有Aeq\o\al(3,3)種，再涂D，E，F，方法有2種，故此時方法共有Ceq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(3,3)×2＝240(種)．綜上可得，不同涂色方案共有720＋4320＋3240＋240＝8520(種)．25.如圖，電路中共有個電阻與一個電燈，若燈不亮，則因電阻斷路的可能性的種數為【答案】【解析】每個電阻都有斷路與通路兩種狀態，圖中從上到下的三條支線路，分別記為支線a、b、c，支線a，b中至少有一個電阻斷路狀況都有種；支線c中至少有一個電阻斷路的狀況有種，每條支線至少有一個電阻斷路，燈就不亮，因此燈不亮的狀況共有3×3×7=63種狀況.26.某學校為了提高學生的意識，防止事故的發生，擬在將來連續7天中隨機選擇3天進行緊急疏散演練，則選擇的3天中恰好有2天連續的狀況有【答案】20種【解析】由枚舉法得選擇的3天中恰好有2天連續的狀況有4+3+3+3+3+4=20種.27．在其次屆烏鎮互聯網大會中，為了提高安保的級別同時又為了便利接待，現為其中的五個參會國的人員支配酒店，這五個參會國的人員要在a，b，c三家酒店中任選一家，且這三家都至少有一個參會國的人員入住，則這樣的支配方法共有________種．【答案】150【解析】這三家酒店入住的參會國數目有以下兩種可能：第一種，“2,2,1”，其支配方法有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1)A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))＝90(種)；其次種，“3,1,1”，其支配方法有eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))＝60(種)，滿意題意的支配方法共有90＋60＝150(種)．28.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有種安排方案？【答案】【解析】因為10個名額沒有差別，把它們排成一排.相鄰名額之間形成９個空隙.在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有種分法.29.6個人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不站兩端；(2)甲、乙必需相鄰；(3)甲、乙不相鄰；(4)甲、乙之間間隔兩人；(5)甲、乙站在兩端；(6)甲不站左端，乙不站右端．【答案】（1）480（2）240（3）480（4）144（5）48（6）504【解析】(1)解法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個位置上任選1個有Aeq\o\al(1,4)種站法，然后其余5人在另外5個位置上作全排列有Aeq\o\al(5,5)種站法，依據分步乘法計數原理，共有站法Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(5,5)＝480(種)．解法二：若對甲沒有限制條件共有Aeq\o\al(6,6)種站法，甲在兩端共有2Aeq\o\al(5,5)種站法，從總數中減去這兩種狀況的排列數即得所求的站法數有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＝480(種)．(2