第6章

計數原理

章末復習課件《2019人教A版選擇性必修三》2025.04.25章節知識回顧1、分類加法計數原理（加法原理）完成一件事，有兩類方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有

種不同的方法.

2、分步乘法計數原理（乘法原理）一般地，完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

種不同的方法.N=m+nN=m×n3、兩個計數原理的綜合應用特點：有些較復雜的問題往往不單獨考查某一個計數原理，而是兩個計數原理都要考查.分類中有分步分步中有分類先對問題進行“分類”處理，每一類的計數，還需要應用到分步乘法計數原理；先對問題進行“分步”處理，每一步的計數，還需要應用到分類加法計數原理．4、排列定義

一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照

排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。一定的順序5、排列數我們把從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號

表示.排列數與排列的區別：一個排列就是完成一件事的一種方法，它不是數；

排列數是所有排列的個數，它是一個數.6、排列數公式m個數①②全排列：特別地，我們把從

的一個排列稱為n個不同元素的一個全排列.全排列數為:階乘：正整數1到n的連乘積

1×2×···×n稱為n的階乘，用

表示,即7、組合定義

一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。n個不同元素中全部取出8、組合數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號

表示.

例如，從3個不同元素中任取2個元素的組合數為9、組合數公式①②規定10、組合數性質①對稱性：②遞推性：11、二項式定理二項展開式通項：定理特征：1.二項式系數：2.次數規律：(1)各項的次數均為n；(2)字母a按降冪排列，次數由n遞減到0,

字母b按升冪排列，次數由0遞增到n

.3.項數規律：共有n+1項.5.第k+1項的二項式系數：12、二項式系數的性質

1.對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．

2.增減性與最大值

3.二項式系數之和(1)

奇數項二項式系數之和偶數項二項式系數之和1、特殊元素（優先法）2、相鄰問題（捆綁法）3、不相鄰問題（插空法）4、定序問題（倍縮法）《排列組合綜合問題》目

錄5、圓桌排列問題6、同元素分配問題（隔板法）7、涂色問題8、定向與非定向分配問題9、多面手問題1、特殊元素（優先法）例1：某天上午要排語文、數學、體育、計算機四節課，其中體育不排在第一節，那么這天上午課程表的不同排法共有多少種？

例2：5名學生和1名老師站成一排拍照，問老師不排在兩端的排法有多少種？

法二：

（先排兩端學生，再排剩下）（先排老師，再排學生）特殊元素優先法方法總結：某個或某些元素有特殊要求時，優先考慮排，再排剩下無要求元素。2、相鄰問題（捆綁法）例3：3名男生、4名女生，這7個人站成一排，下列情況下，各有多少種不同站法？（1）男、女各站在一起？

（2）男生必須排在一起？

例4：7名學生站成一排，甲和乙必須站一起，有多少種排法？

相鄰問題捆綁法方法總結：①某些需要相鄰的元素可視為用繩子先捆綁成一個整體、②該整體作為一個元素與其他元素排，③最后捆綁的整體內部需要再排。3、不相鄰問題（插空法）例5：3名男生、4名女生，這7個人站成一排，下列情況下，各有多少種不同站法？（1）男生不能排一起？

（2）男生互不相鄰，女生也互不相鄰？

例6：7名學生站成一排，甲和乙不能站一起，有多少種排法？

方法總結：某些不相鄰的元素先放一邊，將剩余無特殊要求的整體全排列，再將不相鄰元素插入空隙中。不相鄰問題插空法4、定序問題（倍縮法）例7：7個人站成一排，其中甲必須站在乙的左邊，共有多少種排法？例8：將A、B、C、D、E這5個字母排成一列，要求A、B、C在排列中的順序為“A、B、C”或者“C、B、A”(可以不相鄰）則有多少種不同的排法？解：

即甲在乙左邊，或甲在乙右邊（且兩類一樣多）

解：

=40（種）

定序問題倍縮法定序問題：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可以用縮小倍數的方法。出題字眼：①排隊問題A必須在B左邊；②數字問題里百位數>十位數>個位數；③排隊問題身高按照高到低排列等。5、圓桌排列問題例9：7名同學坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰，共有多少種不同的排法？解：甲乙①

先將甲乙視為一個整體（捆綁法）,此時相當于6個元素

例10：一對夫妻帶著3個小孩和1個老人，手拉手圍成一圈跳舞，則3個小孩均不相鄰，有多少種不同的排法？解：①

先安排夫妻和老人共3人圍成環，此時排列數為

(3－1)!=2!=2種②

插入小孩，3個大人形成3個空隙，將3個小孩分別插入這3個空隙中，每個空隙放1個小孩。因此小孩的排列方式有

3!種。（插空法）

：大人（夫妻和老人）：小孩方法總結：對于環排問題，由于圓形沒有首尾之分，固定1人并從此位置將圓形展開成一條線，其余的n－1人只需全排列即可，因此n個元素環排總數為：N=(n-1)!圓桌排列問題圓桌問題：n個元素進行環排。6、相同元素分配問題（隔板法）例11：將6個相同的小球放入4個編號為1、2、3、4的盒子，求下列方法的種數？(1)每個盒子都不空；

(2)恰有一個空盒子；解：

相同元素分配問題（隔板法）隔板法：將放有小球的盒子緊挨著一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰2塊隔板便形成1個“盒”，每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法。（隔板法專門解決相同元素的分配問題）

7、涂色問題例12：如圖，對A、B、C、D、E五塊區域涂色，現有5種不同顏色的顏料可供選擇，要求每塊區域涂1種顏色，且相鄰區域(有公共邊)所涂顏色不能相同，則不同的涂色方法共有多少種？解：

②涂A、C、E區域：③

綜上可得，不同的涂色方法共有20×(12+27)=780種ABECD

=12種=27種7、涂色問題例13：如圖，給編號為1、2、3、4、5、6的區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，中心對稱的兩個區域(如區域1和區域4)所涂顏色相同，有5種不同顏色的顏料可供使用，則不同的涂色方案有多少種？解：①

先涂區域1，有5種選擇；②

再涂區域2，有4種選擇；因為中心對稱的兩個區域所涂顏色相同，所以只需確定區域1、2、3的顏色，即可確定所有區域的涂色。③最后涂區域3，有3種選擇故不同的涂色方案共有5×4×3=60種11123456A、60種B、80種C、100種D、125種√涂色問題方法總結：涂色問題分為多種類型，其中包括長條型、餅狀圓型、交叉線型等，在做題的時候，通常采用以區域為主，結合分步計數的原理去解題，同時要注意對不相鄰的2塊區域進行分類討論：即同色或不同色。8、定向與不定向分配問題例14：6本不同的書，分給甲乙丙三人，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)甲2本、乙2本、丙2本；(2)甲1本、乙2本、丙3本；解：

=90種

=60種定向分配8、定向與不定向分配問題例15：6本不同的書，分給甲乙丙三人，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每人2本；(2)一人1本、一人2本、一人3本；解：

=90種不定向分配8、定向與不定向分配問題例15：6本不同的書，分給甲乙丙三人，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每人2本；(2)一人1本、一人2本、一人3本；解：

=360種定向與不定向分配問題

定向分配：有分配對象，且分配對象確定。不定向分配：有分配對象，但分配對象不確定。9、多面手問題例16：某國際旅行社現有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，先從這11人中選出4人當英語翻譯，4人當法語翻譯，則共有多少種不同的選法？解：

A、225種B、185種C、145種D、110種9、多面手問題例16：某國際旅行社現有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，先從這11人中選出4人當英語翻譯，4人當法語翻譯，則共有多少種不同的選法？解：

A、225種B、185種C、145種D、110種

=185種√多面手問題方法總結：排列組合中的“多面手”問題，可以按照“多面手”入選的人數來進行分類討論，此時需要對“多面手”擔任的工作進一步分類；也可以按照某一組“非多面手”入選的人數進行分類，此時需要在這一組擔任工作的人中補充“多面手”。多面手：指有的人可以身兼數職。《二項式定理專題》1、求特定項或特定項的系數2、由項的系數求參數3、與二項式系數有關的問題1、求特定項或特定項的系數

A、-80B、-40C、40D、80解：

令5-2r=1，解得r=2

D

1、求特定項或特定項的系數解：

=-282、由項的系數求參數

A、-2B、-1C、0D、12、由項的系數求參數

解：因為

可得展開式中x、x2、x3的系數分別為：

故展開式中x2的系數為：

=10+5a故展開式中x2的系數為：

=10+10a10+5a+10+10a=20+15a=