3-5-1、2對(duì)數(shù)函數(shù)的概念對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像和性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列函數(shù)中是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()[答案]A[解析]形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函數(shù)才是對(duì)數(shù)函數(shù)，只有A是對(duì)數(shù)函數(shù)，故選A.2．(2011·廣東文)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lg(1＋x)的定義域是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)[答案]C[解析]本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，利用代數(shù)式有意義的限制條件．要使函數(shù)有意義，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≠0,1＋x>0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠1,x>－1))，所以函數(shù)的定義域?yàn)?－1,1)∪(1，＋∞)．3．函數(shù)y＝log3x的定義域?yàn)?0，＋∞)，則其反函數(shù)的值域是()A．(0，＋∞) B．RC．(－∞，0) D．(0,1)[答案]A[解析]反函數(shù)值域?yàn)樵瘮?shù)定義域(0，＋∞)．4．函數(shù)y＝ex的圖像與函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，則()A．f(x)＝lgx B．f(x)＝log2xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝xe[答案]C[解析]易知y＝f(x)是y＝ex的反函數(shù)．∴f(x)＝lnx.故選C.5．設(shè)不等式x2－x≤0的解集為M，函數(shù)f(x)＝ln(1－|x|)的定義域?yàn)镹，則M∩N為()A．[0,1) B．(0,1)C．[0,1] D．(－1,0][答案]A[解析]由題得M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|－1<x<1}，∴M∩N＝[0,1)，故選A.6．函數(shù)y＝|log2x|的圖像是圖中的()[答案]A[解析]有關(guān)函數(shù)圖像的變換是考試的一個(gè)熱點(diǎn)，本題目的圖像變換是翻折變換，可知這個(gè)函數(shù)是由y＝log2x經(jīng)上折而得到的．二、填空題7．若函數(shù)f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋2a2))是奇函數(shù)，則a＝________.[答案]eq\f(\r(2),2)[解析]由f(0)＝0，解得a＝eq\f(\r(2),2).8．函數(shù)y＝f(x)的圖像與函數(shù)y＝log3x(x>0)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，則f(x)＝________.[答案]3x(x∈R)[解析]由題意知y＝f(x)與函數(shù)y＝log3x(x>0)互為反函數(shù)，所以f(x)＝3x(x∈R)．三、解答題9．(2012·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝eq\r(log2x－1)的定義域?yàn)锳，函數(shù)g(x)＝(eq\f(1,2))x(－1≤x≤0)的值域?yàn)锽.(1)求A∩B；(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B?C，求a的取值范圍．[解析](1)由題意知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0,log2x－1≥0))?x≥2.∴A＝{x|x≥2}，B＝{y|1≤y≤2}．∴A∩B＝{2}．(2)由(1)知B＝{y|1≤y≤2}，若要使B?C，則有a－1≥2，∴a≥3.能力提升一、選擇題1．(2010·山東文)函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域?yàn)?)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)[答案]A[解析]本題考查了指、對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題．3x>0?3x＋1>1?log2(3x＋1)>log21＝0，選A.2．(2011·北京文3改編)如果－log2x<－log2y<0，那么()A．y<x<1 B．x<y<1C．1<x<y D．1<y<x[答案]D[解析]∵－log2x<－log2y<0，∴l(xiāng)og2x>log2y>0，又因?yàn)閥＝log2x在(0，＋∞)為增函數(shù)，且log21＝0，所以x>y>1.故選D.二、填空題3．若指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(x∈R)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x02f(x)14g(x)是f(x)的反函數(shù)，則不等式g(x)<0的解集為_(kāi)_______．[答案]{x|0<x<1}[解析]由a2＝4，∴a＝2，∴f(x)＝2x，∴g(x)＝log2x<0的解集為{x|0<x<1}．4．(1)函數(shù)f(x)＝log2[log2(log2x)]的定義域?yàn)開(kāi)_______；(2)已知y＝log2(ax＋1)(a≠0)的定義域?yàn)?－∞，1)，則a的取值是________．[答案](1){x|x>2}(2)a＝－1[解析]根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域列出關(guān)于x的不等式．(1)由f(x)＝log2[log2(log2x)]知log2(log2x)>0，即log2x>1，∴x>2；(2)∵f(x)的定義域?yàn)?－∞，1)，∴ax＋1>0的解集為(－∞，1)．∴x＝1是方程ax＋1＝0的根，∴a＋1＝0，即a＝－1.三、解答題5．求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\f(lg4－x,x－3)；(2)y＝log(x－2)(5－x)．[分析](1)題是分式形式；(2)題底數(shù)與真數(shù)都有自變量，可根據(jù)底數(shù)、真數(shù)滿(mǎn)足的條件列出不等式組．[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x>0,x－3≠0))得x<4且x≠3，∴所求定義域?yàn)?－∞，3)∪(3,4)．(2)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x>0,x－2>0,x－2≠1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<5,x>2,x≠3))，∴2<x<3或3<x<5，∴所求定義域?yàn)?2,3)∪(3,5)．6．求函數(shù)y＝3x－4(x≥2)的反函數(shù)．[解析]∵y＝3x－4，∴3x＝y(tǒng)＋4，∴x＝log3(y＋4)，∴y＝log3(x＋4)，又∵x≥2，∴3x－4≥5，∴定義域?yàn)閇5，＋∞)．∴函數(shù)的反函數(shù)為y＝log3(x＋4)(x≥5)．7．已知f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)若f(eq\f(1,2))＝1，求a的值．[解析](1)∵f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)，需有eq\f(1＋x,1－x)>0，即(1＋x)(1－x)>0，(x＋1)(x－1)<0，∴－1<x<1.∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)．(2)∵f(－x)＝loga