Page專題11銳角三角函數目錄01理·思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。 02盤·基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（3大模塊知識梳理）知識模塊一：銳角三角函數知識模塊二：解直角三角形知識模塊三：解直角三角形的應用03究·考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（9大基礎考點）考點一：理解銳角三角函數的概念考點二：求角的三角函數值考點三：由三角函數求邊長考點四：由特殊角的三角函數值求解考點五：在平面直角坐標系中求銳角三角函數值考點六：在網格中求銳角三角函數值考點七：三角函數綜合考點八：解直角三角形的相關計算考點九：構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積04破·重點難點：突破重難點，沖刺高分。（4大重難點）重難點一：運用解直角三角形的知識解決視角相關問題重難點二：運用解直角三角形的知識解決方向角相關問題重難點三：運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關問題重難點四：12345模型05辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎。（2大易錯點）HYPERLINK易錯點2：誤認為三角函數值與三角形各邊的長短有關知識模塊一：銳角三角函數知識點一：正弦，余弦，正切正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，則

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進行定義的，本質是兩條線段的比，因此沒有單位，只與角的大小有關，而與直角三角形的邊長無關.2）根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形.3）表示，可以寫成，不能寫成(正弦、余弦相同).知識點二：銳角三角函數銳角三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數．（其中：0＜∠A＜90°）取值范圍：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結論：，，.增減變化：當0°＜∠A＜90°，sinA，tanA隨∠A的增大而增大，cosA隨∠A的增大而減小.【補充】利用銳角三角函數值的增減變化規律可比較銳角的大小.知識點三：特殊角的三角函數值利用三角函數的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數值，如下表所示：三角函數值特殊角30°45°60°sinαcosαtanα1知識點四：銳角三角函數的關系在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關系：1）同角三角函數的關系：①平方關系：sin2②商數關系：tanA=2)互余兩角的三角函數關系：①互余關系：sinA=cos(90°-∠A)=cosB，即一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.sinB=sin(90°-∠A)=cosA，即一個銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.②倒數關系：tanA知識模塊二：解直角三角形知識點一：解直角三角形定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關系：1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B.2）三邊之間的關系：a23）兩銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°.4）邊角之間的關系：sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc【補充】三角函數是連接邊與角的橋梁.5）面積公式（h為斜邊上的高）.知識點二：解直角三角形的常見類型已知條件解法步驟圖示兩邊斜邊和一直角邊(如c，a)由sinA=兩直角邊(如a，b)由tanA=一邊一角斜邊和一銳角（如c，∠A）∠B=90°－∠A，一直角邊和一銳角（如a，∠A）∠B=90°－∠A，另一直角邊和一銳角（如b，∠A）∠B=90°－∠A，【注意】已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.【總結】在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對用正弦，有斜求鄰用余弦，無斜求對(鄰)用正切.知識模塊三：解直角三角形的應用知識點一：仰角、俯角視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．【注意】仰角和俯角是相對于水平線而言的，在不同的位置觀測，仰角和俯角是不同的.知識點二：坡度、坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h坡角：坡面與水平面的夾角α叫做坡角.【注意】坡度與坡角是兩個不同的概念，坡角是兩個面的夾角，坡度(用字母i表示)是比；兩者之壓間的關系是i=h知識點三：方位角、方向角方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°知識點四：解直角三角形實際應用的一般步驟①弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；②將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；當有些圖形不是直角三角形時，可適當添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.③選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；④得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．【常見類型】航海、建橋修路、測量樓高、塔高等.考點一：理解銳角三角函數的概念1．（2022·吉林長春·中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，AD垂直地面，垂足為點D，BC⊥AD，垂足為點C．設∠ABC=α，下列關系式正確的是（

）A．sinα=ABBC B．sinα=BCAB【答案】D【分析】根據正弦三角函數的定義判斷即可．【詳解】∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴sinα=故選：D．【點睛】本題考查了正弦三角函數的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數的定義是解答本題的關鍵．2．（2024·天津紅橋·一模）如圖，在RtΔABC中，∠ABC=90°，D為邊AB上一點，過點D作DE⊥AC，垂足為E，則下列結論中正確的是（A．sinA=BCAB B．cosA=AEAD【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，關鍵是掌握銳角三角函數定義．由銳角的三角函數定義，即可判斷．【詳解】解：∵DE⊥AC，∴∠AED=∠ABC=90°，A、sinA=BCACB、結論正確，故B符合題意；C、tanA=CBABD、tanA=BCAB故選：B．3．（2024廣州市模擬預測）在Rt△ABC中，∠C=90°，各邊都擴大2倍，則銳角A的三角函數值（

A．擴大2倍 B．不變 C．縮小12 D．擴大【答案】B【分析】本題考查的是銳角三角函數的定義，三角形相似的判定和性質，解題的關鍵是掌握銳角三角函數的定義，三角形相似的判定和性質，根據三角形相似的判定，可以確定各邊擴大后的三角形與原三角形相似，再根據相似三角形的性質可知銳角A的度數不變，所以銳角A對應的三角函數值就不變．【詳解】解：因為各邊擴大后的三角形與原三角形相似，銳角A的度數不變，銳角A對應的三角函數值就不變．故選：B．考點二：求角的三角函數值1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC．若AD=1，CD=3，則sin∠ABD=【答案】6【分析】過點D作BC的垂線交于E，證明出四邊形ABED為矩形，△BCD為等腰三角形，由勾股定理算出DE=5，BD=【詳解】解：過點D作BC的垂線交于E，∴∠DEB=90°∵∠A=∠ABC=90°，∴四邊形ABED為矩形，∴DE//AB,AD=BE=1，∴∠ABD=∠BDE，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∵AD//BE，∴∠ADB=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD∴CD=CB=3，∵AD=BE=1，∴CE=2，∴DE=D∴BD=∴sin∴sin故答案為：66【點睛】本題考查了銳角三角函數、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質，解題的關鍵是構造直角三角形求解．2．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F，若AB=6，BC=8，則cos∠ABF的值是【答案】24【分析】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題關鍵．折疊問題優先考慮利用勾股定理列方程，證BF=DF，再利用Rt△ABF【詳解】解：∵折疊，∴∠DBC=∠DBF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠ADB=∠DBC，∴∠DBF=∠ADB，∴BF=DF，∴AF=AD?DF=8?BF，在Rt△ABF中，A∴6解得BF=25∴cos故答案為：24253．（2024·江西·中考真題）將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形ABCD，連接AC，則tan∠CAB=【答案】12/【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質，正方形的性質，勾股定理，三角函數，如圖1，設等腰直角△MNQ的直角邊為a，利用圖形的位置關系求出大正方形的邊長和大等腰直角三角形的直角邊長，進而根據正切的定義即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：如圖1，設等腰直角△MNQ的直角邊為a，則MQ=2a，小正方形的邊長為∴MP=2a，∴EM=2a∴MT=EM=22∴QT=22如圖2，過點C作CH⊥AB的延長線于點H，則CH=BD，BH=CD，由圖（1）可得，AB=BD=22a，∴CH=22a，∴AH=22∴tan∠CAB=故答案為：12考點三：由三角函數求邊長1．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點E在矩形ABCD的邊CD上，將△ADE沿AE折疊，點D恰好落在邊BC上的點F處，若BC=10．sin∠AFB=45，則

【答案】5【分析】利用矩形的性質及折疊的性質可得AD=AF=10，EF=ED，可得AB=AF?sin∠AFB=10×45=8，BF=AF【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC=10，根據折疊可知，可知AD=AF=10，EF=ED，則，在Rt△ABF中，AB=AF?sin∠AFB=10×∴BF=AF2設DE=x，則CE=CD?DE=8?x，在Rt△CEF中，EF2解得：x=5，即：DE=5，故答案為：5．【點睛】本題考查矩形的性質、折疊的性質、解直角三角形，靈活運用折疊的性質得到相等線段是解決問題的關鍵．2．（2024·山東青島·中考真題）如圖，△ABC中，BA=BC，以BC為直徑的半圓O分別交AB，AC于點D，E，過點E作半圓O的切線，交AB于點M，交BC的延長線于點N．若ON=10，cos∠ABC=35【答案】6【分析】本題主要考查了切線的性質，解直角三角形，等邊對等角，平行線的性質與判定等等，解題的關鍵在于證明∠EON=∠ABC，根據等邊對等角推出∠A=∠OEC，則可證明AB∥OE得到∠EON=∠ABC，再由切線的性質得到∠OEN=90°，則解Rt△EON求出OE【詳解】解：如圖所示，連接OE，∵OE=OC，∴∠A=∠BCA，∴∠A=∠OEC，∴AB∥OE，∴∠EON=∠ABC，∵MN是⊙O的切線，∴∠OEN=90°，∴在Rt△EON中，cos∴OE=3∴半徑OC的長為6，故答案為：6．3．（2023·山東·中考真題）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點D，E在邊BC上，若∠DAE=30°，tan∠EAC=1

【答案】3?【分析】過點A作AH⊥BC于H，根據等邊三角形的性質可得∠BAC=60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH=30°，再根據∠BAD+∠EAC=30°，可得∠DAH=∠EAC，從而可得tan∠DAH=tan∠EAC=13，利用銳角三角函數求得AH=AB?【詳解】解：過點A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC=6，∠BAC=60°，∵AH⊥BC，∴∠BAH=1∴∠BAD+∠DAH=30°，∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠DAH=∠EAC，∴tan∠DAH=∵BH=1∵AH=AB?sin∴DHAH∴DH=3∴BD=BH?DH=3?3故答案為：3?3

【點睛】本題考查等邊三角形的性質、銳角三角函數，熟練掌握等邊三角形的性質證明∠DAH=∠EAC是解題的關鍵．考點四：由特殊角的三角函數值求解1．（2024·山東青島·中考真題）計算：18+1【答案】22+3【分析】本題主要考查了二次根式的加減計算，負整數指數冪和求特殊角三角函數值，先計算特殊角三角函數值，負整數指數冪和化簡二次根式，再根據二次根式的加減計算法則求解即可．【詳解】解：18=3=3=22故答案為：222．（2023·山東·中考真題）計算：|3?2|+2【答案】1【分析】根據先計算絕對值，特殊角的三角函數值，零指數冪，再進行加減計算即可．【詳解】解：3=2?=1故答案為：1．【點睛】本題考查了實數的運算，掌握絕對值、特殊角的三角函數值、零指數冪的運算是解題的關鍵．3．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α?β)=sinαcos【答案】6【分析】根據sin(α?β)=【詳解】解：sin=sin=2=6=6?故答案為：6?【點睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數值的計算，掌握公式的轉化是解題的關鍵．考點五：在平面直角坐標系中求銳角三角函數值1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線y=34x上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經過點A，另一條直角邊與直線OA交于點B，當點C在x軸上移動時，線段AB【答案】15【分析】利用一次函數求出點A的坐標，利用勾股定理求出OA，當點C在x軸上移動時，作AB與AB'關于AC對稱，且AB'交x軸于點D，由對稱性質可知，AB'=AB，∠BAC'=∠DAC'，當AB'⊥x軸于點D時，AB=AB'=AD+B'D最短，記此時點C所在位置為C【詳解】解：∵點A在直線y=34x∴點A的坐標為4,3，∴OA=5，當點C在x軸上移動時，作AB與AB'關于AC對稱，且AB'交由對稱性質可知，AB當AB'⊥x軸于點D時，AB=AB'由對稱性質可知，∠BAC作C'E⊥AB于點E，有設DC'=E∴sin∴m4?m解得m=3經檢驗m=3∵∠AC'D+∠D∴∠DC∵∠C∴△C∴B∴B解得B'∴AB=AB故答案為：154【點睛】本題考查了軸對稱性質，勾股定理，銳角三角函數，相似三角形性質和判定，角平分線性質，垂線段最短，一次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據軸對稱性質和垂線段最短找出最短的情況．2．（2024·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，拋物線y=x2+2x+c（c是常數）經過點?2,?2．點A、B是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為m、?m，點C的橫坐標為?5m，點C的縱坐標與點A的縱坐標相同，連結AB(1)求該拋物線對應的函數表達式；(2)求證：當m取不為零的任意實數時，tan∠CAB(3)作AC的垂直平分線交直線AB于點D，以AD為邊、AC為對角線作菱形ADCE，連結DE．①當DE與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形ADCE的面積；②當此拋物線在菱形ADCE內部的點的縱坐標y隨x的增大而增大時，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)y=(2)見詳解(3)①S菱形ADCE=9；②m≤?3或【分析】（1）將?2,?2代入y=x（2）過點B作BH⊥AC于點H，由題意得Am,m2+2m?2,B?m,m（3）①記AC,DE交于點M，C?5m,m2+2m?2，而對稱軸為直線x=?1，則?m+5m2=?1，解得：m=12，則AM=32，②分類討論，數形結合，記拋物線頂點為點F，則F?1,?3，故菱形中只包含在對稱軸右側的拋物線，當m>0時，符合題意；當m繼續變大，直至當直線CD經過點F時，符合題意，過點F作FQ⊥AC于點Q，由∠CAD=∠FCQ，得到m2+2m?2??3?1??5m=2，解得：m=4?13或m=4+13（舍），故0<m≤4?13，當m>4?13時，發現此時菱形包含了對稱軸左側的拋物線，不符合題意；當m<0時，符合題意：當m繼續變小，直至點A與點F重合，此時m=?1，故?1≤m<0；當m繼續變小，直線AE經過點F時，也符合題意，過點F作FQ⊥AC于點Q，同上可得，m2+2m?2??3?1?m=2，解得：【詳解】（1）解：將?2,?2代入y=x得：4?4+c=?2，解得：x=?2，∴拋物線表達式為：y=x（2）解：過點B作BH⊥AC于點H，則∠AHB=90°，由題意得：Am,∴BH=yA?∴在Rt△AHB中，tan（3）解：①如圖，記AC,DE交于點M，由題意得，C?5m,由?b得：對稱軸為直線：x=?1∵四邊形ADCE是菱形，∴點A、C關于DE對稱，AC=2AM,DE=2DM，∵DE與此拋物線的對稱軸重合，∴?m+5m2解得：m=1∴xA∴AM=∴AC=3，∵tan∠CAB=∴DM=3，則DE=6，∴S菱形②記拋物線頂點為點F，把x=?1代入y=x2+2x?2∴F?1,?3∵拋物線在菱形ADCE內部的點的縱坐標y隨x的增大而增大，∴菱形中只包含在對稱軸右側的拋物線，當m>0時，如圖，符合題意，當m繼續變大，直至當直線CD經過點F時，符合題意，如圖：過點F作FQ⊥AC于點Q，∵四邊形ADCE是菱形，∴DA=DC，∴∠CAD=∠FCQ，∴tan∠FCQ=∴m2解得：m=4?13或m=4+∴0<m≤4?13當m>4?13當m<0時，如圖，符合題意：當m繼續變小，直至點A與點F重合，此時m=?1，符合題意，如圖：∴?1≤m<0；當m繼續變小，直至直線AE經過點F時，也符合題意，如圖：過點F作FQ⊥AC于點Q，同上可得，tan∠FAQ=∴m2解得：m=?3或m=?1（舍），當m繼續變小時，仍符合題意，如圖：∴m≤?3，綜上所述，m的取值范圍為：m≤?3或?1≤m<0或0<m≤4?13【點睛】本題考查了拋物線與幾何的綜合，菱形的性質，待定系數法求函數解析式，求銳角的正切值，正確理解題意，利用數形結合的思想，找出臨界狀態是解決本題的關鍵．3．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于A?1,0，B3,0兩點，與(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），設點C關于直線l的對稱點為點D，在直線l上是否存在一點P，使PA?PD有最大值？若存在，求出PA?PD的最大值；若不存在，請說明理由；(3)如圖（乙），設點M為拋物線上一點，連接MC，過點M作MN⊥CM交直線l于點N．若tan∠MCN=23【答案】(1)y=?(2)PA?PD存在最大值；最大值為10(3)點M的坐標為?1,0或12,154【分析】（1）把A?1,0，B3,0代入拋物線求出a、（2）先求出點C的坐標為0,3，連接PC、PD、PA，根據軸對稱的性質得出PC=PD，PA?PC=PA?PD，得出當PA?PC最大時，PA?PD最大，根據當點A、C、P三點在同一直線上時，PA?PC最大，即當點P在點P'時，PA?PD（3）過點M作ED∥y軸，過點C作CD⊥DE于點D，過點N作NE⊥DE于點E，設點M的坐標為：m,?m2+2m+3，得出DM=?m2+2m+3?3=?m2+2m，NE=m?1，證明△CDM∽△MEN【詳解】（1）解：把A?1,0，B3,0代入a?b+3=09a+3b+3=0解得：a=?1b=2∴拋物線的解析式為：y=?x（2）解：PA?PD存在最大值；把x=0代入y=?x2+2x+3∴點C的坐標為0,3，∵y=?x∴拋物線的對稱軸為直線x=1，連接PC、PD、PA，如圖所示：∵點C關于直線l的對稱點為點D，點P在直線l上，∴PC=PD，∴PA?PC=PA?PD，∴當PA?PC最大時，PA?PD最大，∴當點A、C、P三點在同一直線上時，PA?PC最大，即當點P在點P'時，PA?PD∴PA?PD最大值為：AC=1（3）解：過點M作ED∥y軸，過點C作CD⊥DE于點D，過點N作NE⊥DE于點∵CM⊥MN，∴∠CMN=90°，∴tan∠MCN=設點M的坐標為：m,?m∴DM=?m2∵∠CMN=∠NEM=∠CDM=90°，∴∠DCM+∠CMD=∠CMD+∠NME=90°，∴∠DCM=∠NME，∴△CDM∽△MEN，∴NEDM∴m?1?∴2?當m≤0時，?m2+2m≤02m解得：m1=?1，此時點M坐標為：?1,0；當0<m≤1時，?m2+2m>0?2m解得：m1=3此時點M坐標為：12當1<m≤2時，?m2+2m≥0?2m解得：m1=3此時點M坐標為：32當m>2時，?m2+2m<02m解得：m1=3，此時點M坐標為：3,0；綜上分析可知：點M坐標為：?1,0或12,154或【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，求二次函數解析式，軸對稱的性質，兩點間距離公式，解直角三角形的相關計算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握相關的判定和性質，注意進行分類討論．考點六：在網格中求銳角三角函數值1．（2024·內蒙古包頭·模擬預測）如圖，在邊長為1的正方形網格中，點A、B、C、D、E都在小正方形格點的位置上，連接AB，CD相交于點P，根據圖中提示所添加的輔助線，可以求得tan∠BPC的值是（

A．12 B．55 C．2 【答案】C【分析】本題考查了三角函數，勾股定理，平行線的性質，解題的關鍵是數形結合．由題得：CD∥BE，∠AED=45°，∠BED=45°，根據勾股定理求出AE=22，BE=2，進而求出【詳解】解：由題得，CD∥BE，∠AED=45°，∠BED=45°，∴∠BPC=∠ABE，∠AEB=90∵AE=22+∴在Rt△ABE中，tan則tan∠BPC=故選：C．2．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，是由小正方形組成的7×6網格，每個小正方形的頂點叫做格點，△ABC的三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

(1)在圖1中，將線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AM；在AC上畫點N，使tan(2)在圖2中，D是BC上任意一點，先畫AD的中點E，再在BC上找到一點F，使得∠AFB=∠CFE.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據旋轉的性質可得線段AM，借助網格中平行線可得比例線段，從而求解．（2）利用矩形MBNA性質，可得AO=BO，四邊形AHCG是平行四邊形，AO本題考查作圖——旋轉變換，軸對稱變換、平行線的性質，解直角三角形，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖1，根據旋轉的性質可得線段AM，取格點P，Q，連結PQ交AM于點O，此時APQM=即AOAM連結OB交AC于點N，∴tan則點N即為所求．

（2）解：如圖2，連結MN，交AB于點O，∵四邊形MBNA是矩形，∴AO=BO，AC與HG交于點O'∵四邊形AHCG是平行四邊形，∴AO連結OO'交AD于點E，點連結BL、KP交于點Q，連結

CB'、DC連結QQ'交G'D于點E'，連結A點F即為所求．

3．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖是由邊長為1的小正方形構成的網格，點A、D、E、F在格點上，點B、C是直線EF與網格線的交點．請用無刻度的直尺在給定網格中完成下列畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示．(1)如圖1，將線段EF繞著點E逆時針旋轉90°得到線段EM，在線段AD上取點P，使得tan∠PFE=34，并畫出點E關于PF(2)如圖2，在線段AD上畫一個點N，使得△ABN∽△DNC.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據旋轉的性質，作出線段EM，在EM取點G，使EG:GM=3:1，連接FG交AD于點P，作正方形EMNF，在MN上取點S，使MS:SN=3:1，連接ES，在PF上取點H，延長EH至點K，使EH=HK，過點K作KL∥FP，交ES與點Q，即可；（2）在AD上取格點N，使CDAN【詳解】（1）解：如圖，線段EM，格點P,Q即為所求；由旋轉的性質可知，EF=EM，∠FEM=90°，由作圖和格點中的相似三角形可知：EG:GM=3:1，∴EG:EM=3:4，∴tan∠PFE=作正方形EMNF，在MN上取點S，使MS:SM=3:1，可得：△EFG≌△MED，∴∠MES=∠EFG，∴∠MES+∠EGF=∠GFE+∠EGF=90°，∴FP⊥ES，延長EH至點K，使EH=HK，過點K作KL∥FP，交ES與點Q，由平行線分線段成比例，可知，E,Q關于PF對稱；（2）如圖，點N即為所求：由作圖可知：CDAN=DN∴△ABN∽△DNC.【點睛】本題考查無刻度直尺的格點作圖，旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等知識點，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．考點七：三角函數綜合1．（2022·浙江寧波·中考真題）如圖1，⊙O為銳角三角形ABC的外接圓，點D在BC上，AD交BC于點E，點F在AE上，滿足∠AFB?∠BFD=∠ACB,FG∥AC交BC于點G，BE=FG，連結BD，DG．設∠ACB=α．(1)用含α的代數式表示∠BFD．(2)求證：△BDE≌△FDG．(3)如圖2，AD為⊙O的直徑．①當AB的長為2時，求AC的長．②當OF:OE=4:11時，求cosα【答案】(1)∠BFD=90°?(2)見解析(3)①3；②cos【分析】（1）根據∠AFB?∠BFD=∠ACB=α，∠AFB+∠BFD=180°即可求解；（2）由（1）的結論，FG∥AC、BE=FG證△BDE≌△FDG(SAS)即可；（3）①通過角的轉換得∠ABC=∠ABD?∠DBG=3α2，即可求AC的長；②連結BO，證△BDG∽△BOF，設OF=4x，則【詳解】（1）∵∠AFB?∠BFD=∠ACB=α，①又∵∠AFB+∠BFD=180°，②②-①，得2∠BFD=180°?α，∴∠BFD=90°?α（2）由（1）得∠BFD=90°?α∵∠ADB=∠ACB=α，∴∠FBD=180°?∠ADB?∠BFD=90°?α∴DB=DF．∵FG∥AC，∴∠CAD=∠DFG．∵∠CAD=∠DBE，∴∠DFG=∠DBE．∵BE=FG，∴△BDE≌△FDG(SAS)．（3）①∵△BDE≌△FDG，∴∠FDG=∠BDE=α，∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α．∵DE=DG，∴∠DGE=1∴在△BDG中，∠DBG=180°?∠BDG?∠DGE=90°?3α∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD=90°．∴∠ABC=∠ABD?∠DBG=3α∴AC與AB的度數之比為3∶2．∴AC與AB的長度之比為3∶2，∵AB=2∴AC=3②如圖，連結BO．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=α，∴∠BOF=∠OBD+∠ODB=2α．∵∠BDG=2α，∴∠BOF=∠BDG．∵∠BGD=∠BFO=90°?α∴△BDG∽△BOF，設△BDG與△BOF的相似比為k，∴DGOF∵OFOE∴設OF=4x，則OE=11x，∴OB=OD=OE+DE=11x+4kx，BD=DF=15x+4kx，∴BDBO由15+4k11+4k=k，得解得k1=5∴OD=11x+4kx=16x，BD=15x+4kx=20x，∴AD=2OD=32x，在Rt△ABD中，cos∠ADB=∴cosα=【點睛】本題主要考查圓的性質、三角函數、三角形的全等、三角形的相似，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．2．（2022·甘肅武威·中考真題）已知正方形ABCD，E為對角線AC上一點．(1)【建立模型】如圖1，連接BE，DE．求證：BE=DE；(2)【模型應用】如圖2，F是DE延長線上一點，FB⊥BE，EF交AB于點G．①判斷△FBG的形狀并說明理由；②若G為AB的中點，且AB=4，求AF的長．(3)【模型遷移】如圖3，F是DE延長線上一點，FB⊥BE，EF交AB于點G，BE=BF．求證：GE=2【答案】(1)見解析(2)①等腰三角形，見解析；②13(3)見解析【分析】(1)根據正方形的性質，證明△ABE?ADESAS（2）①根據（1）的證明，證明∠FBG=∠FGB即可．②過點F作FH⊥AB，垂足為H.利用三角函數求得FH，AH的長度即可．(3)證明GE=EF?FG=2【詳解】（1））證明：∵四邊形ABCD為正方形，AC為對角線，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°.∵AE=AE，∴△ABE?ADESAS∴BE=DE.（2）①△FBG為等腰三角形.理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠GAD=90°，∴∠AGD+∠ADG=90°.∵FB⊥BE，∴∠FBG+∠EBG=90°，由（1）得∠ADG=∠EBG，∴∠AGD=∠FBG，又∵∠AGD=∠FGB，∴∠FBG=∠FGB，∴△FBG為等腰三角形.②如圖1，過點F作FH⊥AB，垂足為H.∵四邊形ABCD為正方形，點G為AB的中點，AB=4，∴AG=BG=2，AD=4.由①知FG=FB，∴GH=BH=1，∴AH=AG+GH=3.在Rt△FHG與Rt∵∠FGH=∠DGA，∴tan∠FGH=∴FHGH∴FH=2.在Rt△AHF中，AF=（3）如圖2，∵FB⊥BE，∴∠FBE=90°.在Rt△EBF中，BE=BF∴EF=2由（1）得BE=DE，由（2）得FG=BF，∴GE=EF?FG=2【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的判定和性質，三角函數的應用，勾股定理，熟練掌握正方形的性質，勾股定理和三角函數是解題的關鍵．3．（2024·四川成都·中考真題）數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質．已知三角形紙片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°．【初步感知】（1）如圖1，連接BD，CE，在紙片ADE繞點A旋轉過程中，試探究BDCE【深入探究】（2）如圖2，在紙片ADE繞點A旋轉過程中，當點D恰好落在△ABC的中線BM的延長線上時，延長ED交AC于點F，求CF的長．【拓展延伸】（3）在紙片ADE繞點A旋轉過程中，試探究C，D，E三點能否構成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由．【答案】（1）BDCE的值為35；（2）CF=7039；（3）直角三角形【分析】（1）根據AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°．證明△ADE≌△ABC，AC=AE=AB2+BC2=AD2+D（2）連接CE，延長BM交CE于點Q，根據(1)得△CAE∽△BAD，得到∠ABD=∠ACE，根據中線BM得到BM=AM=CM=12AC=52，繼而得到∠MBC=∠MCB，結合∠ABD+∠MBC=90°，得到∠ACE+∠MCB=90°即∠BCE=90°，得到AB∥CQ（3）運用分類思想解答即可．【詳解】（1）∵AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°．∴△ADE≌△ABCSAS∴AC=AE=AB2∴∠DAE?∠DAC=∠BAC?∠DAC即∠CAE=∠BAD，∵AB∴△CAE∽△BAD，∴BDCE（2）連接CE，延長BM交CE于點Q，根據（1）得△CAE∽△BAD，∴∠ABD=∠ACE，∵BM是中線∴BM=AM=CM=1∴∠MBC=∠MCB，∵∠ABD+∠MBC=90°，∴∠ACE+∠MCB=90°即∠BCE=90°，∴AB∥CQ，∴∠BAM=∠QCM,∠ABM=∠CQM，∵∠BAM=∠QCM∠ABM=∠CQM∴△BAM≌△QCMAAS∴BM=QM，∴四邊形ABCQ是平行四邊形，∵∠ABC=90°∴四邊形ABCQ矩形，∴AB=CQ=3,BC=AQ=4,∠AQC=90°，∴PQ∥CN,EQ=A∴EPPN∴PQ=1設PQ=x,CN=2x，則AP=4?x，∵∠EPQ=∠APD∠EQP=∠ADP=90°∴△EQP≌△ADPAAS∴AP=EP=4?x，∵EP∴4?x2解得x=7∴AP=4?x=258，∵PQ∥CN,AC=5，∴△APF∽△CNF，∴APCN∴AP+CNCN∴258解得CF=70（3）如圖，當AD與AC重合時，此時DE⊥AC，此時△CDE是直角三角形，故S△CDE如圖，當AD在CA的延長線上時，此時DE⊥AC，此時△CDE是直角三角形，故S△CDE如圖，當DE⊥EC時，此時△CDE是直角三角形，過點A作AQ⊥EC于點Q，∵AE=AC=5，∴EQ=QC=1∵AQ⊥EC，DE⊥EC，DE⊥AD，∴四邊形ADEQ是矩形，∴AD=EQ=QC=1∴EC=6，故S△CDE如圖，當DC⊥EC時，此時△CDE是直角三角形，過點A作AQ⊥EC于點Q，交DE于點N，∴EQ=QC=12EC=x∴ENDN∴DN=EN=12DE=2∵∠AND=∠ENQ,∠ADN=∠EQN=90°，∴∠DAN=∠QEN，∴tan∠DAN=∴QNEQ∴QN=2∴DC=4∵ED∴42∴x2解得x=6故S△CDE綜上，直角三角形CDE的面積為4或16或12或4813【點睛】本題考查了旋轉的性質，三角形相似的判定和性質，三角形中位線定理的判定和應用，三角形全等的判定和性質，三角函數的應用，勾股定理，熟練掌握三角函數的應用，三角形相似的判定和性質，矩形的判定和性質，中位線定理是解題的關鍵．考點八：解直角三角形的相關計算1．（2024·山西·中考真題）如圖，在?ABCD中，AC為對角線，AE⊥BC于點E，點F是AE延長線上一點，且∠ACF=∠CAF，線段的延長線交于點G．若AB=5，AD=4，tan∠ABC＝2，則【答案】20519【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質、解直角三角形的應用、相似三角形的判定和性質等知識點，正確地添加輔助線構造相似三角形并利用相似三角形的性質進行計算是解題的難點和關鍵．如圖：過點F作FH⊥AC于H，延長AD與GC的延長線交于K，由tan∠ABC=AEBE=2得AE=2BE，進而得BE=1，AE=2，則CE=3，AC=13，再由∠ACF=∠CAF得FA=FC，則AH=CH=132，由S△FAC=12AC·FH=12AF·CE，得FH=AF?CE【詳解】解：如圖：過點F作FH⊥AC于H，延長AD與GC的延長線交于K，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD=5,BC=AD=4又∵AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∴AE=2BE，由勾股定理得：AE2+B∴BE=1，∴AE=2BE=2，∴CE=BC?BE=3，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC=∵∠ACF=∠CAF，∴FA=FC，∵FH⊥AC，∴AH=CH=1∵S△FAC∴FH=AF?CE在Rt△AFH中，由勾股定理得：AF2∴AF=13∴EF=AF?AE=5∵BC∥∴△FCE∽∴EF：AF=CE：∴AK=39∴DK=AK?AD=19∵AB∥∴△KDC∽∴DK：AK=CD：∴AG=39∴BG=AG?AB=39故答案為：2052．（2024·寧夏·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，點D是△ABC的內心，連接AD并延長交⊙O于點E，過點E作⊙O的切線交AB的延長線于點F．(1)求證：BC∥EF；(2)連接CE，若⊙O的半徑為2，sin∠AEC=12【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題考查了三角形的內切圓與內心，三角函數的定義，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算．（1）連接OE，交BC于點G，根據等腰三角形的性質得到∠OAE=∠OEA，由D為△ABC的內心，得到∠OAE=∠CAE，求得OE∥AC，根據圓周角定理得到∠∠ACB=90°，求得∠BGO=90°，根據切線的性質得到（2）根據三角函數的定義得到∠AEC=30°，求得∠ABC=∠AEC=30°，求得EF=OE?tan【詳解】（1）證明：連接OE，交BC于點G，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，又∵D為△ABC的內心，∴∠OAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BGO=90°又∵EF為⊙O的切線且OE為⊙O的半徑，∴∠FEO=90°，∴∠BGO=∠FEO，∴BC∥EF；（2）解：∵sin∴∠AEC=30°，∴∠ABC=∠AEC=30°，∴∠BOE=60°,∠EFO=30°，∴EF=OE?tan∴==233．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，在⊙O中，點A，B，C，D為圓周的四等分點，AE為切線，連接ED，并延長交⊙O于點F，連接BF交AC于點G．(1)求證：AD平分∠CAE；(2)求證：△ADE≌△ABG；(3)若AE=3，AG=3GC，求cos∠CBF【答案】(1)見解析(2)見解析(3)cos【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、、切線的性質和解直角三角形，證明△ADE≌△ABG實際解題的關鍵．（1）利用圓周四等分點得到∠COD=∠BOC=90°，再根據切線的性質得到∠CAE=90°，所以∠DAE=45°，從而即可解題；（2）根據圓內接四邊形的性質證明∠ADE=∠ABG，則可利用“ASA”判斷△ADE≌△ABG；（3）過點G作GH⊥BC于點H，如圖，先利用△ADE≌△ABG得到AE=AG=3，DE=BG，所以GC=1，AC=4，然后利用解直角三角形解題即可．【詳解】（1）證明：連接BD.∵點A，B，C，D為圓周的四等分點，∴AC⊥BD，即圓心角∠COD=∠BOC=90°.∵CD∴∠CAD=1∵AE為⊙O的切線，∴∠CAE=90°，∴∠DAE=∠CAE?∠CAD=90°?45°=45°.∴∠DAE=∠CAD.∴AD平分∠CAE.（2）∵BC=∴∠BAC=1∴∠BAC=∠DAE.在四邊形ABFD中，∠ABF+∠BFD+∠FDA+∠DAB=360°.∵BD為直徑，∴∠BFD+∠DAB=90°+90°=180°，∴∠ABG+∠ADF=360°?180°=180°.∵∠ADE+∠ADF=180°，∴∠ADE=∠ABG.∵點A，B，C，D為圓周的四等分點，∴AD∴AD=AB.在△AED和△ABG中，∠EAD=∠BAG,∴△ADE≌△ABGASA（3）連接CF，∵AE=3，由（2）中△ADE≌△ABG，得AE=AG=3，DE=BG.又AG=3GC，即AG=3GC=3，∴GC=1，∴AC=AG+GC=3GC+GC=4GC=4.∴⊙O的半徑為2.∴在△BOG中，BG=B過點G作GH⊥BC于點H.由題意得∠ACB=45°，∴△CGH為等腰直角三角形，∴GH=2在△BGH中，BH=B∴cos4．（2023·浙江紹興·中考真題）1一副直角三角尺如圖1所示，中間各有一個直徑為4cm的圓洞，現將三角尺a的30°角的那一頭插入三角尺b圓洞內，如圖2所示．則三角尺a通過三角尺b圓洞的那一部分的最大面積為cm22如圖3，矩形ABCD中，點E是邊AB中點，點P是邊AD上一動點，沿直線PE將△APE翻折，點A落在點F處．已知AB=6,AD=4，連結CF,CE．①當AP=4時，CF=；②當△CEF為直角三角形時，AP=．【答案】8+432375【分析】1四邊形OACB是三角尺a通過三角尺b圓洞的最大圖形，過點A作AD⊥BC于點D，OF⊥AD于點F，延長BO交CA于點E，把穿過圓洞的四邊形分成一個直角三角形和一個直角梯形，利用銳角三角函數分別求出AD、CD、BD的長度，根據S四邊形2①點P與點D重合，過點F作MN∥AD，可得△DMF∽△FNE，利用相似三角形的性質把各邊用含x的代數式表示出來，再利用勾股定理列出關于x的方程，解方程求出x②當△CEF為直角三角形時，分兩種情況：一種情況是當∠FEC=90°時，另一種情況是當∠EFC=90°時，分別利用勾股定理列方程求解．【詳解】1解：如下圖所示，四邊形OACB是三角尺a通過三角尺b圓洞的最大圖形，∵圓洞的最大直徑為4cm∴OA=OB=2cm，∠C=30°，OA⊥CA，OB⊥CB過點A作AD⊥BC于點D，OF⊥AD于點F，延長BO交CA于點E，則有∠FAO=∠AOE=30°，∴OF=1則AF=A∴AD=AF+DF=3∵tan∴CD=3CB=CD+DB=CD+FO=3+23S△ADCS梯形∴S故答案為：8+432①如下圖所示，當AP=4時，點P與點D重合，過點F作MN∵AB=6，點E為AB的中點，∴AE=1∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴PE=A∵MN∥∴∠ENF=∠DMN=90°，∴∠MDF+∠MFD=90°，又∵∠DFE=∠A=90°，∴∠EFN+∠MFD=90°，∴∠FEN=∠MFD，∴△DMF∽△FNE，∴DF∴4設EN=3x，則FM=4x，∴FN=4?4x，在Rt△FEN中，E∴3x解得：x=725或1當x=725時，EN=3×7MC=NB=AB?AE?EN=6?3?21∴CF=C故答案為：2375②如下圖所示，當∠FEC=90°時，

過點F作FH⊥AB，

則有△FHE∽△EBC，∴FH∴FH=95，∴AH=AB?BE?EH=6?3?12過點P作PQ⊥FH，則四邊形APQH為矩形，QH=AP，∴FQ=FH?QH=FH?AP=95?AP，PQ=AH=在△PFQ中，PQ∴3解得：AP=1；如下圖所示，當∠EFC=90°時，EF=AE=3，PF=AP，∠PFE=∠A=90°，∴點P、F、C在一條線上，

則PC=PF+CF=AP+CF，DP=AD?AP=4?AP，在Rt△BEC中，CE=在Rt△CFE中，CF=∴PC=PF+CF=AP+4，在Rt△DPC中，D∴4?AP整理得：16AP=36，解得：AP=9綜上所述當AP=94或1時△CEF【點睛】本題主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定與性質、勾股定理．解決本題的關鍵是作輔助線構造相似三角形和全等三角形．考點九：構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積1．（2024·廣東廣州·一模）已知在四邊形ABCD中，∠BAD=75°，∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC=42（1）CD的長是；（2）若E是CD邊上一個動點，連接AE，過點D作DF⊥AE，垂足為點F，在AF上截取FP=FD，當△PBC的面積最小時，點P到BC的距離是【答案】442?【分析】（1）連接AC，根據條件易知△ABC是等腰直角三角形，所以求得AC=8，再利用∠BAD=75°求得∠CAD=30°，在Rt△ACD中即可求出CD（2）連接DP，過點P作PG⊥BC于點G，當點O、P、G共線時，PG的長最小，則△PBC【詳解】（1）解：連接AC，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4∴∠BAC=45°，∵∠BAD=75°，∴∠CAD=75°?45°=30°，∴在Rt△ACD中，CD=故答案為：4（2）在Rt△ACD中，易得AD=AC?連接DP，由題意可知△PDF是等腰直角三角形，∴∠FPD=45°，∴∠APD=135°，∴點P是△APD外接圓的AD上的一個動點，作△APD的外接圓⊙O，連接OA，OP，∴△AOD∴OA=2過點P作PG⊥BC于點G，當點O、P、G共線時，PG的長最小，則△PBC當點O、P、G共線時，OG∥AB，∴∠AOP=180°?∠BAD?∠OAD=180°?75°?45°=60°，∴△AOP是等邊三角形，AP=OA=26過點P作PH⊥AB于點H，∴四邊形PGBH是矩形，∵∠PAH=∠APO=60°，∴AH=1則PG=BH=42故點P到BC的距離是42故答案為：4【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質和面積最小問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用轉化的思想思考問題．2．（2023·安徽·二模）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點C在圓上，AB=10，AC=6，點C、E分別在AB兩側，且E為半圓AB的中點．(1)求△ABC的面積；(2)求CE的長．【答案】(1)24(2)7【分析】（1）由直徑所對的圓周角是直角可以得到∠ACB=90°，根據勾股定理求BC長，然后求出面積即可；（2）連AE，過點A作AD⊥AC于點D，則∠ACE=45°，解直角三角形解題即可．【詳解】（1）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴BC=AB∴S△ABC（2）連AE，過點A作AD⊥AC于點D，∵E為半圓AB的中點，∴∠ACE=∠ECB=1∵sin∠ACE∴AD=CD=AC又∵∠E=∠B,∴tan∠E∴ADDE∴DE=42∴CE=DE+DC=42【點睛】本題考查解直角三角形，直徑所對的圓周角是直角，圓周角定理，能作輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．3．（2022·浙江寧波·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，將得到的兩個△ACD和△BCD按圖①、圖②、圖③三種方式放置，設三個圖中陰影部分的面積分別為S1，S2，S3，若S1=SA．S1=1.5S3 B．S1=2【答案】A【分析】分析題意，過點F作EF⊥BD，交BD于點E，是在各自圖形中找到面積表達式，利用已知的等量關系，結合所給的圖及直角三角形高線性質，找出S1與S【詳解】解：如圖②所示，過點F作EF⊥BD，交BD于點E，S1==1S2∵S∴EF=BD?AD∴SS3由題目中所給的圖及直角三角形高線性質可知：C'C'∴S1=1∴S故選：A．【點睛】本題考查對于三角形面積公式的運用，解題關鍵是在各自圖形中找到面積表達式，利用已知的等量關系，結合所給的圖及直角三角形高線性質，找出S1與S4．（2021·江蘇連云港·中考真題）我市的前三島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚，將魚竿AB擺成如圖1所示．已知AB=4.8m，魚竿尾端A離岸邊0.4m，即AD=0.4m．海面與地面AD平行且相距1.2（1）如圖1，在無魚上鉤時，海面上方的魚線BC與海面HC的夾角∠BCH=37°，海面下方的魚線CO與海面HC垂直，魚竿AB與地面AD的夾角∠BAD=22°．求點O到岸邊DH的距離；（2）如圖2，在有魚上鉤時，魚竿與地面的夾角∠BAD=53°，此時魚線被拉直，魚線BO=5.46m，點O恰好位于海面．求點O到岸邊DH的距離．（參考數據：sin37°=cos53°≈35，cos37°=sin53°≈【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【分析】（1）過點B作BF⊥CH，垂足為F，延長AD交BF于點E，構建Rt△ABE和Rt△BFC，在Rt△ABE中，根據三角函數的定義與三角函數值求出BE,AE;再用BE+EF求出BF，在Rt△BFC中，根據三角函數的定義與三角函數值求出FC，用CF+AE?AD=CH;（2）過點B作BN⊥OH，垂足為N，延長AD交BN于點M，構建Rt△ABM和Rt△BNO，在Rt△ABM中，根據53°和AB的長求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在Rt△BNO中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．【詳解】（1）過點B作BF⊥CH，垂足為F，延長AD交BF于點E，則AE⊥BF，垂足為E．由cos∠BAE=AEAB，∴1516=AE∴DE=AE?AD=4.5?0.4=4.1，由sin∠BAE=BEAB，∴38=BE∴BF=BE+EF=1.8+1.2=3．又tan∠BCF=BFCF，∴34=3∴CH=CF+HF=CF+DE=4+4.1=8.1，即C到岸邊的距離為8.1m．（2）過點B作BN⊥OH，垂足為N，延長AD交BN于點M，則AM⊥BN，垂足為M．由cos∠BAM=AMAB，∴cos53°=即AM=2.88，∴DM=AM?AD=2.88?0.4=2.48．由sin∠BAM=BMAB，∴sin53°=即BM=3.84，∴BN=BM+MN=3.84+1.2=5.04．∴ON=O∴OH=ON+HN=ON+DM=4.58，即點O到岸邊的距離為4.58m．【點睛】本題以釣魚為背景，考查了學生運用三角函數知識解決實際問題的能力，解題關鍵在于構造合適的直角三角形，運用三角函數的運算，根據一邊和一角的已知量，求其他邊；再根據特殊的幾何位置關系求線段長度．、重難點一：運用解直角三角形的知識解決視角相關問題1．（2024·山西·中考真題）研學實踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學校組織研學活動．同學們來到毛主席東渡黃河紀念碑所在地，在了解相關歷史背景后，利用航模搭載的3D掃描儀采集紀念碑的相關數據．數據采集：如圖，點A是紀念碑頂部一點，AB的長表示點A到水平地面的距離．航模從紀念碑前水平地面的點M處豎直上升，飛行至距離地面20米的點C處時，測得點A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向繼續飛行，飛行方向與水平線的夾角∠NCD=37°，當到達點A正上方的點E處時，測得AE=9米；…數據應用：已知圖中各點均在同一豎直平面內，E，A，B三點在同一直線上．請根據上述數據，計算紀念碑頂部點A到地面的距離AB的長（結果精確到1米．參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，【答案】點A到地面的距離AB的長約為27米【分析】本題考查解直角三角形的應用—仰角俯角問題、銳角三角函數，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．延長CD交AB于點H，根據矩形的性質得到CM=HB=20，解直角三角形即可得到結論．【詳解】解：延長CD交AB于點H，由題意得，四邊形CMBH為矩形，∴CM=HB=20，在Rt△ACH中，∠AHC=90°，∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=∴CH=AH在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=37°∴tan∠ECH=∴CH=EH設AH=x米．∵AE=9，∴EH=x+9，∴x0.33解得x≈7.1，∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）；答：點A到地面的距離AB的長約為27米．2．（2024·西藏·中考真題）在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為30°；格桑在B處測得山頂C的仰角為45°．已知兩人所處位置的水平距離MN=210米，A處距地面的垂直高度AM=30米，B處距地面的垂直高度BN=20米，點M，F，N在同一條直線上，求小山CF的高度．（結果保留根號）

【答案】1003【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質，解直角三角形的應用，證明四邊形AMFD和四邊形BNFE為矩形，得出DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，設CD=x，則CE=CD+DE=x+10米，解直角三角形得出AD=CDtan30°=x33=【詳解】解：根據題意可得：∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°，∠BEF=∠EFN=∠BNF=90°，∴四邊形AMFD和四邊形BNFE為矩形，∴DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，∴DE=DF?EF=30?20=10（米），設CD=x，則CE=CD+DE=x+10∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，∴AD=CD∵∠CBE=45°，∠CEB=90°，∴BE=CE∴MF=AD=3x，∵MN=210米，∴3x+x+10=210解得：x=1003∴CF=CD+DF=10033．（2024·山東濰坊·中考真題）在光伏發電系統運行時，太陽能板（如圖1）與水平地面的夾角會對太陽輻射的接收產生直接影響．某地區工作人員對日平均太陽輻射量y（單位：kW?h?(1)求y關于x的函數表達式；(2)該地區太陽能板與水平地面的夾角為多少度時，日平均太陽輻射量最大？(3)圖3是該地區太陽能板安裝后的示意圖（此時，太陽能板與水平地面的夾角使得日平均太陽輻射量最大），∠AGD為太陽能板AB與水平地面GD的夾角，CD為支撐桿．已知AB=2m，C是AB的中點，CD⊥GD．在GD延長線上選取一點M，在D,M兩點間選取一點E，測得EM=4m，在M,E兩點處分別用測角儀測得太陽能板頂端A的仰角為30°，45°，該測角儀支架的高為1m．求支撐桿CD的長．（精確到0.1m，參考數據：2≈1.414【答案】(1)y=?(2)30°(3)6.0【分析】本題主要考查待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的圖像和性質，解直角三角形，熟練掌握二次函數的圖像和性質是解題的關鍵．（1）設y關于x的函數表達式為y=ax（2）求出二次函數的對稱軸，在對稱軸處取最值；（3）延長NF與過點A作AH⊥GM的線交于點H，令FH=a，根據三角函數進行計算，求出GC=AG?CA=43【詳解】（1）解：設y關于x的函數表達式為y=ax將(0,40),(10,45),(30,49)代入，得40=c45=100a+10b+c解得a=?1∴y=?1（2）解：根據函數解析式得函數對稱軸x=?b故陽能板與水平地面的夾角為30度時，日平均太陽輻射量最大；（3）解：y=?1延長NF與過點A作AH⊥GM的線交于點H，令FH=a，∴AH=a，AN=2AH=2a，∴HN=A∵HN=HF+FN=4+a，∴3∴a=23∴AN=43延長AN交GM與J點，∵∠AJG=∠AGJ，∴AJ=AG，∵AJ=AN+NM∴AG=43∴GC=AG?CA=43∴CD=CGsin重難點二：運用解直角三角形的知識解決方向角相關問題1．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿AC方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西60°方向上的A處．記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西45°方向上的B處．記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東15°方向．請你根據以上信息解決下列問題：(1)填空：∠PAB=________°，∠APC=________°，AB=________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異常”區，請計算說明．（參考數據：2≈1.41【答案】(1)30；75；5(2)該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異常”區【分析】本題主要考查了方位角的計算，解直角三角形的實際應用，三角形內角和定理：（1）根據方位角的描述和三角形內角和定理可求出兩個角的度數，根據路程等于速度乘以時間可以計算出對應線段的長度；（2）設PD=x海里，先解Rt△PDB得到BD=x，再解Rt△APD得到AD=PDtanA=3x海里，AP=PDsinA【詳解】（1）解：如圖所示，過點P作PD⊥AC于D，由題意得，∠APD=60°，∴∠PAB=90°?∠APD=30°，∵一艘漁船自西向東（沿AC方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時從A出發到上午8時30分到達B，∴AB=10×0.5=5海里．（2）解：設PD=x海里，在Rt△PDB中，BD=PD?在Rt△APD中，AD=PDtan∵AD=AB+BD，∴x+5=3解得x=5∴AP=2x=5∵∠C=180°?∠A?∠APC=75°，∴∠C=∠APC，∴AC=AP=5上午9時時，船距離A的距離為10×1=10海里，∵53∴該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異常”區．2．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東30°方向，且A，B相距1633海里．一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東30°方向、燈塔

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東65°方向航行一段時間后，突發故障滯留于D處，并發出求救信號．此時，在燈塔B處的漁政船測得D處在北偏東27°方向，便立即以18海里/小時的速度沿BD方向航行至D處救援，求漁政船的航行時間．（注：點A，B，C，D在同一水平面內；參考數據：tan65°≈2.1，tan【答案】(1)B，C兩處的距離為16海里(2)漁政船的航行時間為75【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形．（1）根據題意易得AC=AB，則CE=BE，再求出BE=CE=AB（2）過點D作DF⊥BC于點F，設CF=x海里，則DF=CFtan65°=2.1x，DF=BFtan27°=0.516+x，則2.1x=0.516+x，求出x=5，進而得出【詳解】（1）解：過點A作AE⊥BC于點E，∵燈塔B在燈塔A的南偏東30°方向，C處在燈塔A的北偏東30°方向、燈塔B的正北方向．∴∠ACE=∠ABE=30°，∴AC=AB，∵AE⊥BC，∴CE=BE，∵AB=16∴BE=CE=AB∴BC=8×2=16（海里），∴B，C兩處的距離為16海里．

（2）解：過點D作DF⊥BC于點F，設CF=x海里，∵∠DCF=65°，∴DF=CFtan由（1）可知，BC=16海里，∴BF=16+x∵∠DBF=27°，∴DF=BFtan∴2.1x=0.516+x解得：x=5，∴BF=BC+CF=21海里，DF=CFtan根據勾股定理可得：BD=D∴漁政船的航行時間為215答：漁政船的航行時間為75

3．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關研究．數學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長為22km，南門O設立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求點A1到道路BC(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結果精確到0.1km，參考數據：2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，【答案】(1)∠CA1(2)2.0千米(3)2.4【分析】本題考查正多邊形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性質：（1）求出正八邊形的一個外角的度數，再根據角的和差關系進行求解即可；（2）過點A1作A1D⊥BC，垂足為D，解Rt△CA2A（3）連接CA8并延長交BM于點E，延長A1A8交BE于點G，過點A8作A8F⊥BC，垂足為【詳解】（1）解：∵正八邊形的一個外角的度數為：360°8∴∠CA1A故答案為：90,76；（2）過點A1作A1D⊥BC在Rt△CA2A1∴CA在Rt△CA1∴A答：點A1到道路BC（3）連接CA8并延長交BM于點E，延長A1A8交BE于點G，過點A∵正八邊形的外角均為45°，∴在Rt△A7∴FB=A又∵A8F=∴CB=CD+DF+FB=5+∵∠CFA∴Rt△C∴CFCB=∵2∴EB≈2.4km答：小李離點B不超過2.4km，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響．重難點三：運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關問題1．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩AB長為10m，坡度i為1:0.75，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD．小明欲測量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角α為26°35'．求堤壩高及山高DE．（sin26°35'

【答案】堤壩高為8米，山高DE為20米．【分析】過B作BH⊥AE于H，設BH=4x，AH=3x，根據勾股定理得到AB=AH2+BH2=5x=10，求得AH=6，BH=8，過B【詳解】解：過B作BH⊥AE于H，

∵坡度i為1:0.75，∴設BH=4x，AH=3x，∴AB=A∴x=2，∴AH=6，過B作BF⊥CE于F，則EF=BH=8，設DF=a，∵α=26°35∴BF=DF∴AE=6+2a，∵坡度i為1:0.75，∴CE：∴a=12，∴DF=12（米），∴DE=DF+EF=12+8=20（米），答：堤壩高為8米，山高DE為20米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-俯角仰角，解直角三角形的應用-坡角坡度，正確地作出輔助線是解題的關鍵．2．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長度為20米，∠C=18°，求斜坡AB的長．（結果精確到米）（參考數據：sin18°≈0.31,

【答案】斜坡AB的長約為10米【分析】過點D作DE⊥BC于點E，在Rt△DEC中，利用正弦函數求得DE=6.2，在Rt【詳解】解：過點D作DE⊥BC于點E，則四邊形ADEF是矩形，在Rt△DEC中，CD=20DE=CD?sin∴AF=DE=6.2．∵AFBF∴在Rt△ABF中，AB=答：斜坡AB的長約為10米．【點睛】此題考查的是解直角三角形