/四川省巴中市高級中學2024?2025學年高二下學期4月期中數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．以為焦點的拋物線標準方程是（

）A． B． C． D．2．已知數列的前項和，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．已知函數，則（

）A．1 B．2 C．4 D．84．已知平面的一個法向量，平面的一個法向量，若，則（

）A． B．4 C． D．15．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的值為（）A． B． C． D．6．已知等差數列的前項和為，若，，則（

）A．12 B．14 C．42 D．847．已知函數，其導函數的圖象如圖所示，則（

）

A．有2個極值點 B．在處取得極小值C．有極大值，沒有極小值 D．在上單調遞減8．已知橢圓的左，右焦點是，，是橢圓上一點，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列求導運算正確的是（

）A． B． C． D．10．公比為的等比數列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．11．如圖，正方體的棱長為是棱上的動點（含端點），則（

）A．三棱錐的體積為定值B．C．二面角的平面角的大小為D．存在某個點，使直線與平面所成角為三、填空題（本大題共3小題）12．若向量，，則．13．在等差數列中，，，則.14．已知拋物線C：，點N在C上，點，若點M，N關于直線對稱，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數．(1)求函數的單調區間；(2)求函數在區間上的最大值與最小值．16．已知等比數列各項均為正數，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.17．已知四棱錐P-ABCD，，，，，E是上一點，．(1)若F是PE中點，證明：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．18．已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數的單調性.19．已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，點P為C上的動點，的周長為6.(1)求C的標準方程.(2)延長線段，分別交C于Q，M兩點，連接，并延長線段交C于另一點N，若直線和的斜率均存在，且分別為，，試判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，說明理由.

參考答案1．【答案】D【詳解】由題意，拋物線方程形如，因，解得，故以為焦點的拋物線標準方程是.故選D.2．【答案】B【詳解】解：因為數列的前項和，所以.故選B.3．【答案】C【詳解】因為，所以，.故選C．4．【答案】C【詳解】因為，則可得，且，，則可得，解得故選C.5．【答案】A【詳解】雙曲線的漸近線方程為，所以，解得.故選A.6．【答案】C【詳解】因為數列為等差數列，所以，所以，所以.故選C.7．【答案】C【詳解】由導函數的圖象可知，當時，，僅時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數只有一個極值大點，無極小值點，所以有極大值，沒有極小值，故ABD錯誤，C正確.故選C.8．【答案】C【詳解】根據橢圓定義及求出，由即可求解.【詳解】由橢圓的定義知：，因為，即，又因為，所以，所以有：，，故橢圓的離心率的取值范圍是．故選C9．【答案】BC【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.故選BC.10．【答案】ABD【詳解】由已知等比數列的公比為，且，，則，解得，所以，，故選ABD.11．【答案】ABC【詳解】對于選項A：三棱錐轉化為三棱錐的底面積為定值，因為平面平面，所以到平面高不變，體積為定值，故選項A正確；對于選項B：如圖建系，設，則因為，，所以得，故選項B正確；對于選項D：取平面的法向量為，因為，則設直線與平面ABCD所成角,則，當時，，這時直線與平面ABCD所成角最大值為，故選項D不正確；對于選項C：設平面法向量為，，所以，所以所以令，可得，設平面法向量為，設二面角為，則所以二面角的大小為，故選項C正確.故選ABC.12．【答案】【詳解】因為向量，所以，又向量，所以.13．【答案】11【詳解】根據等差數列的性質，可得，所以.14．【答案】3【詳解】設，因為點M，N關于直線對稱，所以中點在直線上，且與直線垂直，則中點為，，且與直線垂直，，聯立方程可得，點N在拋物線上，，解得或（舍去），.15．【答案】(1)單調遞增區間是：和，單調減區間是：；(2)最小值為，最大值為.【詳解】（1）由，可得：，，由，可得：或；由，可得：；所以函數的單調遞增區間是：和，單調減區間是：；（2）由（1）知：函數在區間上的單調性為：單調遞減，單調遞增，所以最小值為，又，所以最大值為.所以函數在區間上的最小值為，最大值為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設公比為，由，得，所以（舍去），所以；（2）由（1）得，所以.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因為，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則設平面的法向量為，則由可得，取，設平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為.18．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當時，，，∴，，∴切線方程為，整理得，.（2）函數定義域為.∵，∴，由得，或.當，即時，，在上為增函數.當，即時，由得，或，由得，，∴在，上為增函數，在上為減函數.當，即時，由得，或，由得，，∴在，上為增函數，在上為減函數.綜上得，當時，在上為增函數；當時，在，上為增函數，在上為減函數；當時，在，上為增函數，在上為減函數.19．【答案】(1)；(2)是，.