2025屆高三“一起考”大聯考（模擬二）

數學

（時量：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合/={x|X?-2x—3W0},5={xeN|2-x20},則Zc5=（）

A.{1}B.{0,l}C.{0,l,2}D.{152}

2.以歹=±2尤為漸近線的雙曲線可以是（）

22

AA.-1----y2=11BR，x2----y---l=1

44

22

C.-y-----X2=11Dn.V2----X--=11

22

3.已知平面向量值=［百,-1),3口(1,2),則,+孫(”3)二()

A.lB忑C.-73D.-1

4.若tana=2tan/3,sin則sin(a-3)=()

1122

A.----B.一C.一D.----

9999

5.甲、乙、丙、丁、戊5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老師詢問成績，老

師對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍」對乙說：“你當然不會是最差的從這兩個回答分析，5

人的名次排列的情形有（）

A.36種B.48種C.54種D.64種

,、ev+a,x^0,

6.已知aeR,函數/x=.八在R上沒有零點，則實數。的取值范圍是（）

[Tn（x+l）+a,x>0

A.（-09,-1）B.（-co,-l）u{0}

C.[l,+c?）u{0}D.（l,+<?）u{0}

7.已知某正三棱柱外接球的表面積為4兀，則該正三棱柱體積的最大值為（）

A.lB，V2C.2V2D.4

8.記數列｛4｝的前〃項和為S〃，若娘]=d+2%+1,且％=0,則四°|的最小值為（）

A.OB.lC,2D.3

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知Z]/2都是復數，則下列說法正確的是（）

A.若Z|=Z2，則z-eRB.若z—eR,則zyz2

C.若z；+z；=0,則㈤="|D.若㈤二㈤,則z；=z；

10.下列四棱錐的所有棱長都相等，若4民分別是四棱錐的頂點或所在棱的中點，則直線不與

平面N8C垂直的是（）

11.已知函數/（x）=e'；e，g（x）=ex；二則（）

A.72(x)-g2(x)=l

B.對任意實數Xj,g(x+y)g(x—y)=g2(x)+g2(y)

C./(2x)=/2(x)+g2(x)

D.若直線＞=，與函數歹=/（x）和y=g（x）的圖象共有三個交點,設這三個交點的橫坐標分別為西,々,七,

貝!JX]+0+%>In(1+5/2j

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知實數a,b,c滿足3〃=6》=c且1+：=2,則。=__________.

ab

sinLx^

13.已知函數/(x)=++coscux(3>0),/(再)=0,/(%)=G，且|匹_》2|的最小值為則

I6）

14.已知過拋物線。：/=2?(0>0)的焦點￡(2,0)的直線與拋物線。交于48兩點(Z在第一象限)，

以AB為直徑的圓E與拋物線C的準線相切于點D.^\AD\=V3\BD\,0為坐標原點，則.AOB的面積為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.(13分)

中國是茶的故鄉，茶文化源遠流長，博大精深.某興趣小組，為了了解當地居民對喝茶的態度，隨機調查了

100人，并將結果整理如下：

單位：人

態度

年齡段合計

不喜歡喝茶喜歡喝茶

35歲以上(含35歲)303060

35歲以下251540

合計5545100

(1)依據小概率值a=0.1的82獨立性檢驗，能否據此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡有關？

(2)以樣本估計總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當地喜歡喝茶的人群中，隨機選出2人參加茶文化藝

術節.抽取的2人中，35歲以下的人數記為X,求X的分布列與期望.

,,,,2n(ad-bcY,,

參考公式：X=7------不7-----777------\77—，其中〃=a+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

參考數據:

a0.100.050.0100.0050.001

X。2.7063.8416.6357.87910.828

16.（15分）

1+sirU1+siriS

在△48。中，內角4優。所對的邊分別為見仇J且

cosAcosB

(1)判斷△48。的形狀；

(2)設48=1,且。是邊8C的中點，求當NC4D最大時，A48C的面積.

17.(15分)

在三棱錐P—Z3C中，平面1平面ABC,"，平面尸5C.

(1)求證：PBLBC；

(2)若二面角P—/C—3的余弦值為:，且AB=2,BC=C,求上4.

18.(17分)

ZYV"

已知函數/(x)=ln(x+l)-----.

(1)當。=1時，求/(X)的單調區間與極值；

(2)若/(x))0恒成立，求。的值；

(3)求證：sin^—+sin---+…+sin，vln2(〃eN*k

n+1n+22n\'

19.(17分)

已知點片(—l,O),￡(l,O),動點T滿足|巧|+|7耳|=4,動點T的軌跡記為C.

(1)求C的方程；

(2)直線/:x=4與x軸交于點8為/上的動點，過3作C的兩條切線，分別交y軸于點P,。.

①證明：直線EP,8片,8。的斜率成等差數列；

②ON經過民尸，。三點，是否存在點瓦使得“PNQ=90。？若存在，求忸閭；若不存在，請說明理由.

2025屆高三“一起考”大聯考(模擬二)?數學

參考答案

1.C解析:由題意可得幺={x|—l@W3},8={xeN|x<2},則ZcB={0,1,2}.故選C.

21

2.B解析：對于A,由r亍—>2=i得漸近線方程為卜=±5》，故A錯誤；

2

對于B,由》2一L=1得漸近線方程為y=±2x,故B正確；

4

2

對于C,由一=1得漸近線方程為〉=±血》，故C錯誤；

對于D,由；=1得漸近線方程為歹=±^x,故D錯誤.故選B.

3.D解析：,+3〉(1_3)=片_32=歸|2_忸F=〔(_6)2+(_1)2]_(12+22)=4_5=_1.故選口.

sii^c[]

4.B解析：由tana=2tan。，得-----二----—,即sinacos。=2cosasin。，由sin(Q+0)=一,得

cos(7cos/5')3

121

sinczcos/?+cosasin/3=—,故sinacos/3=—?cosczsin/3,貝！J

in(a-/?)=sinacos/3-cosasin/?=g,故選B.

sm

5.C解析：分三步完成：冠軍有A；種可能，乙的名次有A；種可能，余下3人有A；種可能，所以5人的

名次排列有A；A；A；=54(種)不同情況，故選C.

6.B解析：當x<0時，Ove'WL若e'=-Q無解，則或。〈一1；

當x>0時，ln(x+l)>0,若1口(、+1)=〃無解，貝

綜上，實數。的取值范圍是(-8,7)。{0}.故選B.

7.A解析：設外接球的半徑為火，貝I」4成2=4兀，解得火=1.

、.x

設正三棱柱的底面三角形的邊長為X,則該三角形外接圓的半徑為方,

所以該正三棱柱的體積外X）=s/z=號》2x2

由-—土>0,解得0<x<>/3.

3

令/(%)=I,-/,則/'(%)=4x3-2A:5=-2x3+V2j

所以函數/（x）在（o,、歷）上單調遞增，在（、歷,G）上單調遞減，所以函數/（》）在》=行時取得最大值,

故/(MU/=1,所以該正三棱柱體積的最大值為1.故選A.

8D解析：數列⑷中'由"+2「1,得2%=*y-L即%=二匚

一:^二萬屬一片）-15,

所以S30=+&------。30二]-q1+_〃；)+???+~a30

又q=0,所以Is”I=g腐一30|.又由1+2%+1得|%/=瓦+1|且%=0,

可知出-±1,%=±2,0,%-±3,±1,。5-i4,±2,0,a6=±5,±3,±1,…，

所以凡是整數，于是刈是整數，且舄是偶數的平方，貝脛o|=9；「30歸262—30卜3,當%=6取

等號.

下面舉例說明由可以取到6,電〃-1二°,〃￡、\於13,。2〃=T,〃￡N*,〃(12,

a26=1，a27=2,a28—3,tz29=4,t230=5,tz31=6,

此時1*5*301=|^i+%+—“301=|13x0+12x(—1)+l+2+3+4+51二3,

所以用01的最小值為3.故選D.

9.AC解析：設Z]=a+bi,Z2=c+di(a,ac,deR),

對于A,若Zj=Z2，則Z]=c—di,故ZR=02+/eR,故A正確；

對于B,當Z]=Z2=i時，4Z2=-1eR*2=-iw4,故B錯誤;

對于C,若z；+z；=O,則z；=—z；,所以團=Y卜團,

\z^\=\a2-b2+2abi\=^a2-b2)\4a2b2=/a2+b2)2=a2+b2=\z^,

同理歸|=4,所以㈤2="「，所以㈤=艮|,故C正確;

對于D,當Z1=1/2=洞，㈤=團，但z；=l,z；=-1,故D錯誤.故選AC.

10.ACD解析：由條件可知四棱錐為正四棱錐，

對于A,取C4的中點為。，連接￡0,8。，由中位線的性質可知：EO//BD,

EO=BD,所以四邊形為平行四邊形，所以DE〃BO,

又BOu平面ABC,DEc平面ABC,

所以。E〃平面ZBC,故A正確；

對于B,設48,的交點為。，連接C。，由正四棱錐的結構特征可知:

CO1平面AEBD,EDu平面AEBD,所以CO，，

義ED148,CO,45為平面/3C內兩條相交直線，

所以直線DEi平面/3C,故B錯誤；

所以方豆.彳6=(而+左)彳。=方/.彳6+2^16=1、2、(：05120°+2*2'(:0560。=1,

所以/C與。E不垂直，所以直線DE不與平面48。垂直，故C正確;

c

對于D,設棱長為2,如圖，ED=EF+FD,AC=AF+FC,

所以

Eb~AC=^F+Fby^AF+FC^=EF-^F+Fb^F+EF.

FC+FD-FC=2x2xcos600+0+2xlxcosl80°+lxlxcos60°=-,

2

所以ZC與。E不垂直，所以直線。E不與平面4BC垂直，故D正確.

故選ACD.

11.ACD解析：尸⑶—8?@","；ex)j=i,故A正確;

x+xJlx/ly八一2y.-2x

ey-e--y-^_-we-e,一e'+e古

g(x+y)g(x_y)ee-------------------,而

F2-4

_2x.八2y.-2y.-2xA

ey-e-yYe+e,+e)+e-4,,…口

rW2H=+-----------------------,故B錯誤;

+gI2)2)4

e/2x+.e-2x+.2ceJlx+.e-2x—2c2x.-2x

/2(x)+g2(X)=-----------1-----------；=y(2x),故c正確;

44

/.)=汨二，令/'(x)=0,得X=O,

當x>0時，/'(x)>OJ(x)單調遞增；當x<o時，r(x)<OJ(x)單調遞減.

所以/(x)在x=0處取得極小值1,

當X+e時，/(X)+00；當X時，/(X)+00.

g，(x)=￡^l>0恒成立，所以g(x)在R上單調遞增,

當X+co,g(x)+00；當x-co,g(x)-co.

所以函數/(x),g(x)的大致圖象如圖所示,

不妨設再<%2<%3，由/(X)為偶函數可得%+々=0,

直線歹=，與JV=/(x)和N=g(x)的圖象有三個交點，顯然方>1,

令g(x)=e*；*=/>],整理得e2x—2e=1>0,

解得e*>1+后或e*<1-后(舍去)，

所以x>ln(l+啦)，即％>ln(l+Ji),

又因為再+々=0,所以再+W>ln(l+J5),故D正確.

故選ACD.

12.372解析：由3"=6'=c可知。>0,。=1。83。，6=1。86。，

所以1+!=logc3+logc6=log,18=2,即C2=i8,所以°=3后.故答案為3夜.

ab

13.1解析：因為

,/>.(TTAV3.1V3.3w.(n

f[x]=smcux+—+coscux=——smcjx+—coscux+coscux=——smcux+—coscux=V3smcux+—

v7<6)222213

又/(xj=0J卜)=百，且上—/1的最小值為|,

所以函數/(X)的最小正周期T滿足得上7=女左eN),則7=品i)

所以3=亍=2左+1(keN),故當左=0時，口取最小值1.

故答案為1.

14.”解析：依題意￡=2,得夕=4,所以拋物線。的方程為/=8乩

32

由題意可知QE與拋物線的準線x=-2垂直，在Rt"AD中，=6忸

則ZBAD=-,ZABD=ZDEB=ZAFx=-,所以直線AB的方程為歹=百(x—2).

63

由，'=百(消去并化簡整理得

x—2),y3X2—20x+12=0,

=8x,

”曰AC202032

易行A>0,x^+貝“叫=XJXB+P=§+4=W

原點(0,0)到直線Gx-y—2G=0的距離為V3,

所以號鳳苧.故答案為苧.

15.解析：(1)零假設為“°：該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關系.

根據列聯表中的數據，可以求得/=l0°x(30xl5—30義25)一=笆81515<2.706.

60x40x55x4533

根據小概率值a=0.1的x?獨立性檢驗，沒有充分證據推斷77°不成立，因此可以認為〃。成立，據此推斷

該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關系.

(2)由題意可知，X的取值可能為0」,2.

（）；；

則尸（x=o）=;PX=l=Cxxj=g

P（X=2）=

所以X的分布列為

X012

441

p——————

999

44i9

所以X的期望為￡（X）=0X5+1X§+2X§=3.

.AA2.BB2

sin—+cos—sm—+cos—

、22）、22j

16.解析：（1）由二倍角公式得

2A.2Z2B.2B

cos--sin——cos----sm——

2222

.AA.BB

sm——+cos—sm—+cos—

所以2222

A.AB.B'

cos----sin—cos-----sm—

2222

4RARAB

整理得sin-cos----cos—sin—=0,即sin=0.

222222

因為45e（0,兀），所以0一0=0,即/=即A4BC為等腰三角形.

22

（2）由（1）及題設，有AC=BC=2CD,

AC*2+AD2--+AD-

所以=s44

2AC-AD2AC?AD2AC?AD

3ACAD_y/3

-3A-C-1--A-D22.

SAD2ACSAD'2AC

所以NC4。（巴，當且僅當42=也時，等號成立.

又NC4D為三角形內角,

6AC2

22

jr此時*》又筆卷所以ADCD

即NC4D的最大值為一,+

6ACAC

jr

故AD2+CD2=AC2,可得△Z5為直角三角形且ZACD=

3

又由（1）可得△48C為正三角形，

所以當NC4D最大時，人/臺。的面積S=18X12=走.

44

17.解析：⑴證明：過？作PE148于E.

因為平面PAB1平面ABC,平面PABn平面ABC=AB,PEu平面PAB,PELAB,

所以？￡1平面

c

又BCu平面48C,所以PE1BC.

又尸N1平面PBC,BCu平面所以P/LBC.

因為P4,P￡u平面且尸Nc尸￡=尸,

所以8cl平面P48,又PBu平面尸48,所以

（2）法1：過￡作EFL/C于尸，連接尸尸.

易知NCL平面P￡F,又尸尸u平面尸￡尸，所以P/l/C.

所以ZPFE即為二面角P-AC-B的平面角,

所以cosZPFE=tan/PEE=272.

又由（1）可得設NPAB=6,因為48=2,

2A/3COS20

所以P/=2cos&PE=2cos0sin9,AE=2cosER=AEsmZBAC=

3

所以tan/"￡=器==園3=2后

3

所以tan9=^^,則cos8=，從而PA=2cos8=2y.

31111

法2：由⑴可得R4iP8,aCl/反如圖，以5為原點，848。所在

直線分別為x軸，歹軸建立空間直角坐標系，

記二面角P—ZC—8為a,設立尸48=6,因為48=2,

所以尸N=2cos8,PE=2cos9sin9,AE=2cos汨，

則Z(2,0,0),C(0,力,0),P(2—2cos2a0,2cos6sin6),

所以彳仁=^-2,V2,oj,AP=(—2cos2&0,2cos6sine).

m-AC=0,

設平面/CP的法向量為應=(x,y,z),則，

m-AP=0,

—2,x+V2y=0,1,不整!

即｛令x=l,得加=

-2cos9x+2cos0sin0z=0,sing

易知平面43c的一個法向量為萬=(0,0,1),又cosa=1,

所以|cosa|=|cos<m,n>|=

解得tan。=,則cos8=,所以尸4=2cos6=.

31111

18.解析:⑴當a=l時，/(x)=ln(x+l)------

X+1

11X

則/'(x)=

x+1(x+1)2(x+1)2

當xe(—1,0)時,r(x)<0J(x)單調遞減，當xe(o,+e)時，/(x)>0,/(x)單調遞增,所以/(X)的

單調遞減區間為(-1,0),單調遞增區間為(0,+8),

在x=0處取得極小值0,無極大值.

(2)由題意得/'(》)=々—泠在=甘”，

①當aWO時，/。)>0,所以/(x)在(—1,+8)上單調遞增，

所以當xe(—1,0)時,/(x)</(0)=0,與/(x)20矛盾;

②當a>0時,當xe(—l,a—1)時，/'(x)<0J(x)單調遞減，

當xe(a-l,+oo)時，單調遞增,

所以/(x)min=/("l)=lna-(a-1),

因為/(x)20恒成立，所以Ina—(a—1)/0.

記g(a)=lna_(a-l),g'(a)=--1=---,

當ae(O,l)時，g'(a)>O,g(a)單調遞增，當ae(l,+⑹時，g'(a)<O,g⑷單調遞減,所以

g(a)max=g(l)=。，所以Ina——

又Ina—(a—1),所以Ina—(a—1)=0,所以a=l.

(3)證明：先證sinxv>0),設〃(x)=siiu-x(x>0),貝！J=cosx—IWO,

所以〃(%)在區間(0,+e)上單調遞減，所以〃(x)〈〃⑼=0,即sinxvx.

1.11111H、T11〃+1

所以sm----+sm----+???+sm——<----+----+???+——，再證-----<In----.

H+1n+22〃〃+1〃+22〃〃+1n

由(2)可知ln(x+l))/p當x=0時等號成立，

1

令x=!￡N*),貝ijIn(―+1]>J—

7

J1+1

n

rr.1+/<\l

即----<In----=In(〃+1—ln〃，

n+\n

所以為<

ln(〃+2)-ln(〃+l),----vln(2〃)-ln(2〃-l),

累加可得---+---+???+—<In[2?/)-Inn=ln2,

〃+1〃+22n

所以sin---+sin---+---+sin—<]n2(n￡N*).

n+1n+22n')

19.解析：⑴因為|西|+|7閱=4>閨閭=2,

所以。的軌跡是以耳，鳥為焦點，且長軸長為4的橢圓,

Y2y2

設C的軌跡方程為0+l(Q>b>0),則2a=4可得q=2.

ab2

22

又C=l,所以62=/—。2=3,所以C的方程為二+2_=1.

43

（2）設5（4"）,易知過5且與。相切的直線斜率存在，設直線方程為=k（x-4）,聯立

y_/=左（1一4）,

<%2y2消去歹得（3+4左2）/+8左（％—4左）x+4Q—4左）2—12=0,

——+—=1,

143

由A=64左2。一4左）2—4（3+4左2）［4（7—4左）2-12］=0,得12/—8波+/—3=0,

設兩條切線BP,BQ的斜率分別為kx,k2,貝I］勺+右=魯=弓，左右=.

①證明：設陷的斜率為則&='=￡,

4—13

2t

因為%+&=§=2%,所以BP,BF2，BQ的斜率成等差數列.

②法1：在y_f=K（x—4）中，令x=0,得力=/-4左-所以尸（0/—4左）,

同理，得。（0,"4&）,所以尸。的中垂線為歹="2（左+&）.

易得取的中點為（2,52尢），所以AP的中垂線為＞=—；（■2）+"2左,

左]

y=/-2（左+a）,

聯立1/c\C7解得N（2左/2+2/-2（占+葭）），

y=--[x-2）+t-2kx,、"

所以而5=（—2左右一2,2&—2左），施=（―2左住一2,2/一2/）,

要使/PNQ=90°,則標.而=0,即4（左向+if—4（左—左2『=0，

整理得|女向+1|=|左一左2|，

而|左一左2|=j（/+上2I—4上的=-4?=/；9，

產_o\/1.Q

所以一^+1=2-------,解得〃=7,”士近，因此忸M=J7,

12311

故存在符合題